第1章 线性空间与线性变换-1

例如：在正实数集R {a | a 0, a R} 中定义加法“”和数乘“”运算如下： a b ab, a a , a,b R , R 则R是数域R上的线性空间。
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事实上， a, b R a b ab R; R, a R a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： (1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c); (3) R中存在零元素 1, 对于a R , 有
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例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维 向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。 例2 数域 F 上 m n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 和数乘，构成 F 上的线性空间 F mn 。 例3 数域 F上一元多项式全体按照多项式的加法以 及数与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F[ x] 。
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第一章 线性空间与线性变换
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§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[a, b]
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例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间， 或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn} Ker( A)
向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dimV n
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定理1.1.1 数域 F 上的线性空间 V 中的任意向 量在给定基下的坐标是唯一的。
例9 线性空间 F[ x]n 是数域 F 上的n维空间，其 基可取为 1, x , x 2 , , x n1 .
例10 线性空间 F n 是数域 F 上的n维空间，其 基可取为 e1 , e2 , , en .
则必有 r+1 V 且r+1 W ，使得
α1, α2 ,, αr , αr+1 线性无关。 否则对任意 V W ，都有 α1, α2 ,, αr , β 线 性相关。这样 β 可由 α1, α2 ,, αr 线性表示，即
β ÎW 。与 β 的取法矛盾。
重复上述过程，直至得到 V 的基 α1, α2 ,, αn
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以下定理告诉我们，如何找到有限维线性空间的基。
定理1.1.2 （基的扩张定理） 数域 F 上的 n 维 线性空间 V 中的任意一个线性无关向量组
1,2 ,r (1 r n)
都可以扩充成 V 的一组基。
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定理 1.1.2 的证明：令 W º span{α1, α2,, αr }
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(３) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得
(４) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
(５) 数乘的结合律：k(l ) (kl) (６) 数乘的单位元：1 (７) 分配律1: k( ) k k (８) 分配律2:(k l) k l
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一、从向量谈起
对于平面 R2 中的任意向量，我们已定义过加法及数
乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的
结果仍在 R2 中。
而且这两种运算满足下面8条运算律：
对、、 R2，k、l R, 成立 (１) 加法交换律： ， (２) 加法结合律：( ) ( )，
[1,,n ] [1,,n ]P
则称上式为基变换公式，矩阵 P 为基 1,,n 到基 1,,n 的过渡矩阵。
对于线性空间 V ，有 P [1,,n ]1[1,,n ]
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定理1.1.3 设 n 维线性空间 V 中元素 在基 1,,n
与基 1,, n 下的坐标分别为 x [ x1,, xn ]T ， y [ y1,, yn ]。T P为基 1,,n 到基 1,, n的过
a 1 a 1 a;
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(4) aR,有负元素a1 R,使 a a1 a a1 1;
(5) 1 a a1 a;
(6) λ μ a λ a μ a μ λ a λμ λμ a;
(7) a a aa a a a a;
(8) λ (a b) λ (ab) abλ aλbλ aλ bλ λa λb.
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由基的定义，在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基。
对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何 改变呢？
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二、基变换和坐标变换
定义 设 1,,n 和 1,,n 是 n 维线性空 间 V 的两个基，且存在可逆矩阵 P ，使得
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例13 在线性空间 F[ x]3 中，显然 1 1, 2 x, 3 x 2
是 F[ x]3 的一组基，此时多项式 3 2x 4x2
在这组基下的坐标就是 ( 3, 2, 4 )T . 证明 1 1, 2 ( x 2), 3 ( x 2)2 也是 F[ x]3 的基,并求 1,2,3 及 在此基下的坐标。
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分析： 容易验证 1, 2, 3 线性无关，因此
也是 P[x]3 的基。 又 1 1 1 0 ( x 2) 0 ( x 2)2 1 1 0 2 0 3 2 2 1 1 ( x 2) 0 ( x 2)2 2 1 1 2 0 3 3 4 1 4 ( x 2) 1 ( x 2)2 4 1 4 2 1 3 23 1 18 ( x 2) 4 ( x 2)2 23 1 18 2 4 3 所以所求坐标分别为 (1, 0, 0)T , (2,1, 0)T , (4, 4,1)T 和 (23,18, 4)T .
