第03讲 数列的概念与通项公式
数列极限常见题型及其解法
数列极限常见题型及其解法01 什么是数列？(掌握难度：★)从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。
详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。
排成队列的数这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。
还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。
由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。
为了描述方便我们用符号 xn 表示，含义为第n个数，于是就有 x1=12 ， x4=116 ， x5=132 。
如果可以用某个含n的式子来表示 xn ，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是： xn=12n 。
有了它，我们就可以快速get 这一列数中的每一个数，是不是很方便。
但是，人总是贪心的。
所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。
02 数列的极限(掌握难度：★★)针对刚刚的问题——数列{ xn }的“无穷项”是多少？即当 n→∞时， xn 趋近于多少。
可见这是一个极限问题，用数学式来表示：limn→∞xn=？上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：例如：（1）{ (−1)n }：−1,1,−1,1,−1,1……（2）{ ln(n) } : ，ln1,ln2,ln3，……（3）{12n } ：，，，12，14，18，116……数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；数列(2)，随n增大， xn 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。
对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。
数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 n→∞,xn→0(1∞) ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。
2022版高考数学一轮复习第7章数列第3讲等比数列及其前n项和课件
2．等比数列的通项公式及前 n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝ __a_1_q_n_－_1_.
通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn ＝__a_11_1－_－_q_q_n__＝a11－－aqnq.
第七章
数列
第3讲 等比数列及其前n项和
考点要求
考情概览
1．理解等比数列的概念， 考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一
掌握等比数列的通项公式 直是高考中的重点．预测本年度高考将会以
与前n项和公式．
等比数列的通项公式及其性质、等比数列的
2．能在具体的问题情境中 前n项和为考查重点，也可能将等比数列的
【答案】(1)4 (2)2n－1
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，q＞0，则a8＝a6＋2a4，即 a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2或q2＝－1(负值舍去)．又a2＝1，所以a6＝ a2q4＝4.
a1＋a2＋a3＝7， (2)由已知得a1＋3＋2 a3＋4＝3a2，
解得 a2＝2.设数列{an}的公比
【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)因为 x，x＋10，x－5 是等比数列{an}的前 3 项，所以 x(x －5)＝(x＋10)2，解得 x＝－4.则{an}的公比 q＝－－4＋410＝－32.
(2)设公比为 q，a5＋a7＝(a1＋a3)q4，a9＋a11＝(a1＋a3)q8，则 q4＋q8 ＝20，解得 q4＝4 或 q4＝－5(舍去)，所以 q2＝2.所以 a1＋a3＝a1＋2a1＝1， 解得 a1＝13.
03-第3讲数列极限PPT课件
二、数列的极限
数列极限的直观定义
1 1 1 例如 a n n 2 2 2 2
1 1(21)n 1 2 1 2
1 ,2 , ) 1 n , (n1 2
a n 无限接近 1 可以看出， 当 n 无限增大时，
“ 1” 是它的极限.
••••• •••••
… xn … x3
1 2
n
x2
1 4
x1
1 2
0
1 8
x
n 1 n 1 ( 3 ) { ( 1 ) } : 1 , 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) ,
n 1 通项 :x ( 1 ) . n
x 2n
–1
所有的偶数项
x 2 n 1
得到的一串数： x ,x , ,x , 1 2 n 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
公式法 运用数轴表示
图示法
运用直角坐标系表示 表格法
在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是 平面上一串分离的点. xn
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限
教案制作：吴洪武
作业
• 习题1-2（教材21页） • 1(1); 2(3); 4; • 5; 6; 7; 8.
