2019届人教B版(文科数学) 第4章 三角函数、解三角形 21 单元测试

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2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角⎩⎪⎨⎪⎧正角:按照逆时针方向旋转而成的角.负角:按照顺时针方向旋转而成的角.零角:射线没有旋转.(2)象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }. 2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.(2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=π180 rad ,1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式:l =|α|r , 扇形的面积公式:S =12lr =12|α|r 2.3.任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P (异于原点)的坐标(x ,y ),它与原点的距离OP =r =x 2+y 2 (r >0),则sin α=y r ;cos α=x r ;tan α=yx ;cot α=x y ;sec α=r x ;csc α=ry.4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号:(2)三角函数线:正弦线 如图,角α的正弦线为MP →. 余弦线 如图,角α的余弦线为OM →. 正切线 如图,角α的正切线为AT →.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2.角-225°=弧度,这个角在第象限. 答案 -5π4二3.角α的终边经过点Q ⎝⎛⎭⎫-22,22,则sin α=,cos α=. 答案22 -224.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为弧度. 答案 π3题组三 易错自纠5.(2018·秦皇岛模拟)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A .2k π+45°(k ∈Z ) B .k ·360°+9π4(k ∈Z ) C .k ·360°-315°(k ∈Z ) D .k π+5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π+9π4(k ∈Z ),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C 正确.6.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π+π4≤α≤k π+π2,k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k =2n (n ∈Z )时,2n π+π4≤α≤2n π+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k =2n +1 (n ∈Z )时,2n π+π+π4≤α≤2n π+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤α≤π+π2表示的范围一样,故选C. 7.(2018·攀枝花质检)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=. 答案 -45解析 cos α=-4(-4)2+32=-45. 8.(2018·济宁模拟)函数y =2cos x -1的定义域为. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x -1≥0, ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示1.设集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k2·180°+45°,k ∈Z ,N = ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k4·180°+45°,k ∈Z ,那么( )A .M =NB .M ⊆NC .N ⊆MD .M ∩N =∅ 答案 B解析 由于M 中,x =k2·180°+45°=k ·90°+45°=(2k +1)·45°,2k +1是奇数;而N 中,x =k 4·180°+45°=k ·45°+45°=(k +1)·45°,k +1是整数,因此必有M ⊆N ,故选B. 2.若角α是第二象限角,则α2是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第一或第三象限角D .第二或第四象限角答案 C解析 ∵α是第二象限角, ∴π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z , ∴π4+k π<α2<π2+k π,k ∈Z . 当k 为偶数时,α2是第一象限角;当k 为奇数时,α2是第三象限角.∴α2是第一或第三象限角. 3.(2017·福州模拟)与-2 015°终边相同的最小正角是. 答案 145°解析 与-2 015°角终边相同的角的集合为{α|α=-2 015°+k ·360°,k ∈Z }, 当k =6时,α=-2 015°+2 160°=145°.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. (2)确定kα,αk(k ∈N +)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围,然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置.题型二 弧度制典例 (1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm ,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是( )A .2B .1 C.12 D .3答案 A解析 设扇形的半径为R ,则弧长l =4-2R , ∴扇形面积S =12lR =R (2-R )=-R 2+2R =-(R -1)2+1,当R =1时,S 最大,此时l =2,扇形圆心角为2弧度.