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本课程的主要内容
1.矩阵理论：如线性空间、线性变换、 内积空间、正交投影、Jordan标准型、 矩阵分解、特征值、范数理论等； 2.矩阵分析：如矩阵序列、矩阵级数、 矩阵函数计算及其应用等；
3.特殊矩阵：如正矩阵、非负矩阵、 随机矩阵、M矩阵等。
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参考书 1.Matrix Analysis：R.A.Horn, C.R. Johnson, Cambridge University； 2.Matrix Theory：F.Zhang, SpringerVerlag NewYork Inc； 3.矩阵分析：史荣昌，魏丰，北京理 工大学出版社； 4.矩阵论(辅导讲案)：张凯院，徐仲， 西北工大出版社。
例8 集合 V { x x [ x1, x2 ,1]T , x1, x2 R} 不是
一个线性空间。因为加法不封闭。
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三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F上的线性空间，则
(1) 线性空间V 中的零向量 是唯一的。 (2) 线性空间V 中的每个向量的负向量 是唯一的。 (3) 0 , k (4) 当 k 时，有 k 0 或 (5) ( x y) x y x( ) x x
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四、基、坐标、维数
定义1.1.2 给定线性空间 V ，如果存在 V 中的
一组向量
（1） 1
,1,,,n 线n 性，无满关足；：
（2） V 中任意向量 都能由 1,,n 线性表
示。即存在数 x1,,xn F ，使
x11++xnn
则向量组 x1 , ,xn
1,,n 就称为 V 的一个基，系数 就称为向量 在此基下的坐标，基中的
渡矩阵，则成立坐标变换公式：
x Py 即 y P 1x
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证明： 由于 x11 xnn
x1
(1
,,
n
)
(1,,n )x
xn
1,, n y (1,,n )Px
因为坐标唯一，所以 x P y
由于 P 可逆，所以也有 y P 1x
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例 13 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
问：S { x Rn | Ax b, b 0, A Rmn } ?
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例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的 线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R(A) {yRm | y Ax, xRn, ARmn} Im( A)
例11 线性空间F mn是数域 F 上的m × n维空间， 其基可取为 E ij .
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例12 向量空间C 是实数域 R 上的二维空间，其 基可取为 {1, i} ，即
C span{1, i} {a 1 b i | a, b R} 同时向量空间 C 也是复数域 C 上的一维空间，其 基可取为 {1} ，即
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解：
B 1 B 2 B 3 B 4 A 1 A 2 A 3 A 4 P
其中，
1 0 0 2
P
1
0
1 1
0 1
0 0
.
0
0
1
1
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又
1 2 2 2
P
1
1 1
1 1
2 1
2 2
.
1
1
1
1
故
y1
x1
y2
y3 y4
P 1
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例4 数域 F上次数小于n的一元多项式再添上零多
项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构 成 F上的线性空间 F[ x]n
问：数域 F 上次数等于n的一元多项式再添上零多
项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构
成F上的线性空间吗？
例5 区间 [a, b]上全体连续实值函数全体按通常函
(I )
A1
1
0
0 0
,
A2
0
0
1 0
,
( II )
A3
0
1
B1
1
0
0 0
,
1 0
,
A4
0
0
B2
0
1
0
1
1 0
,
B3
0
1
0 1
,
B4
求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵P以及 C
在基 ( II ) 下的坐标。
2 0

1 x1
x3
x2
x
4
x2 x3 x4
.
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C span{1} {k 1 | k C }
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说明: （1）线性空间的基不一定存在.如
V {0}, dim{0} 0 V F[ x], dim F[ x]
（2）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性 空间.本书只讨论有限维线性空间
（3）n维线性空间任意n个线性无关的向量均构成一组基
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(３) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(４) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(５) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
(６) 数乘的单位元：1
(７) 分配律1: k( ) k k
(８) 分配律2:(k l) k l
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注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
根据线性代数的知识，二维空间 R2 显然可推广到 n 维向量空间 Rn 。并且数乘所依赖的实数域 R 也可 推广到复数域 C 。相应的向量空间分别称为实向量
空间和复向量空间。
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n 阶的实矩 阵的集合 R mn 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满 足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。
不过这里的“向量”是实矩阵！！
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二、线性空间的概念
定义1.1.1 如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运 算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律， 那么就称集合V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
对、、 V，k、l F R或F C, 成立 (１) 加法交换律： ， (２) 加法结合律：( ) ( )，