2018年高等学校招生全国统一考试押题卷文科数学试卷(一)及解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷
文科数学（一）
本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）
A ．{}0,2
B ．()2,0
C ．(){}0,2
D ．(){}2,0
【答案】D
【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得2
0x y =⎧⎨=⎩
．故(){}2,0M
N =．选D ．
2．设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4 C ．()3,2- D ．()3,4
【答案】A
【解析】()2
212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ． 3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．
34
B ．
78
C ．
1516
D ．
3132
【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，
（2）()221143,3x x x i =--=-=， （3）()243187,4x x x i =--=-=， （4）()28711615,5x x x i =--=-=， 所以输出16150x -=，得15
16
x =
，故选C ． 4．已知()cos 2cos 2ααπ⎛⎫+=π- ⎪⎝⎭，则tan 4απ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．4-
B ．4
C ．1
3-
D ．13
【答案】C
【解析】因为()cos 2cos 2ααπ⎛⎫
+=π- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，
C ．
5．已知双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的一个焦点为()2,0F -双曲线的方程为（ ）
A ．2
213x y -=
B ．2
213
y x -= C ．2
213y x -=
D ．2
2
13
x y -=
【答案】B
【解析】令22
220x y a b
-=，解得b y x a =±，故双曲线的渐近线方程为b y x a =±．
由题意得222
3
2 b
a c c a
b ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
，解得221 3a b ==⎧⎨⎩，∴该双曲线的方程为22
13y x -=．选B ． 6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全
部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆy
x b =+，则ˆb 为（ ） x 2 4 5 6 8 y
25
35 60
55 75
A ．5
B ．15
C ．12
D ．20
【答案】C
【解析】由题意可得：2456855x ++++=
=，2535605575
525
y ++++==，
回归方程过样本中心点，则：ˆ5285b =⨯+，1ˆ2b ∴=．本题选择C 选项． 7．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”
中应填的执行语句是（ ）
开始
i =1,n =2018结束
i ≤2017？
是
否
输入x 0
S =2018
输出S
S =Sx 0
S =S+n
i =i +1
A ．2018n i =-
B ．2017n i =-
C ．2018n i =+
D ．2017n i =+
【答案】A
【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++
++，
首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-． 8．设π
02
x <<
，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <解集为,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos x x <解，因为,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2n π⎛⎫
⊂ ⎪⎝⎭
，因此选A ．
9．如图为正方体1111ABCD A BC D -，动点
M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与
11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】取线段1B A 中点为N ，计算得：1112
6232
N B A l NA NC ND l l =++=+
<+==．同理，当N 为线段AC 或1CB 的中点时，计算得1112
6232
N B l NA NC ND l =++=+<+=，符合C 项的图象特征．故选C ．
10．已知双曲线E ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象
限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．1
2
B ．15
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】不妨设2,b B c a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，由此可得(),0A a ，2,b C c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0F c ，20,2b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于A ，C ，
M 三点共线，故22
2b b a a a a c
=--，化简得3c a =，故离心率3e =．
11．已知点()4,3A 和点()1,2B ，点O 为坐标原点，则()OA tOB t +∈R 的最小值为（
） A ．B ．5 C ．3 D 5【答案】D
【解析】由题意可得：()4,3OA =，()1,2OB =，则：
(4,3OA tOB +=
结合二次函数的性质可得，当2t =-时，min
54202255OA tOB +=⨯-⨯+=．
本题选择D 选项．
12()221112211:10x y C a b a b +=＞＞()22
2222222
:10,0x y C a b a b -=＞＞12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为1e ，
2e ，则21e e -的取值范围是（ ）
A ．1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】设122F F c =，令1PF t =，由题意可得：22t c a -=，12t c a +=， 据此可得：12a a c -=，则：