(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是. 答案2解析 设圆半径为r ,则圆内接正方形的对角线长为2r ,∴正方形边长为2r ,∴圆心角的弧度数是2rr= 2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练 (1)(2017·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是. 答案2sin 1解析 设圆的半径为R ,则R ·sin 1=1,∴R =1sin 1,∴这个圆心角所对弧长为R ×2=2sin 1. (2)已知圆O 与直线l 相切于点A ,点P ,Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右,Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接OQ ,OP (如图),则阴影部分面积S 1,S 2的大小关系是.答案 S 1=S 2解析 设运动速度为m ,运动时间为t ,圆O 的半径为r , 则AQ =AP =tm ,根据切线的性质知OA ⊥AP , ∴S 1=12tm ·r -S 扇形AOB ,S 2=12tm ·r -S 扇形AOB ,∴S 1=S 2恒成立.题型三 三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用典例 (1)已知点P 在角4π3的终边上,且|OP |=4,则点P 的坐标为( )A .(-2,-23) B.⎝⎛⎭⎫-12,-32C .(-23,-2) D.⎝⎛⎭⎫-32,-12 答案 A解析 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫|OP |·cos 4π3,|OP |·sin 4π3,即(-2,-23),故选A. (2)设θ是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪cos θ2=-cos θ2,则θ2是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知,θ2为第二或第四象限角,∵⎪⎪⎪⎪cos θ2=-cos θ2,∴cos θ2<0, 综上知,θ2为第二象限角.命题点2 三角函数线的应用典例 函数y =lg(2sin x -1)+1-2cos x 的定义域为. 答案 ⎣⎡⎭⎫2k π+π3,2k π+5π6(k ∈Z ) 解析 要使原函数有意义,必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x -1>0,1-2cos x ≥0,即⎩⎨⎧sin x >12,cos x ≤12,如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π+π3,2k π+5π6 (k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性写出角的范围. 跟踪训练 (1)已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A .(-2,3] B .(-2,3) C .[-2,3) D .[-2,3]答案 A解析 ∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a -9≤0,a +2>0, ∴-2<a ≤3. (2)(2017·石家庄模拟)若-3π4<α<-π2,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小是( )A .sin α<tan α<cos αB .cos α<sin α<tan αC .sin α<cos α<tan αD .tan α<sin α<cos α 答案 C解析 如图,作出角α的正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT , 观察可知sin α<cos α<tan α.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2,1)时,OP →的坐标为.(2)(2017·合肥调研)函数y =lg(3-4sin 2x )的定义域为.思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想,利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集. 解析 (1)如图所示,过圆心C 作x 轴的垂线,垂足为A ,过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2,所以劣弧P A =2,即圆心角∠PCA =2, 则∠PCB =2-π2,所以PB =sin ⎝⎛⎭⎫2-π2=-cos 2, CB =cos ⎝⎛⎭⎫2-π2=sin 2,设点P (x P ,y P ), 所以x P =2-CB =2-sin 2,yP =1+PB =1-cos 2, 所以OP →=(2-sin 2,1-cos 2).(2)因为3-4sin 2x >0, 所以sin 2x <34,所以-32<sin x <32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), 所以x ∈⎝⎛⎭⎫k π-π3,k π+π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2-sin 2,1-cos 2) (2)⎝⎛⎭⎫k π-π3,k π+π3(k ∈Z )1.角-870°的终边所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限答案 C解析 由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的终边相同,在第三象限. 2.(2017·石家庄模拟)已知点P ⎝⎛⎭⎫32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案 C解析 由已知得tan θ=-33,θ在第四象限且θ∈[0,2π),∴θ=11π6. 3.