安徽省合肥市2016届普通高等学校招生统一考试数学(理)试题 含答案

理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知集合{}02M x R x =∈<<，{}ln 0N x R x =∈>,则M
N =(
)
A ．[1,2)
B ．(1,2)
C ．(0,)+∞
D ．(0,1)
2.复数
3
31i i
++在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3。

对于任意一个定义域是R 的函数()f x ,设1
()()
()2
f x f x f x +-=
，
2()()
()2
f x f x f x --=
，则一定有( ）
A ．1
()f x ,2
()f
x 都是奇函数 B ．1
()f x ，2
()f
x 都是偶函数
C ．1
()f x 是奇函数，2
()f
x 是偶函数 D ．1()f x 是偶函数,2
()f
x 是奇函数
4.边长为1的正三角形ABC 中,,D E 分别是,BC AC 的中点，则AD BE •=( ） A ．38
- B ．38
C ．33
D 3
35.双曲线22
22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线之间的夹角为060,且C 过点
(1,1)，则a =(
）
A ．32
B ．
6 C ．23 D 66。

某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老
师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）
A ．12
B ．13
C ．16
D ．14
7。

若函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2
πωϕ><）的图象过点(1,0)，且图象的一条
对称轴为2x =,则ω的最小值是（ ） A ．2
π B ．π C ．2 D ．4
8。

某几何体的三视图如图所示，正（主）视图是一个正方形，俯视图是一个正三角形和半圆,则该几何体的体积为（ ) A ．
33
π
+
B ．
233
π+
C ．2
33
π
+
D ．22
33
π+
9.二项式2
6()x
x y ++的展开式中72x y 的项的系数为( ）
A ．120
B ．80
C ．60
D ．50
10.祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,已知，两
个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h ），其中：三棱锥的底面是正三角形(边长为a ），四棱锥的底面是有一个角为0
60的菱形（边长为b ）,圆锥的体积为V ，现用平行于这
两个平行平面的平面去截三个几何体,如果截得的三个截面的面积总相等，那么，下列关系式正确的是( ） A
．a h =
,b h
= B
．a h =
,b h
=
C
．a =
b = D
．a =
b = 11。

已知椭圆：22
143
x y +=,左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆
于,A B 两点,则2
2
AF
BF •的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．254
D ．5
12.已知函数()(1)ln(1)f x x x =++,若函数()2(1)h x f x =-与3
y x
mx =-的图象在区间
1
[,]e e
上有2个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．[1,2]
B ．2
1(1,2]e + C ．1[1,3)e
+ D ．(2,4]e +
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.
13。

设,x y 满足约束条件4y x
y x x y a ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
，若3z x y =-的最大值为
2，则a =-
_______________。

14。

执行如图所示的程序框图,则输出的S =_______________。

15。

已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若
sin sin 2sin a A b B C +=,2c =，则2a b +的最大值是_______________。

16。

若两个矩形ABCD 与ABEF 所在的平面互相垂直，且它们的顶点都在球O 的表面上，12AB AD AF ++=，则球O 的表面积的最小值为_______________。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17。

（本小题满分12分)
已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且22n
n S
a +=。

（1）求{}n
a 的通项公式；
（2)若n n
a b
n =，求数列{}n b 的前n 项和。

18。

（本小题满分12分)
2015年12月第二届世界互联网大会在我国举行,为调查关注此次大会的人是否与性别有关，随机调查了1000人，其中女性600人，男性400人,女性中有360人表明关注，而男性中有260人表明关注。

(1）根据以上数据补全下面的22⨯列联表：
关注 不关注
总计
是
否
关
注
性
别
女性 男性 总计
(2）能否有90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关?
(3）若要从表明关注的人中间按照性别分层抽取31人去大会举办地参观考察，求男女各抽取多少人,若从抽取的人中再随机抽取3人,求抽到的男性人数多于女性人数的概率.
附:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k ≥
0。

50 0。

40 0。

25 0。

15 0.10 0k
0.455
0。

708
1.323
2.072
2。

706
19.(本小题满分12分）
如图,在正三棱柱111
ABC A B C -(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）
中,1
2BC CC
==，,M N 分别是1CC ，1BB 的中点.
（1)求证:平面1
AB C ⊥平面1
A M
B ； （2）求二面角1
B AM N --的余弦值。

