北京市海淀区高三下学期期末练习(二模)数学(文)试题(解析版).docx

高中数学学习材料
唐玲出品
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1.已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于（ ） A.{|1}x x > B.{|1}x x >- C.{|1}x x < D.{|1}x x <-
2.已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为（ ） A. 210x x x ∃∈+->R ， B.210x x x ∀∈+-≥R ， C. 210x x x ∃∉+-≥R ， D.210x x x ∀∉+->R ，
3.下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是（ ）
A.3y x =
B.y x =
C.cos y x =
D.2x y =
4．设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则（ ）
A.a c b <<
B.b c a <<
C.c a b <<
D.c b a << 【答案】B 【解析】
试题分析：因为2log 31a =>，4log 31b =<，sin901c =︒=，故b c a << 考点：比较大小
5.下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩
表示的平面区域内,且到直线10x y -+=的距离为2
2的点是
（ ）
A.(1,1)-
B.(2,1)-
C.(0,3)
D.(1,1)
考点：线性规划．
6.已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AD AB AC μλ+=，则=+μλ（ ） A. 2 B. 2- C. 3 D. 3-
【答案】A 【解析】
试题分析：以A 为坐标原点，AD 为x 轴，建立坐标系，则()()()1,2,1,0,2,2B D C -，由
AD AB AC μλ+=，得()()()2,21,21,0λμ-=+，即2λμ+=
考点：向量的运算．
7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为（ ） A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
考点：解三角形．
8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
【答案】B 【解析】
试题分析：如图取11A B 的中点G ，连结1,,GE D G DE ，则1D E 在平面1D DEG 上，连结11,A C AC ，则1C F 在平面11A C CA 上，平面1D DEG 与平面11A C CA 相交于PQ ，则PQ ⊥平面ABCD ，而PQ 与1D E 交于M ，
PQ 与1C F 交于N ，此时直线MN 与平面ABCD 垂直，故与平面ABCD 垂直的直线MN 有1条．
考点：线面垂直的判定．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.复数2+i 的模等于______.
10.若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.
11.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______.
考点：算法框图．
12.下列函数中：①sin2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π
=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就
能与函数()sin2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）
考点：三角函数图像变化．
13.已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,
(), 3.
x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等
差数列，则___,____.a b ==
【答案】2，0 【解析】
14.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .{第13，14题的第一空3分，第二空2分}
考点：二次函数．
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2T π=；（Ⅱ）实数a 的取值范围是[1,3]-． 【解析】
试题解析：（Ⅰ）()3sin 2cos21f x x x a =++- -----------------------4分
312(
sin 2cos2)122x x a =++- π
2sin(2)16
x a =++- ---------------------------6分 ∴周期2π
π.2
T =
= ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π
2sin(2)1=06
x a ++-， ------------------------------8分
则π
=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分
因为π
1sin(2)16
x -≤+≤， ---------------------------------11分
所以π
112sin(2)36
x -≤-+≤， --------------------------------12分
所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 考点：三角恒等变化，三角函数的周期，值域． 16.（本小题满分13分）
下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:
记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长；
当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；
(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)
【答案】（Ⅰ）上半年鲜蔬价格指数月平均值大于下半年鲜蔬价格指数月平均值；（Ⅱ）()3
11
P A = ；(Ⅲ) 2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大． 【解析】
设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， ----------------------7分
在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分 ∴3
().11
P A =
-----------------------------------------10分 （Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.---13分 考点：古典概率，统计变量中平均数，极差，方差． 17.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点. （Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；
（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）D 是线段AC 的中点；（Ⅲ）详见解析． 【解析】
试题解析：（I ）
1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分
AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . ------------------4分
（II ）面DEF //面
1ABC ，面ABC
面DEF DE =，面ABC
面1ABC AB =，
AB ∴//DE ， ---------------------------7分
18.（本小题满分13分）
已知函数32
1()43
f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.
（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）实数a 的取值范围是5
5
(,)
(,)2
2
-∞-+∞． 【解析】
'(0)4f ∴=， -------------------------------2分
又(0)f b =，()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. -------------------4分
令321
443
x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， ------5分 0a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分
()f x ∴与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分 （Ⅱ）
()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，
∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分
由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分
即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或5
2a <-， ----------------------------12分 综上，a 的取值范围是55
(,)(,)22
-∞-+∞. -------------------------------13分
考点：导数的几何意义，函数的极值． 19.（本小题满分14分）
已知椭圆G 的离心率为22
,短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为2
212
x y +=；（Ⅱ）点A 不在以线段MD 为直径的圆上． 【解析】
所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=. --------------------------------5分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ -----------------------------6分
因为(0,1),(0,1)A B -，
所以直线BC 的方程为00
11y y x x +=-， ------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1
x M y +. -----------------------8分 所以0000(,1),(,1),1
x AM AD x y y =-=--+ ----------------------9分
所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21
k x x k ==+， -------------------------------------8分 所以22222421112121
k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121
k k D k k --++ ----------------------------------------9分 所以2221421(,1),(,1),2121
k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121
k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分 所以90MAD ∠≠︒， ---------------------------------------13分 所以点A 不在以线段MD 为直径的圆上. ------------------------------------14分 考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，圆的性质．
20.（本小题满分13分）
给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k =，均有k i a k S ≤-1
（其中12k k S a a a =+++）
，则称数列{}n a 为“Γ数列”． （Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和23
23333,,444
是否是“Γ数列”，并说明理由； （Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k =恒成立；
（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,
,m b b b 均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．
证法，即假设存在某项i a <0，把它作为条件，可得12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->，设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，得出1k j S a k >-，显然这与“Γ数列”定义矛盾，从而得证；（Ⅲ）求{}n b 的公差d ，由（Ⅱ）可知10,0b d ≥≥，分0d =，与0d >，两种情况讨论，当0d =易证
12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.
设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则
12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++
++≤(-1)， 所以(1)j k k a S ->，即1
k j S a k >-，。