第二节 数列的极限 一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质 四、子列
无限！ 再没有其它的问题
(
x1
以任务设计为载体培养学生数学思维品质的案例——以“数列的概念”教学为例
教学·现场以任务设计为载体培养学生数学思维品质的案例———以“数列的概念”教学为例文|展佳孙兰在传统的数学课堂教学中，教学过程多是由教师讲解，学生被动接受信息。
但从反馈回来的结果可以看到，课堂教学被局限在固定的模式中，学生的成绩“不增反减”，思维品质“停滞不前”，学生彻底成为课堂中的“木偶人”。
针对这种情况，笔者尝试将任务型教学融入课堂环境中，包括情境导学任务、驱动任务、作业任务等，不同任务的形式虽然有所差别，但核心依旧是围绕学生，通过师生交流、生生交流，让学生切实参与课堂，感受知识的发生、发展过程，最终使学生的思维品质得到良好发展，为他们的成长打好基础。
“数列的概念”是2019人教A版高中数学选择性必修二第四章“数列”第一节第1课时内容。
作为章首课，“数列的概念”和“通项公式”在学习中起着承上启下的作用。
一方面，在数列概念的归纳、提炼过程中蕴含着函数思想，通过学习数列，深化完善函数模型。
另一方面，本节课也是学习后面等差、等比数列的基础。
但是在实际教学中，教师和学生往往忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解，更关注于后面的实际应用，使得学生对数列的本质“知其然而不知其所以然”。
本节课，笔者设计了三个学习任务，围绕数列概念的教学进行了精心设计与实践，获得了一定成效。
一、导入任务，创设情境，经历数学概念的形成过程，培养思维的创造性请根据下面4个情境，回答问题。
情境1：传说古希腊毕达哥斯拉学派的数学家在研究数的时候，喜欢用沙滩上的小石子表示数。
石子能够摆成不同的几何形状，就产生了一系列有形状的数，如三角形数、正方形数、五边形数等。
请从小到大依次写出沙滩上的三角形数。
情境2：古语有云，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
若将起始长度理解为一个单位，那么每天所剩的长度依次为12，14，18，116……情境3：从1984年至今，我国参加奥运会各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32，51，38，26，38。
【数学分析课件@北师大】03数列极限
(2) an = n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 − n
qn (3) an = (q ≠ −1) n −1 1+ q + q
• 2.证明:
(1) lim an = lim an
n → +∞ n → +∞ n → +∞
(2) lim max(an , bn ) = max lim an , lim bn (3) lim min (an , bn ) = min lim an , lim bn
• 3. 证明:
a +b a −b max(a, b ) = + 2 2 a +b a −b min (a, b ) = − 2 2
10
习题五 (II)
• 4. 证明: 对于任何正实数b,和自然数n>1, 存在惟 一的正实数a使得a^n=b. 这个a叫作b的n次算术 方根, 记作 n b或b1/ n • 5. 写出一个数列为无上界, 无下界,及无界的定 义. • 6. 证明书上29页上的三个推论. • 7. 证明下列数列是无穷小数列:
n → +∞ n → +∞ n → +∞
(
(
n → +∞
n → +∞
)
)
22
习题六 (II)
• 3.证明: 若在保序性质和夹逼性质中, 将∀n换成 ∀n≥m, 则相应的结论仍然成立. • 4. 证明对于L=+∞或−∞, 夹逼性质仍然成立. • 5. 证明Stolz定理在L=+∞或−∞时也成立. an +1 = r < 1 , 则an → 0. • 6. 设∀n, an>0. 证明: 如果 lim n →∞ a n • 7. 计算下列数列极限:
【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题03 数列(学生版)
【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题03 数列（学生版）【考纲解读】1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【考点预测】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【要点梳理】1.证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：1n n a a d +-=为常数；（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-=+≥.2.证明数列{}n a 是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：1n na q a +=(非零常数)；（2）等差中项法：211(2)n n n a a a n +-=⋅≥.3.常用性质:(1)等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)等比数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅.4.求和:(1)等差等比数列,用其前n 项和求出;(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n 项和的常用性质. 【考点在线】考点1 等差等比数列的概念及性质在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。
第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习
第03讲 等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判断与证明 题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列， 所以228x =⨯，解得4x =±； 故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（ ） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==． 故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（ ） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=． 故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3， 故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（ ） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（ ）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=， 所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =． 当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-． 由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数． 例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-， 所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =． 