北京第二十五中学高三数学文月考试题含解析

北京第二十五中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象大致是（）
参考答案：
D
2. 函数在区间（）内的图象是 ( ）
参考答案：
D
3. 等差数列的前n项和为，已知.则等于（）
A．100 B．50 C. 0 D．－50
参考答案：
C
设等差数列的公差为，又，
所以，解得，所以，故选C.
4. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。

公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
参考答案：
B；
①因为抽取销售点与地区有关，因此要采用分层抽样法；②从20个特大型销售点中抽取7个调查，总体和样本都比较少，适合采用简单随机抽样法。

5. 如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm, 该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点, ,,,分别是以AB, BC, CD, DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以AB, BC, CD, DA为折痕折起,,,,使得E,F,G,H重合,得到四棱锥. 当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm3)的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
6. 已知集合，，则（）
A、B、C、D、
参考答案：
B
7. 用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）
参考答案：
B 略
8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(l ，2)，若P 是拋物线 y 2
=2x 上一动点，则P 到y 轴的距离与
P 到点A 的距离之和的 最小值为
(A) (B).
(C)_
(D)
参考答案： C
略
9. 已知函数，若关于的方程
有两个不同的实根，则实数的取值范围是
（ ） A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
10. 定义在R 上的函数满足：成立，且
上单调递
增，设，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f （x ）=
，各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n+2=f （a n ），若a 2010=a 2012，则a 1800+a 15的值
是
． ．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】题中给出了数列隔项递推公式，给出两个条件，一个用来解决偶数项，一个用来解决奇数项，即可得出． 【解答】解：∵f（x ）=
，各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n+2=f （a n ），
∴a 1=1，a 3=，a 5=，a 7=，…，a 15=
．
∵a 2010=a 2012，
∴a 2010=，∴a 2010=（负值舍去），
由a 2010=，得a 2008=，…，a 1800=．
∴a 1800+a 15=
． 故答案为：
．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 已知0＜θ＜，由不等式tan θ+≥2，tan θ+=++≥3，
tan θ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：
tan θ+
≥n+1，则a= _________ ．
参考答案：
n n
略
13. 扇形的半径为，圆心角∠AOB＝120°，点是弧的中点，，则
的值为▲ .
参考答案：
答案：
14. 已知函数，若函数无零点，则实数的取值范围是
．
参考答案：
＜
15. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5
分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．
参考答案：
15
16. 已知函数，若，则的值为．
参考答案：
4
依题意函数f(x)的自变量满足，即，此时恒成立
∴
∴
∴故答案为4.
17. 已知抛物线的弦AB的中点的横坐标为2，则的最大值为 .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．
(1)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．
参考答案：
（1）（2）2
（1）直线的极坐标方程，曲线普通方程
（2）将代入得，
19. （本小题满分12分）已知函数其中，
（Ⅰ）若求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离
等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象
左平移个单位所对应的函数是偶函数.
参考答案：
解（I）由得2分
即又
4分
（Ⅱ）由（I）得，依题意，
又故
6分函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为
8分
是偶函数当且仅当
即
10分
从而，最小正实数
12分略
20. 下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况: 记本月价格指数上月价格指数. 规定：当时，称本月价格指数环比增长；
当时，称本月价格指数环比下降；当时，称本月价格指数环比持平.
(Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；
(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率;
(Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)
参考答案：
（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分
（Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有
4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------7分
在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分
其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分
∴ -----------------------------------------10分
（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.
略
21. 已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调增函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在,请说明理由．
参考答案：
（1）a=1 (2) (3)不存在
22. （本小题15分）已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数在上的值域．
参考答案：
（I）（II）
【知识点】三角函数的图象与性质C3
（I）解法1：由已知得
………………………………………5分
故函数的最小正周期为；………………………………………………7分
解法2：
，………………………………5分
故函数的最小正周期为；………………………………………………7分
解法3：
…………………………5分故函数的最小正周期为；………………………………………………7分
（II）由（I）得…………………………8分
设，当时…………………………10分
又函数在上为增函数，在上为减函数，…………………12分
则当时有最小值；当时有最大值，………………14分
故的值域为
…………………………15分
【思路点拨】（I）先对函数化简，再根据公式求出周期（II）根据三角函数的单调性求出最值。