1211
1e e -=，2121
e e e =+，
由21e >可得：2
1
01e <
<， 结合二次函数的性质可得：()2
22
11
0,1e e ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
则：2112e e ->
，即21e e -的取值范围是1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
．本题选择D 选项． 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知平面向量a 与b 的夹角为3π
，且1=b ，223+=a b ，则=a __________．
【答案】2 【解析】
223+=a b ，2
212∴+=a b ，即224412+⋅+=a a b b ，
，化简得：2
280+-=a a ，2∴=a ．
14．如果1P ，2P ，…，10
P 是抛物线C ：2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2
x ，…，10x ，是抛物线C 的焦点，若121010x x x +++=，则1210PF P F P F +++=_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程24y x =，可得2p =．
则1
2101210105p 2022
2
p p p
PF P F P F x x x +++=+
+++++
=+=，
故答案为：20．
15．若x ，y 满足约束条件20
40 2x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩
≥≤≥，则
1y
x +的取值范围为__________． 【答案】2
,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
1
y
x +表示可行域内的点(),M x y 与点()1,0P -连线的斜率．
由40
2x y y +-=⎧⎨=⎩，解得2 2x y =⎧⎨=⎩，故得()2,2B ；
由20
2x y y ++=⎧⎨=⎩，解得0 2x y =⎧⎨=⎩，故得()0,2A ．
因此可得2PA k =，2
3
PB k =
， 结合图形可得1y x +的取值范围为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．答案：2,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 16．在三棱椎P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，
PA AC ⊥，则该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于P A P B =，CA CB =，PA AC ⊥，则P B C B ⊥，因此取PC 中点O ，则有
O P O C O A O B ===，即O 为三棱锥P ABC -外接球球心，又由2PA PB ==，
，所以()
2
4312S =π⨯
=π．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()*n ∈N ．
（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521...n a a a a +++++()*n ∈N ．
【答案】（1）证明见解析；（2）23235
3
n n +--．
【解析】（1）由1121S a =-得：11a =，···········1分 因为()()()11221n n n n S S a n a n ---=----()2n ≥， 所以121n n a a -=+，···········3分 从而由()1121n n a a -+=+得
11
21
n n a a -+=+()2n ≥，·
··········5分 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分 （2）由（1）得21n n a =-，···········8分
所以()()321135212221n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+(
)()1
214114
n n +-=
-+-
232353
n n +--=．···········12分
18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[)
0.1,0.2，[)
0.2,0.3，，[]0.9,1分
组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】（1）64（元）；（2）
10
21
． 【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：()1.52 2.50.10.6++⨯=，····1分 购物者获得100元优惠券的概率为：()1.50.50.10.2+⨯=，···········2分 购物者获得200元优惠券的概率为：()0.50.20.10.07+⨯=，···········3分 ∴获得优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0764⨯+⨯+⨯=（元）．····6分
（2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，
G ，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为A ，B ，C ，D ，E ），利用画树状图或列表的
办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能， 所以，相应的概率为
10
21
．···········12分 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且
AB AC =，13AA =，2BC CF ==．
（1）求证：1C E ∥平面ADF ；
（2）当2AB =时，求三棱锥1A DEF -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）
3
12
． 【解析】（1）连接CE 交AD 于点P ，连接PF ，
由D ，E 分别是棱BC ，AB 中点，故点P 为ABC ∆的重心，···········2分
∴在1CC E △中，有
123
CP CF CE CC ==， ∴1PF EC ∥，·
·········4分 又1EC ⊄平面ADF ，∴1C E ∥平面ADF ，···········6分
（2）取1AA 上一点H 使12AH HA =， ∵12CF FC =且直三棱柱111ABC A B C -， ∴HF AC ∥，∵,D E 为中点，
∴DE AC ∥，DE HF ∥，HF ∥平面1A DE ，···········8分 ∴1111A DEF F A DE H A DE D A HE V V V V ----===，···········9分
而111
1122EHA S ∆=⨯⨯=，
点D 到平面11AA B B 的距离等于3
∴11113332212
D A H