20。

（本小题满分12分） 已知抛物线C 的方程2
4x y =，(2,1)M 为抛物线C 上一点,F 为抛物线的焦
点.
(1)求MF 。

(2）设直线1
:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点P ，且与直线2
:1l
y =-相交
于点Q ，试问:在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分） 已知函数2()x
x f x x ae e =--（a R ∈，e 为自然对数的底数)。

（1)若()0f x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若方程0x
x ae
-=有两个不同的实数解12,x x ，求证：22
122x x +>。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22。

(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图所示，AB 是圆O 的直径，PC 是圆O 的一条割线,且交圆O 于C ,D 两点,AB PC ⊥，PE 是圆O 的一条切线，切点为E ,AB 与BE 分别交PC 于M ，F 两点。

(1）证明：PEF ∆为等腰三角形； (2）若 5.3PF PD ==，求DC 的长度.
23。

(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线:sin()24
l πρθ+=与圆:4O ρ=.
（1）分别求出直线l 与圆O 对应的直角坐标系中的方程；
（2）求直线l被圆O所截得的弦长。

24。

（本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知1,0,0
a b a b
+=>>。

（1)求14
+的最小值;
a b
(2)若14211
+≥--+恒成立,求x的取值范围.
x x
a b
参考答案：
一、选择题：
1-5.BDDAD 6-10。

CACCC 11—12。

CB
二、填空题：
13。

2 14。

2500 15。

16.
48π
三、解答题: 17。

解：
(1）当1n =时，1
111,22S a S a =+=，可得12a =.
当2n ≥时，11(22)(22)n
n n n n a
S S a a --=-=---，即12n n a a -=，
故数列{}n
a 是以2为公比和首项的等比数列， 则{}n
a 的通项公式是2n n
a
=.
(2)由n n
a b n =及2n n a =,可得2n n
n b =。

令231123
1222
22
n
n n n n
T
--=
+++++,①
两边都乘以2可得221231212222n
n n n n
T ---=+
++++，② ②-①可得2111
12(1)222
222
n
n n n n n T -+=+++
+-=-. 18。

解:
（2)根据列联表中的数据，得到
2
2
1000(360140240260) 2.547 2.706600400620380
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
因此没有90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关 （3)女性抽取360
3118360260
⨯
=+人，男性抽取311813-=人
从抽取的人中再随机抽取3人,抽到的男性人数多于女性人数的概率
是3221818133
31338899
C C C C +=。

19.解：
（1)过点A 作AK BC ⊥，垂足为K ，连接1
B K ，则K 为B
C 的中点。

因为1
BC CC =，底面ABC ∆是正三角形,
所以四边形11ABB A 是正方形，所以1
1AB
A B ⊥.
易证MCB ∆1
KBB ≅∆，所以1
MBC KB B ∠=∠。

所以1
1
1
90MBC BKB KB B BKB ∠+∠=∠+∠=，
又1
KB
AK K =，所以BM ⊥平面1AKB ，所以1BM AB ⊥， 又1
A B
BM B =,所以1AB ⊥平面1A MB ,
又1
AB ⊂平面1
ABC ，所以平面1
AB C ⊥平面1
A M
B .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则(
3,1,0)A ,(0,0,1)M ，(0,2,1)N ，1(0,2,2)B ，
则(3,1,1)AM =-
-,1(3,1,2)AB =-，(3,1,1)AN =-，
设平面1
AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则
由100
n AM n AB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得(,,)(3,1,1)0
(,,)(3,1,2)0x y z x y z ⎧•--=⎪⎨
•-=⎪⎩，
解得32x y
z y
⎧=-⎪⎨
=-⎪⎩， 令1y =-，得(
3,1,2)n =-为平面1AMB 的一个法向量.
设平面AMN 的法向量为'
'
'
(,,)m x y z =,则
由00m AM m AN ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得'''
'''(,,)(3,1,1)0
(,,)(3,1,1)0
x y z x y z ⎧•--=⎪⎨•-=⎪⎩解得'''
03y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
令'
1x
=，得(1,0,3)m =为平面AMN 的一个法向量。

