基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件

x
y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 x 2 2 2 y 2 2
即此时
y 2x 而 2 x y 1
ymin 3 2 2
正解二： 2x y 1
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
综上所述：当 x 0时，y min 2 当x 0时，y max 2
2 引例2：已知x 1, 求y x 的最小值 x 1 解法一： x 1 2 x x 1
2 y x 2 x 1
积不是 定值
解法二：
x 1, x 1 0 2 当且仅当x 时，y有最小值 x 1 此时x 2 x 2 0, 解得x 2, x 1(舍去) 2 2 4 2 1
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1 1 即 的最小值为 4 x y
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
2
“=”号的条件是不同的，
故结果错。
1 1 正解一： 2x y 2x y x y
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1 9 1、已知 x 0, y 0, 且 1, 则x y的 最 x y 16 小值为____.
2、设 a 0, b 0 且a+b=3,则２a＋２b的最小值 为___ 4 2.
３、设
x, y
满足 x 4 y 40 ，且 x 0, y 0 ，则
lg x lg y的最大值是（
设a 0, b 0, a b 1
1 你能给出几个含有 0 ab 1 1 4 4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1 a b 2 倒数
乘积
1 1 25 ( a )( b ) a b 4
平方
1 1 (1 )(1 ) 9 a其他 b
作业
1 1 1 1 ( ) (2 x y ) x y x y
y 2x y 2x 3 2 3 2 2 3 x y x y
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
ymin 3 2 2
大显身手
1、已知x 0, y 0, xy 3, 求2 x 5 y的最小值 2、已知x 0, y 0, x y 3, 求xy的最大值 1 1 3、已知x 0, y 0,2 x y 1, 求 的最小值 2x y 4、已知x 0, y 0,2 x y 3, 1 1 求 的最小值 2x y 5、已知x 0, y 0,2 x 5 y 20, 求 lg x lg y的最小值
1 引例3：已知 x 3, 求y x 的最小值 x
解： x 3 y x 1 1 2 x 2 x x 1 当且仅当x 即x 1时，ymin 2 x
“=”不成立
正解：
x 3
1 y x 在定义域上是增函数 x
当y 3时， ymin
1 10 3 3 3
1 当且仅当 x 即x 1时， ymin 2 x 1 当x 0时， x 0, 则y x x
1 x 2 x 1 x 2 x 1 y 2, 当且仅当 x 即x 1时 x ymax 2
的几何平均数, 那么均值不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
a
b
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正 数的和与两正数的积之间的大小关系, 运 用该不等式可作和与积之间的不等变换.
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引例1：求 的最值 解法： 1 1 y x 2 x 2 x x 1 当x 即x 1时，y min 2 x
1 y x x
不满足 x>0 的条件
x 0
正解：
1 函数 y x 定义域为（ - ， 0） （0， ） x
1 1 当x 0时，y x 2 x 2 x x
优化设计
再见!
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基本不等式（又叫均值不等式）
ab
ab 2
(a 0, b 0)
2

a b 2 ab (a 0, b 0)
当且仅当a=b时等号成立
ab ab 2
(a 0, b 0)
代数意义：
a b 如果把 看做是两正数a、b 2 的算术平均数, ab 看做是两正数a、b
y min
正解：
x 1, 则x 1 0
配凑成积成 定值
2 2 y x ( x 1) 1 x 1 x 1
2 2 x 1 1 2 2 1 x 1
2 当且仅当x 1 即x 1 x 1 ymin 2 2 1 2时
基本不等式应用条件
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值）， 求 xy 的最大值； （2） 已知 x, y 是正数， xy 求 x y 的最小值；
S （定值），
一正二定 三相等
和定积最大 积定和最小
1 1 已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
解：1 2x y 2 2xy