人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(共23张PPT)

解： a
b
a
3
b
a
a
a
b
6
b
b
2 2
a a b 6 b
2
2
a a b cos 6 b
62 6 4 cos 60 6 42 72
例 5 .已 知 |a| 3 ,|b|4 ,当 且 仅 当 k为 何 值 时 ， 向 量 a kb 与 a kb 互 相 垂 直 ？
a b a b 0
其中θ是 a 与 b 的夹角。
定义理解： a·b= |a| |b| cosθ
(1)a ·b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运 算．
(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号
由夹角 决定；
当0 9时0，
ab 0
当 90 时， 当90 1时80，
ab 0
ab 0
a
与
b
夹角
120,求
a b .
解：a • b |a||b|cos
5 4 cos120
5 4( 1)
10
2 cos a • b
| a || b |
已知 a
5, b
4且
a
b
10
,求
a
与
b
的夹角
.
平面向量的数量积的几何意义
B
a • b a • b • cos
b
O
a B1 A
作OA a，OB b，过点B作 BB1垂直于直线OA，
如图可知： (ab)cacbc
|O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|OA1||a|cos1
|A 1 B 1| |A B 2| |b|c o s2
|O B1||O A1||A1B1|
A
B2
2
ab B
|ab|cos|a|cos1|b|cos2
1
c(ab)|c||ab|cos
b
B1 O
aA
θ为钝角时，
B b
O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ＞0
| b | cosθ＜0
| b | cosθ=0
a
b
a
Ob B
A
B
O
A
θ 为0。时,它是 | b |
θ为 180。时,它是 -| b |
设
a 、b
是非零向量， e 是 b
方向相同的
单位向量，是 a 与b 的夹角，则
解： (akb )(akb )0 a2k2b2 0 916k20 k3 4
小结：
• 1. ab |a||b|co s
• 2. ab ab0
2
a
|
a
|2
可用来求向量的模
3.投影
作业：P108 习题2.4 A组 第1、2、3题
练习 1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
⑤ 0a 0 真
⑥ 0a 0 假
⑦若 b 0 ，a • b b • c ，
则ac 假
⑧ a •b a b a // b 真
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题2: 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 这些运算律对向量是否也适用？
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
复习提问：
请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些 运算？这些运算的结果是什么？
向量与向量的加法 向量与向量的减法 实数与向量的乘法 向量与向量之间
向量 向量 向量 ？？
2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》
复习回顾：
已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b，
则∠AOB=θ(0°≤θ ≤180°)叫做向量a与b
2
b
2
a
b
a
b
2
a
b
2
证明： 1
a
b
2
a
b
a
b
2
a a a b b a b
2
2
a 2a b b
例 2：求证：
1
a
b
2
2
a
2a b
2
b
2
a
b
a
b
2
a
2
b
证明： 2
a
b
a
b
a
a
a
b
b
a
b
b
2 2
a b
例3.已知 |a|6,|b|4 ， a 与 b 的夹角60º， 求(a 2 b )(a 3 b ),|a b | 。
O A1 c B1 C
|c||a|cos1|c||b|cos2
cacb
(ab)cacbc
2、运算律
已知向量 a,和b实, c数λ，则：
( (1) 2 a a b ) b b aa b a b
(3 a ) bc a c b c
例 2：求证：
1
a
b
2
2
a
2a b
平面向量的数量积：
1、定义 已知非零向量 a 与 b ，我们把数量|a||b|cos叫作 a 与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
ab|a||b|cos
其中θ是 a 与 b 的夹角。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即0 • a=0
a b=|a||b|cos
已知 a
5, b
4且
垂足为B1，则 OB1 | b | cosθ
| b |cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影. b • cos = a b
|a|
平面a 向b 等量于的数a 量的积长的度几| a何 |与意义b 在 是a :方向上
|b| cos 的乘积。
平面向量的数量积的几何意义
B
bOa B1 Aθ Nhomakorabea锐角时，
B
的夹角。
B
注意:在两向量的夹角定义
中,两向量必须是同起点的
θ
O
A
当θ＝0°时，a与b同向； O
A
B
当θ＝180°时， a与b反向；A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
O
B
B
b
O aA
练习：
在 ABC 中，找出下列向量的夹角：
(1) AB与AC;
A
(2) AB与BC;
(3) AC与BC.
C
a b | a || b | cos θ
bB
θ
O
A
B1 a
特别地
a • b=|a||b|cos
判断下列命题的真假 :
①.若a=0,则对任一向量b,都有a b 0; 真
②.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0;假
③.若a 0, a b 0,则b=0 假
④.若a b 0,则a、b中至少有一个为0. 假
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
135
3、已知 ABC中，AB＝a，AC＝b
°
当a•b<0时，ABC是＿钝角＿＿三角形；
直角
当a•b=0时，ABC是＿＿＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
F（力）是 量，矢
F
S（位移）是 量 矢
θ是
F与S的夹角
S
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果 是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
平面向量的数量积：
1、定义 已知非零向量 a 与 b ，我们把数量|a||b|cos叫作 a 与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
ab|a||b|cos
B
问题情境
F θ
O
位移S
F θ
S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
问题1:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移
S，
（１）力F所做的功W=|F| |S|cosθ。
（２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量标，