当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---， 整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=， 又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=， 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列 定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（ ）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >， 所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（ ） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==， 所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______． 【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=； 当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ， 当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+， 即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =， 所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2． 所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-， 当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈， 当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =， 所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=， 即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+， 则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-， 所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--， 当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立， 即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =， 所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =； 当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =， 故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号， 若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--， 所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >， 即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥， 即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-， 因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =； （1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。
数列的概念与简单表示法
第六章 数 列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列?a n ＋1______a n ；递减数列?a n ＋1_____a n ；常数列?a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一 数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1.(4)观察数列{a n}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12（n 为奇数），2n2（n 为偶数）.类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ ． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n. 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n.(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项． 解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小． 解：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．故选C. 方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项 解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T nT n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n 解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgnn －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A. 6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.故填n （n ＋1）2.9．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列{1b n }为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是________． 解：4依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2. b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1), a 1适合此式， ∴a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
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题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
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对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
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(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
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解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
03-第3讲数列极限(1)
若 { xn } 满足 x1 x2 ... xn ..., 则称
{xn } 单调增加 也记为{xn } . ,
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
(2) 数列的有界性
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列 {xn } 有界. 否则称 {xn } 是无界的.
n
1 2 3 n n (5 ) , , , ..., , ... : 2 3 4 n1 n 1
n 通项 : xn . n 1
3. 数列的性质 (1) 数列的单调性
若 { xn } 满足 x1 x2 ... xn ..., 则称
{xn } 严格单调增加 记为{xn } . ,
取 N max{N1 , N 2 }, 则当 n N 时,
任 意 性
| a b | | a xn xn b | | xn a | | xn b | 2
常 数
由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .
唯一性定理的推论
n
lim xn a
n n
则 lim xn a, 其中 m Z .
n
n 1 , 当 n 为偶数, n 例10 设 xn 2 证明 : lim xn 1. n n 1 , 当 n 为奇数, 2 n 证 0, n 1 n 1 n 1 要 1 , 即要 , n n n
{2 } , 无界 (但下方有界： n 2 ). x
n
量化表示：n 时, xn a .
( 1) n 从数列 { xn } n 的图上看, 10
等比数列及其性质-人教版高中数学
知识图谱-等比数列的概念-等比数列的性质与判定-等比数列的前n项和等比数列的概念等比数列的通项公式等比中项等比数列的性质等比数列的判定等比数列的前n项和等比数列前n项和之比等比数列前n项和的变形第03讲_等比数列及其性质错题回顾等比数列的概念知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：二. 等比数列的通项公式由累积法推导等比数列的通项公式：，将这个式子的等号两边分别相乘得：，即.三. 等比数列的公比的公比为，由等比数列的通项公式易知：1. 对于任意正整数：，.2. 若是递增数列；是递减数列；是常数列．三点剖析一. 注意事项1. 等差数列公比时为摆动数列，符号正负相间，隔项符号一定相同；所以当给定数列某些项的值时，需要判断公比的符号，再确定数列的通项公式；2.等比数列的公比和各项都不为零.二. 方法点拨等比数列项数的设法1. 通项法：设数列的通项公式或.2. 对称法：当等比数列为的项数为奇数时，可设中间的一项为，再以公比为向两边分别设项：；当项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公比为向两边分别设项：三. 必备公式通项公式；公比题模精讲题模一等比数列的概念例1.1、如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（）A、b=3，ac=9B、b=-3，ac=9C、b=3，ac=-9D、b=-3，ac=-9例1.2、已知数列是等比数列，且，，则的公比为（）A、B、C、2D、例1.3、已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A、1+B、1-C、3+2D、3-2题模二等比数列的通项公式例2.1、已知等比数列{a n}为递增数列，且=a10，2(a n+a n+2)=5a n+1，则数列a n的通项公式a n=____．例2.2、数列的前项之和为则________.例2.3、下表给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（，，），则等于_____，（）．，，，…随堂练习随练1.1、公比为等比数列的各项都是正数,且,则（）.A、2B、4C、5D、7随练1.2、已知等比数列的前三项依次为，，，则______．随练1.3、在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是____．随练1.4、已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_______．等比数列的性质与判定知识精讲一. 等比中项如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.二. 等比中项的推广在等比数列中，如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，公比为，则有；若，则，也就是：；若，则；推广到三项，即，，，，，且；推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．三. 等比数列的性质1. 在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，为等比数列，公比为．2. 若均为等比数列，且公比分别为，则数列，，，也为等比数列，且公比分别为.三点剖析一. 方法点拨1. 等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；2. 等比数列与对数的结合等比数列中，若，则，相应的，，是等差数列，公差为.题模精讲题模一等比中项例1.1、若等比数列满足则___________.例1.2、公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A、1B、2C、4D、8例1.3、已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为____．题模二等比数列的性质例2.1、已知为等比数列,则（）B、A、C、例2.2、已知等比数列中，则的值为（）A、12B、10C、8D、e例2.3、已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A、a1+a3≥2a2B、+≥2C、若a1=a3，则a1=a2D、若a3＞a1，则a4＞a2题模三等比数列的判定例3.1、数列中，如果（），那么这个数列是（）A、公差为的等差数列B、公差为的等差数列C、首项为的等比数列D、首项为的等比数列例3.2、如果数列是等比数列，那么（）A、数列是等比数列B、数列是等比数列C、数列是等比数列D、数列是等比数列例3.3、下列一些关于数列的命题：①若既是等差数列，又是等比数列，则一定是常数数列；②若是等比数列，则数列一定也是等比数列；③若满足递推公式，则一定是等比数列；④若的前项和，则一定是等比数列．其中正确的有_____________．随堂练习随练2.1、已知为各项都是正数的等比数列，若，则（）A、B、C、D、随练2.2、在等比数列中，则（）A、B、C、或D、或随练2.3、已知等比数列满足，，且，则当时，（）A、B、C、D、随练2.4、在数列中，，且．（1）求，的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；随练2.5、已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．等比数列的前n项和知识精讲一. 等比数列的前项和公式．用错位相减法推导等比数列前项和公式：，等式两边同乘，并将等式左边每一项向后顺移一个位置得：，将这两式相减得：，从而得到等比数列的前项和公式；当时，.二. 等比数列前项和的性质等比数列的前项和可以构成一个等比数列，即，，成等比数列.公比为（为偶数时，）如下图所示：三. 等比数列的前项和公式与指数型函数1. 区别和联系（1）解析式都是指数型；定义域为（2）图像是指数型函数图像上一系列的定义域为点．2. 观察和得；相应的，当数列满足时为等比数列.3. 