(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4,m ),且sin θ=35,则m 等于( )A .-3B .3 C.163 D .±3答案 B 解析 sin θ=m 16+m 2=35,且m >0,解得m =3.4.(2018·成都模拟)点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫-12,32 B.⎝⎛⎭⎫-32,-12 C.⎝⎛⎭⎫-12,-32D.⎝⎛⎭⎫-32,12 答案 A解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ,y )满足 x =cos2π3=-12,y =sin 2π3=32. 5.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 答案 C解析 设扇形的半径为R ,则12×4×R 2=2,∴R =1,弧长l =4,∴扇形的周长为l +2R =6.6.已知α是第二象限的角,其终边上一点为P (x ,5),且cos α=24x ,则tan α等于( ) A.155B.153C .-155D .-153答案 D 解析 ∵x x 2+5=24x 且α在第二象限,∴x =-3,∴tan α=5-3=-153. 7.(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在答案 A解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2·cos 3·tan 4<0.8.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 A解析 举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin π6=sin 5π6,但π6与5π6的终边不相同,故④错;当cos θ=-1,θ=π时,其既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.9.(2017·鄂州模拟)已知tan θ<0,且角θ终边上一点为(-1,y ),且cos θ=-12,则y =. 答案 3 解析 由已知得θ在第二象限,∴y >0,∴cos θ=-1y 2+1=-12,∴y = 3. 10.已知扇形的圆心角为π6,面积为π3,则扇形的弧长等于. 答案 π3解析 设扇形半径为r ,弧长为l ,则⎩⎨⎧ l r =π6,12lr =π3, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ l =π3,r =2.11.函数y = sin x -32的定义域为. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π+π3,2k π+23π,k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图),由sin x ≥32,可知 2k π+π3≤x ≤2k π+23π,k ∈Z . 12.满足cos α≤-12的角α的集合为. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z解析 作直线x =-12交单位圆于C ,D 两点,连接OC ,OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z .13.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A .若α,β是第一象限的角,则cos α>cos βB .若α,β是第二象限的角,则tan α>tan βC .若α,β是第三象限的角,则cos α>cos βD .若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β答案 D解析 如图,当α在第四象限时,作出α,β的正弦线M 1P 1,M 2P 2和正切线AT 1,AT 2,观察知当sin α>sin β时,tan α>tan β.14.已知点P (sin α+cos α,tan α)在第四象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.答案 ⎝⎛⎭⎫π2,34π∪⎝⎛⎭⎫74π,2π 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α>0,tan α<0, 得-1<tan α<0或tan α<-1.又0≤α≤2π,∴π2<α<34π或74π<α<2π.15.(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP |=10,则m -n =.答案 2解析 由已知tan α=3,∴n =3m ,又m 2+n 2=10,∴m 2=1.又sin α<0,∴m =-1,∴n =-3.故m -n =2.16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点,它的终边与单位圆相交于B 点,始边不动,终边在运动.(1)若点B 的横坐标为-45,求tan α的值; (2)若△AOB 为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合.(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0,2π3,请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式. 解 (1)根据题意可得B ⎝⎛⎭⎫-45,±35,∴tan α=±34. (2)若△AOB 为等边三角形,则B ⎝⎛⎭⎫12,32或B ⎝⎛⎭⎫12,-32, 当B ⎝⎛⎭⎫12,32时,tan ∠AOB =3,∠AOB =π3; 当B ⎝⎛⎭⎫12,-32时,tan ∠AOB =-3,∠AOB =-π3. ∴与角α终边相同的角β的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β=π3+2k π或β=-π3+2k π,k ∈Z . (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0,2π3,则S 扇形=12αr 2=12α, 而S △AOB =12×1×1×sin α=12sin α, 故弓形AB 的面积S =12α-12sin α,α∈⎝⎛⎦⎤0,2π3.。