E A DE
F V V --=⨯⨯
==， ∴三棱锥1A DEF -的体积为3
12
．···········12分
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭
圆C 的短轴长为23 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)22
143
x y +=；(2)答案见解析．
【解析】（1）由题意得：222223
2 b a c a b c ===+⎧⎪
⎨⎪⎩
，···········2分
C 的标准方程是22143x y +=···········4分
（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -
3OM ON ⋅=-，不符合题意···········5分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y
y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()2
21616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12
k >，·
··········6分 1221634k x x k +=-
+，12
2
4
34x x k =+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=()()21212124k x x k x x ++++
(
)222
2
22
413216124343434k k k k k k
+-=
-
+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=，∴2
2
1612234k k -=+，···········10分
解得2
k =，满足0∆>，···········11分
所以存在符合题意的直线，其方程为2
22
y x =±
+．·
··········12分 21．已知函数()2ln f x x ax x =-+，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知0a >，若函数()0f x ≤恒成立，试确定a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）[)1,+∞．
【解析】（1）由()2
ln f x x ax x =-+，得：()221ax x f x x
-++'=，0x >，······1分
当0a ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立， 函数()f x 在()0,+∞上单调递增；···········3分 当0a >时，令()'0f x =，则2210ax x -++=，得11814a x a +=
，2181
4a x a
+=， ∵121
02x x a
=-
<，∴120x x <<， ∴令()0f x '>得()20,x x ∈，令()0f x '<得()2,x x ∈+∞，
∴()f x 在181a ⎛++ ⎝⎭上单调递增，在181a ⎫
+++∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减．········6分 （2）由（1）可知，当0a >时，函数()f x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， ∴()()2max f x f x =，即需()20f x ≤，即2222ln 0x ax x -+≤，···········8分 又由()20f x '=得22
212
x ax +=
，代入上面的不等式得222ln 1x x +≤，···········9分
由函数()2ln h x x x =+在()0,+∞上单调递增，()11h =，所以201x <≤，·······10分 ，∴2222221111122x a x x x ⎛⎫
+==+ ⎪⎝⎭
≥， 所以a 的取值范围是[)1,a ∈+∞．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立
极坐标系，已知曲线1C ：221x y +=，直线l ：()cos sin 4ρθθ-=．
（1）将曲线1C 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的232C ，请写出直线l ，和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线1l 经过点()1,2P 且1l l ∥，1l 与曲线2C 交于点,M N ，求PM PN ⋅的值．
【答案】（1）4x y -=，22
143
x y ''+=；
（2）2． 【解析】（1）因为l ：()cos sin 4ρθθ-=，所以l 的直角坐标方程为4x y -=；·········2分
设曲线2C 上任一点坐标为(),x y ''，则2 3x x y y '=⎧⎪
⎨
'=⎪⎩，所以23
x x y y ⎧
⎪⎪⎨'
='=
⎪⎪⎩
， 代入1C 方程得：2
2
123x ''⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2C 的方程为22143x y ''+=．···········5分 （2）直线l ：4x y -=倾斜角为
4
π
，由题意可知， 直线1l 的参数方程为212 222
x t
y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），···········7分 联立直线1l 和曲线2C 的方程得，27
112702t t ++=．设方程的两根为12,t t ，则122t t =，由直线
参数t 的几何意义可知，122PM PN t t ⋅==．···········10分 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≤；
（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：23
13t t t ++≥．
【答案】(1){|11}x x -≤≤；
（2）见解析．
【解析】(1)依题意，得()31121 2132x x f x x x x x ⎧⎪--⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪
⎪⎩≤≥，···········2分
于是得()13 33x f x x -⎧=⎨-⎩≤≤≤或11 223x x ⎧-<<-⎪⎨⎪⎩≤或1 233x x ⎧
⎪⎨⎪⎩≥
≤，·
·········4分 解得11x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤．···········5分 （2
当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号， ∴[)3,M =+∞，··········
·7分
···········8分 ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>， ，∴2
313t t t
++≥．·
··········10分。