2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质检测数学(理)试题.(原卷版)

2020年安徽省“江南十校”综合素质检测
理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数2
(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知集合{}
{}
2
34,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =I （ ）
A. (1,2)-
B. (2,7)
C. (2,)+∞
D. (1,2)
3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°
，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A. 58厘米 B. 63厘米
C. 69厘米
D. 76厘米
4.函数cos ()22x x
x x f x -=
+在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
5.若5(1)(1)ax x ++的展开式中23
,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）
A. 3-
B. 2-
C. 1-
D. 1
6.
已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 大小关系为（ ）
A. b c a >>
B. a b c >>
C. c a b >>
D. c b a >>
7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）
A. 112
-
B.
2360
C.
1120
D.
4360
8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)
之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A.
15
B.
13
C.
35
D.
23
9.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927
n S S S =
=，则12n a a a L 的最小值为（ ） A. 2
4(
)27
B. 34(
)27 C. 44(
)27
D. 54(
)27
的
10.已知点P
是双曲线22
22:1(0,0,x y C a b c a b
-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐
近线的距离之积为2
14
c ，则双曲线C 的离心率为（ ）
D. 2
11.已知2
π()12cos ()(0)3
f x x ωω=-+>.给出下列判断：
①若12()1,()1f x f x ==-，且12
min
πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫
⎪⎢
⎭
⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤
⎥⎝⎦.
其中，判断正确个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）
A 12
B.
D.
163
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数2
()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处
切线方程为___________.
.
14.若200,50x x ∃∈-<R 为假，则实数a 的取值范围为__________.
15.在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且
||OC =u u u r OC u u u r
的坐标为___________.
16.已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22
:(3)4M x y -+=的切线，切
点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin sin()3
c B b C =-+. （1）求角C 的大小；
（2）若3c a b =+=，求AB 边上的高.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,AB CD CD AB AD ===，
PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）求证：//AE 平面PBC ；
（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值. 19.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.
（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2
n Q Q =. ①求2Q ；
②当*N n ∈时，记111
,2
n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.
20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>
3
)4
，点P 在第一象限，A 为左
顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.
21.已知函数2
()ln ()f x x x ax a =-+∈R .
（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线
y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.
22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x m y k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n
n
y k =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标
方程为(0)θαρ=…
，4tan 032παα⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径. 23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；
（2）若不等式22()m x x f x --…在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.。