有指数型函数的性质可得：当时，递减有最大值，当时，递增有最小值；当时，递减有最大值，当时，递增有最小值．三点剖析一. 注意事项特别要注意等比数列前项和公式应分为与两类，当时，当时，，或.尤其，对于的等比数列，当时，，趋近于一个定值.二. 方法点拨对于题目中给出前几项和之间的关系，可以直接把所有都化为与的形式然后解方程，也可以进行等式恒等变形，利用，，成等比数列，直接解得，往往更为简单.题模精讲题模一等比数列的前n项和例1.1、设公比为的等比数列的前项和为，若则例1.2、等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1-2a n=0，则S5=____．例1.3、在等比数列中则（）A、B、C、D、题模二等比数列前n项和之比例2.1、设等比数列的前项和为若则（）B、A、C、例2.2、是等比数列，前项和为则____________.例2.3、设是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为则下列等式中恒成立的是（）A、X+Z=2YB、Y（Y-X）=Z（Z-X）C、Y2=XZD、Y（Y-X）=X（Z-X）题模三等比数列前n项和的变形例3.1、在等比数列中，，，则公比__________；_________．例3.2、设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（）A、B、C、D、随堂练习随练3.1、若等比数列满足，，则公比___________，前项和___________．随练3.2、设，则等于（）.A、B、C、D、随练3.3、在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A、2n+1-2B、3nC、2nD、3n-1随练3.4、设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列三个命题①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n=a n+1（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列；这些命题中，真命题的序号是____．随练3.5、设等比数列的前项和为若求数列的公比.随练3.6、已知是公比为2的等比数列，若，则______；______．自我总结课后作业作业1、在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A、33B、72C、84D、189作业2、已知数列1，a，9是正项等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则的值为____．作业3、已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A、B、C、D、2作业4、在3和一个未知数间添上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是_________．作业5、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列．作业6、已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A、5B、7C、6D、4作业7、在各项均为正数的等比数列中，若，则___________．作业8、已知数列的前项和为，且满足，则=_________；数列的前项和为_____________．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是____．作业10、命题1：若数列的前项和，则数列是等比数列；命题2：若数列的前项和，则数列是等差数列；命题3：若数列的前项和，则数列既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）A、0个B、1个C、2个D、3个作业11、（Ⅰ）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（Ⅱ）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．作业12、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为_________，的值为__________．作业13、数列中，设数列的前项和为则_________.设首项为正数的等比数列，它的前项和为80，前项和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．。
中职数学拓展模块一上册(3篇)
第1篇一、课程概述中职数学拓展模块一上册是针对中职学校学生开设的一门数学课程，旨在拓展学生的数学知识面，提高学生的数学素养，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
本课程以数学基础知识和实际应用相结合为教学核心，通过拓展学习，使学生能够更好地适应社会发展和职业需求。
二、课程内容1. 数列与极限（1）数列的概念及性质数列是由一系列有序的数按照一定的顺序排列而成的。
数列中的每一个数称为数列的项，数列的第一项称为首项，数列的公差称为通项。
（2）数列的极限数列的极限是数列在无穷远处趋近于某一固定值的性质。
极限是数学分析的基础，对于理解数学问题具有重要意义。
2. 函数与极限（1）函数的概念及性质函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数具有单调性、连续性、可导性等性质。
（2）函数的极限函数的极限是函数在自变量趋近于某一固定值时，函数值趋近于某一固定值的性质。
函数极限在数学分析中具有重要意义。
3. 导数与微分（1）导数的概念及性质导数是函数在某一点的瞬时变化率，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
导数具有可导性、连续性等性质。
（2）微分及其应用微分是导数在自变量变化很小的情形下的近似值。
微分在几何、物理等领域有着广泛的应用。
4. 不定积分与定积分（1）不定积分的概念及性质不定积分是导数的反函数，它表示函数在某区间上的无穷多个原函数。
不定积分具有可导性、连续性等性质。
（2）定积分的概念及性质定积分是表示函数在某区间上所有积分的代数和。
定积分在几何、物理等领域有着广泛的应用。
5. 常见函数的性质与应用本模块介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数的性质和应用，使学生能够掌握这些函数的基本知识和应用方法。
三、教学目标1. 知识目标（1）掌握数列、函数、导数、积分等基本概念和性质；（2）了解数列极限、函数极限、导数、积分等基本理论；（3）掌握常见函数的性质和应用。
2. 能力目标（1）培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；（2）提高学生的数学素养和实际应用能力；（3）培养学生的创新意识和团队协作精神。
03-第3讲数列极限
m x n M ,取 M * m|M a|,x |m |} {, 则 M * x n M *即 ,|x n| M * .
一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn}的所有上界中的, 最小者 称为数列的 , 记 上为 确 suxp界 n.
数列 {xn}的所下 有界中的, 最大者 称为数列的 , 记 下为 确 infx界 n.
现在来讨论如何定义数列的无界：
首先看有界性定义的关键所在
对所有的
若 M 0 ,使 |x n | 得 M ,n Z 成 , 立 则称{数 xn}M 有 列 这.界 么办？使若不有等一式个不n成 0 立
1
01
2n
1
1
x1 x
2
4
8
2 1 n , 有(可 界M 取 1 2).