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.4 解三角形

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.4 解三角形

§4.4解三角形考纲解读分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.答案:60°解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·-=a·-+c·-,即b·-=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°<B<180°,所以B=60°.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D.答案B2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=()A. B. C. D.答案C3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.答案C4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则-的值为()A.-B.C.1D.答案D5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=()A. B. C. D.答案B6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=则A=.答案75°7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=.答案 18.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=.答案 49.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.10.(2016四川,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-=.所以sin A==.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.11.(2015山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值. 解析在△ABC中,由cos B=,得sin B=,因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=.因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角,所以cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.由=,可得a===2c,又ac=2,所以c=1.教师用书专用(12—23)12.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案A13.(2013北京,5,5分)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A. B. C. D.1答案B14.(2013湖南,5,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=则角A等于()A. B. C. D.答案A15.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=.答案16.(2015安徽,12,5分)在△ABC中,AB=∠A=75°,∠B=45°,则AC=.答案 217.(2015北京,11,5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.答案18.(2014山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,由题意知,sin A==,因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b===3(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×-+×=.因此△ABC的面积S=absin C=×3×3×=.19.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.②由①,②得cos C=,故C=60°,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C=sin 60°=2.20.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,∵c=2a,∴b=a,由余弦定理得cos B=-=-=.21.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解析设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE中,由正弦定理得=,得sin α=·==,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cos α===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos-=cos cos α+sin sin α=-cos α+sin α=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.∠22.(2013湖北,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc·=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=.23.(2013天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.(1)求b的值;(2)求sin-的值.解析(1)在△ABC中,由=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos B,cos B=,可得b=.(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos 2B=2cos2B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B=.所以sin-=sin 2Bcos-cos 2Bsin=.考点二解三角形及其应用1.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A. B. C. D.答案D2.(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m答案C3.(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5答案D4.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1答案B5.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;6.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案7.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案1508.(2017山东,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.解析因为·=-6,所以bccos A=-6,又S△ABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×-=29,所以a=.9.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(2)若cos A=,求sin C的值.解析(1)在△ABC中,由=可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A得2asin Bcos B=bsin A=asin B, 所以cos B=,得B=.(2)由cos A=可得sin A=,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin=sin A+cos A=.10.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=求△ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=-=.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=.所以△ABC的面积为1.(12分)11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求∠∠;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得∠=∠,∠=∠.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以∠==.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.教师用书专用(12—25)12.(2013山东,7,5分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2B.2C. D.113.(2013陕西,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A14.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=-=30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,=16.从而AP1=∠答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sin α=sin∠=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cos α=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.