高考数学一轮复习第六章不等式第4讲简单的线性规划课时作业理

第4讲 简单的线性规划
1．(2017年北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤3，x ＋y ≥2
y ≤x ，
，则x ＋2y 的最大值为( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
2．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋2y －6≤0，x ≥0，
y ≥0，则z ＝x －y 的取值
范围是( )
A ．[－3,0]
B ．[－3,2]
C ．[0,2]
D ．[0,3]
3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤3，2x －3y ≤6，
3x ＋4y ≤12，则z ＝
x ＋y －2
x ＋1
的取值范围是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－4，716 B ．[－4,1]
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，716
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，1 4．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，
且z ＝x ＋ay 的最小值为7，
则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
5．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，
x ＋2y －14≤0
所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝
log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A ．[1,3]
B ．[2，10]
C ．[2,9]
D ．[10，9]
6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为( )
A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1
7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤0，
x －y －4≤0
表示的平面区域的面积是
________．
8．(2016年江苏) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，
则x 2＋y 2
的取值范围是
________．
9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2＋y 2
，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2
＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．
10．已知函数g (x )＝x 2
＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求b
a
的取值范围．
第4讲 简单的线性规划
1．D 解析：如图D116，画出可行域．
图D116
z ＝x ＋2y 表示斜率为－12
的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max
＝3＋2×3＝9.
2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z ＝x －y 解得0,2，－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B.
3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z ＝x ＋y －2x ＋1＝y －3
x ＋1
＋1
表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k 与1的和．由图知，当x ＝0，y ＝－2
时，k 取得最小值k min ＝－2－30＋1＝－5；当x ＝0，y ＝3时，k 取得最大值k max ＝3－3
0＋1
＝0.所以
z ∈[－4，1]．故选B.
图D117
4．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋z a 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2
＋2a －1
2
＝7，解
得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.
图D118
5．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．
6．D 解析：如图D119，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
图D119
7．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，
图D120
由x ＝1，x ＋y ＝0，得A (1，－1)； 由x ＝1，x －y －4＝0，得B (1，－3)； 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0，得C (2，－2)．
∴|AB |＝2.∴S △ABC ＝1
2
×2×1＝1.
8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 解析：由图D121知，原点到直线2x ＋y －2＝0的距离平方为x 2＋y 2
的最小值，为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 252＝45；原点到点(2,3)距离平方为x 2＋y 2的最大值，为13.因此x 2＋y 2
的取值范
围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，13.
图D121
9．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
作出(x ，y )的可行域如图D122所示的阴影
部分．
图D122
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫1，225.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．
(1)∵z ＝y x ＝
y －0
x －0
，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min
＝k OB ＝2
5
.
(2)z ＝x 2＋y 2
的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．
(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2
的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2
＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．
10．解：g (x )＝x 2
＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，
两个零点为方程x 2
＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，
由根的分布画图，得⎩⎪⎨⎪⎧ g ，g ，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋1>0，
2a ＋b ＋3<0.
作出可行域如图D123.
图D123
而b a ＝
b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－1
2
，直
线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2.所以k ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－12，即b a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。