( 3 ){ ( 1 ) n 1 } :1 , 1 ,1 , 1 , ,( 1 ) n 1 ,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{ 1 ) (n 1 } 不 ,但 单 (可 有 调 M 取 1 界 ).
若 M 0 ,使 |x n | M 得 ,n N 成 , 立 则称 { x n } 有 数 .否 界 列 { 则 x n } 是 称 无 . 界
想想：
有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？
如何定义数列无界？
| xn | < M*, n N xn U( 0, M* ), n N
10n
的图上看,
数列an的通项公式
数列an的通项公式我们来介绍一下数列的基本概念。
数列由一系列数字按照一定规律排列而成，每个数字称为数列的项，用an表示。
数列中的数字可以是整数、小数或者分数，它们之间可能存在某种规律或者关系。
数列的通项公式是指通过数列中项的序号n，可以计算出对应的项的数学表达式。
通项公式通常使用an来表示，其中n为项的序号。
通过通项公式，我们可以根据数列的序号计算出数列中任意一项的值，从而方便地进行数列的运算和研究。
在数列的研究中，常常需要探讨数列的性质和规律。
数列的性质包括有界性、单调性、递推关系等。
有界性是指数列中的项有上界和下界，即存在一个最大值和最小值；单调性是指数列中的项按照一定的顺序递增或递减；递推关系是指数列中的每一项可以通过前一项或多个前几项来计算得到。
接下来，让我们来看一些常见的数列类型。
等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变，这个差值称为公差。
等比数列是指数列中的相邻两项之比保持不变，这个比值称为公比。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
这些数列在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如在几何问题、金融领域以及自然科学研究中。
数列的通项公式不仅可以用于计算数列中任意一项的值，还可以用于研究数列的性质和规律。
通过观察数列的前几项，我们可以尝试找到数列的递推关系，进而得到数列的通项公式。
数列的通项公式可以帮助我们更好地理解数列的特点和变化规律，从而应用到更复杂的数学问题中。
除了数学领域，数列的应用还可以扩展到其他学科和实际生活中。
例如，在计算机科学中，数列的概念可以用于算法设计和数据分析；在经济学中，数列可以用于描述市场变化和经济趋势；在物理学中，数列可以用于描述运动规律和波动现象。
数列的通项公式为我们提供了一个数学工具，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
数列的通项公式是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们计算数列中任意一项的值，研究数列的性质和规律，以及应用到各个学科和实际生活中。
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数列的概念与通项公式
【基本概念】
1．数列、数列的项
按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．2．数列的通项公式
数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列与函数的关系
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．
4．数列可用图象来表示
在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于第一象限、第四象限或x轴的正半轴.
5．数列的递推公式
如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．通项公式与递推公式的区别与联系
通项公式 项a n 是序号n 的函数式a n ＝f (n ) 都是数列的一种表示方法， 可求出数列中任意一项
递推公式
已知a 1及相邻项间的关系式
【经典例题】
1.数列的有关概念与分类
例1 已知下列数列：
（1）2000,2004,2008,2012； （2）0，12，23，…，n －1n ，…； （3）1，12，14，…，12
n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1
，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ
2，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，摆动数列是_______，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)
2.观察法求数列的通项公式
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）11×2，－12×3，13×4，－1
4×5； （2） 22－12，32－13，42－14，52－15；
（3）112，223，334，445
； （4）9，99，999，9999.
3.数列通项公式的应用
例3 （1）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
n 2n 2＋1，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？ 若是，是第几项？
（2）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos nπ2.求证：a m ＋4＝a m .
4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式
例4 根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1 (n ∈N *)
（2）a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n
n ＋1.
（3）a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)
【总结提升】
1．数列的通项公式
如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．
2．数列与函数的关系
对任一数列{a n}，每一项的序号n与这一项a n的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函
数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…. 3．数列的表示法
从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：
(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的
方法．
(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)
上横坐标为正整数的一些孤立的点．
4．通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.
5．如何用递推公式给出一个数列
用递推公式给出一个数列，必须给出
①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；
②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．。