因为0<β<,所以cos β=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β +cos αsin β=×+-×=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.所以△ABC的面积为absin C=.16.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.17.(2015天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.解析(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24,结合b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由=,得sin C=.(2)cos=cos 2A·cos-sin 2A·sin=(2cos2A-1)-×2sin A·cos A=-.18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=,求p的值.解析(1)由已知得,方程x2+px-p+1=0的判别式Δ=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥.由韦达定理,有tan A+tan B=-于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,从而tan(A+B)==-=-.所以tan C=-tan(A+B)=,所以C=60°.(2)由正弦定理,得sin B==°=,解得B=45°,或B=135°(舍去).于是A=180°-B-C=75°.则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)=°°==2+.所以p=-(tan A+tan B)=-(2++1)=-1-.19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===.由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2014大纲全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=-1,=-所以B=135°.21.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,求cos A与a的值. 解析由三角形面积公式,得×3×1·sin A=,故sin A=.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=±=±=±.①当cos A=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=8,所以a=2.②当cos A=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×-=12,所以a=2.22.(2014重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cos C的值;(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cos C=-=-=-.(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得sin A·+sin B·=2sin C,化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=absin C=sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.23.(2013重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.解析(1)由余弦定理得cos A=-=-=-.又因0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=得S=bcsin A=··asin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B=-=时,S+3cos Bcos C取最大值3.24.(2013浙江,18,14分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B= b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得△ABC的面积为.25.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.又0<A<π,所以sin A=.(5分)(2)由正弦定理=,得sin B==.由题知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×-,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=,则c=()A.1B.C.2D.2答案C2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B=()A. B. C. D.答案B3.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B=,当△ABC的面积为时,b=()A. B.C.4D.2+答案A考点二解三角形及其应用4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知△ABC中,满足b=2,B=60°的三角形有两解,则边长a的取值范围是()A.<a<2B.<a<2C.2<a<D.2<a<2答案C5.(2018河南许昌、平顶山联考,8)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.20海里B.40海里C.20(1+)海里D.40海里答案B6.(2018河北衡水中学四调,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为()A.18B.12C.6D.3答案B7.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D8.(2016广东肇庆三模,10)在△ABC中,AB=3,BC=则边AC上的高为()A. B. C. D.3答案B9.(2017江西南昌十校二模,16)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为.答案10.(2017江西六校联考,19)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直.(1)求sin A的值;(2)若a=2,求△ABC的面积S的最大值.解析(1)因为m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直,所以m·n=5sin2B-6sin Bsin C+5sin2C-5sin2A=0,即sin2B+sin2C-sin2A=.根据正弦定理得b2+c2-a2=.由余弦定理得cos A=-=.∵角A是△ABC的内角,∴sin A==.(2)由(1)知b2+c2-a2=≥2bc-a2.又∵a=2,∴bc≤10.∵△ABC的面积S==≤4,∴△ABC的面积S的最大值为4.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:70分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,9)《数书九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减去斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把这段文字写成公式,即S=--.现有周长为2+的△ABC满足sin A∶sin B∶sinC=(-1)∶∶(+1),用上面给出的公式求得△ABC的面积为()A. B. C. D.答案B2.(2018湖北荆州中学11月模拟,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值为()A. B. C. D.答案A3.(2018四川成都摸底考试,11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A-csin C=(a-b)sin B,c=3,则△ABC的面积的最大值为()A. B. C. D.答案D4.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,6)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=,∠A=,则∠B=()A. B.或 C.或 D.答案B5.(人教A必5,一,1,B2,变式)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足c=,acos C=csin A的三角形ABC有两个,则边BC的长度的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(,2)D.(,2)答案D6.(2016云南昆明三中月考,8)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于()A. B. C.- D.-答案C二、填空题(共5分)7.(2017山西五校联考,15)已知△ABC的面积为S,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若4S+a2=b2+c2,则sin C-cos取最大值时,C=. 答案三、解答题(共35分)8.(2018湖北重点高中期中联考,21)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且-=-.(1)求角B的大小;(2)点D满足=3,且AD=2,求3a+c的取值范围.解析(1)∵-=-,∴由正弦定理得-=-,(2分)∴c(a-c)=(a+b)(a-b),即a2+c2-b2=ac,又∵a2+c2-b2=2accos B,∴cos B=.(4分)∵B∈(0,π),(5分)∴B=.(6分)(2)∵=3,∴BD=3a.在△ABD中,由余弦定理知c2+(3a)2-2·3a·c·cos =22, ∴(3a+c)2-4=3·3ac.(7分)∵a>0,c>0,∴3ac≤,∴(3a+c)2-4≤(3a+c)2,即(3a+c)2≤16,当且仅当3a=c,即a=,c=2时取等号,所以3a+c的最大值为4.(10分)又在△ABD中,3a+c>2,(11分)故3a+c的取值范围是(2,4].