设二面角1
B AM N --的大小为θ。

则(1,0,3)(3,1,2)36
cos 8222
m n m n
θ••-=
=
=•。

即二面角1
B AM N --的余弦值为368。

20.解：
(1）由题可知24p =，即2p =， 由抛物线的定义可知122
P
MF
=+
=。

(2）由C 的图象关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上（直线1
l 表示过点(0,)m 的直线系，若点
N
不在y 轴上,假设(,)N a b （0a ≠），则由对称性可知以PQ 为直径的圆恒
过点'
(,)N a b -，则可得以PQ 为直径的圆的圆心恒在y 轴上，与已知矛
盾），设(0,)N n ，又设点2
0(,)4
x P x ，由直线1:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点
P 知，直线1l 与C 相切，由214y x =得'12y x =。

∴0'
012
x x k y x === ∴直线1l 的方程为2000()42
x x y x x -=-。

令1y =-，得200
22x x x -=. ∴Q 点的坐标为0
02,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， ∴200(,)4x NP x n =-,00
2(,1)2x NQ n x =---。

∵点N 在以PQ 为直径的圆上, ∴22220002(1)()(1)20244
x x x NP NQ n n n n n •=--+-=-++-=（*) 要使方程（＊）对0
x 恒成立， 必须有210
20n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =，
∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)。

21。

解：
（1)()0f x ≤，即20x x x ae e --≤，等价于x x x a e e
≥-。

设()x x x g x e e =-,则2'1()x x e x g x e
--=, 当0x <时，210x e
x -->，'()0g x >，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增; 当0x >时,210x e
x --<,'()0g x <，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递减. 所以max ()(0)1g x g ==-，
所以1a ≥-。

(2）因为方程0x x ae
-=有两个不同的实数解12,x x , 所以11x x ae =,22x x ae =,
因此1212()x x x x a e e -=-,即1212x x x x a e e -=-。

先证明122x x +>,
要证明12
2x x +>,只要证明12()2x x a e e +>， 即证121212()2x x x x e e x x e e
+->-， 即证1212121()21
x x x x e x x e --+->- 不妨设12x x >,记12t x x =-，则0,1x t e >>。

因此只要证明121
t t e t e +•>-, 即证(2)20t
t e t -++>， 记()(2)2(0)t h t t e t t =-++>，则'()(1)1t h t t e =-+， 记()(1)t m t t e =-，则'()t
m t te =， 当0t >时，'
()0m t >，所以()(0)1m t m >=-, 即0t >时，(1)1t t e
->-,则'()0h t >，所以()(0)0h t h >= 即(2)20t t e t -++>成立，
所以1
22x x +>得证。

所以222
2
1212
()2222x x x x ++>>=，即22122x x +>成立. 22.解:
（1)连接OE ,∵PE 切圆O 于点E ，
∴OE PE ⊥,∴0
90PEF FEO ∠+∠=， 又∵AB CD ⊥,∴0
90B BFM ∠+∠=，
又∵B FEO ∠=∠，∴BFM PEF ∠=∠,
又∵BFM PEF ∠=∠，
∴PEF PFE ∠=∠,即PEF ∆为等腰三角形。

（2)由切割线定理知2PE
PD PC =•,，即2PF PD PC =•， 解得253PC =, ∴2516333
DC PC PD =-=-=. 23.解：
(1）因为cos ,sin x y ρθρθ==， 所以直线sin()24πρθ+=的直角坐标方程为222022x y +-=，即220x y +-=, 圆4ρ=的直角坐标方程为2216x y +=。

（2)由（1）知圆心的坐标是(0,0)，半径是4，圆心到直线的距离是220022
211d +-==+。

所以直线sin()24πρθ+=被圆4ρ=截得的弦长是2224243-=
24。

解：
（1)∵0,0a b >>且1a b +=， ∴14144()()59b a a b a b a b a b
+=++=++≥， 当且仅当4b a a b =，即12,3
3a b ==时，14a b
+取最小值9. （2）∵对,(0,)a b ∈+∞，使14211x x a b +≥--+恒成立. ∴2119x x --+≤，
当1x ≤-时，不等式化为29x -≤，解得71x -≤≤-； 当112x -<<时,不等式化为39x -≤，解得112x -<<； 当12x ≥时,不等式化为29x -≤，解得1112x ≤≤, ∴x 的取值范围是711x -≤≤.。