(12分)9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km.(1)求道路BE的长度;(2)求生活区△ABE的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=,∴BD= km.∵BC=CD,∠BCD=,∴∠CBD=∠CDB=-=,又∠CDE=,∴∠BDE=.∴在Rt△BDE中,BE===(km). 故道路BE的长度为 km.(6分)(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=,∴∠AEB=-α.在△ABE中,∠=∠=∠==,∴AB=sin-km,AE=sin α km.(8分)∴S△ABE=AB·AEsin =sin-sin α=·-km2,∵0<α<, ∴-<2α-<.∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为×= km2,故生活区△ABE面积的最大值为 km2.(12分)10.(2017山西、河南、河北三省12月联考,17)如图,在△ABC中,sin C=,且<C<π,AB=8,若12sin∠BAC=AB·sin B.(1)求△ABC的面积;(2)已知D在线段BC上,且∠BAD=∠CAD,求sin∠CAD的值以及AD的长.解析(1)记AC=b,BC=a,AB=c,因为sin C=,且<C<π,所以cos C=-=-.因为12sin∠BAC=AB·sin B,且AB=8,所以12sin∠BAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2++2·a··⇒64=4a2,解得a=4,又3a=2b,故b=6.故△ABC的面积S=absin C=×4×6×=3.(2)依(1)得cos∠BAC=-=,又由已知得cos∠BAC=1-2sin2∠CAD,所以sin∠CAD=,故sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)=×-+×=,⇒=⇒AD=.故=∠C组2016—2018年模拟·方法题组方法1正弦定理和余弦定理的应用方法1.(2017广东七校第一次联考,7)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,A=45°,则=()A. B. C. D.答案C2.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,其外接圆半径为,b=2,则△ABC的周长的取值范围是.答案(2+2,6]3.(2018河南信阳第一次质检,20)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+cos A=2.(1)求角A的大小;(2)现给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c=试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的选择,并以此为依据求△ABC的面积.(只写出一个方案即可)解析(1)sin A+cos A=2可化为2sin=2,所以sin=1.因为0<A<π,所以A+=,所以A=.(2)方案一:选择①②.在△ABC中,由正弦定理得b==°=2.因为sin C=sin(A+B)=×+×=,所以△ABC的面积为absin C=×2×2×=+1.方案二:选择①③.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+3b2-2·b2cos=b2=4,所以b=2,所以c=2.所以△ABC的面积为bcsin A=×2×2×sin=.说明:若选择②③,则由c=b可得sin C=sin B=>1,故这样的△ABC不存在.4.(2017河北唐山一模,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=,求A,C;(2)若C=,c=14,求S△ABC.解析(1)由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-(舍).因为0<A<π,所以A=,又A+B+C=π,所以C=π--=.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,①由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,②联立①②解得b=2,a=4.所以S△ABC=absin C=14.方法2三角形形状的判断方法5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC中,若=,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2017湖北荆州中学12月模拟,9)a,b,c为△ABC三边长,a≠1,b<c,若log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-b)a,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案B7.(2016江西丰城中学月考,10)在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B·(2-cos C)=sin2+,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角非等边三角形D.等腰直角三角形答案D方法3解三角形应用题的方法8.(2017湖北七校联考,16)三国魏人刘徽自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?译文如下:要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1 000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H 在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,则岛峰的高度AH=步.(古制:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)答案 1 2559.(2016吉林五校第一次联考,14)2015年8月6日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370.若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30°的地面上,半分钟后,侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为75°的地面上,则侦察机的飞行高度是米.(保留根号)答案 3 750(+1)10.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.解析(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cos A=7,所以OM=,所以cos∠AOM=-=,在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=.在△OMN中,由=得MN=×=.故点M,N之间的距离为 km.(2)设∠AOM=θ,0<θ<.在△OAM中,由=得OM=.在△OAN中,由∠=∠得ON==.所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···====,因为0<θ<,所以2θ+∈,所以当2θ+=,即θ=时,S△OMN取最小值. 所以应设计∠AOM=,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.。

2019版文科数学讲义:第四章 三角函数 解三角形4.1 含答案

2019版文科数学讲义:第四章 三角函数 解三角形4.1 含答案

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3。

理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主,常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.题型以选择题为主,低档难度。

1.角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角错误!(2)象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.(2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=错误!rad,1 rad=错误!°. (3)扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=错误!lr=错误!|α|r2.3.任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P (异于原点)的坐标(x ,y ),它与原点的距离OP =r =错误! (r >0),则sin α=y r ;cos α=错误!;tan α=错误!;cot α=错误!;sec α=错误!;csc α=错误!.4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线(1)三角函数在各象限的符号:象限符号函数Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳsin α,csc α + + - -cos α,sec α + - - +tan α,cot α + - + -(2)三角函数线:正弦线 如图,角α的正弦线为错误!。

余弦线 如图,角α的余弦线为错误!。

正切线 如图,角α的正切线为错误!.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(√) (3)不相等的角终边一定不相同.(×)(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α〉1。

2019届高考数学(文)大一轮:第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2019届高考数学(文)大一轮:第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.基本公式sin(α±β)=________, cos(α±β)=________, tan(α±β)=________. 2.公式变形(1)tan α±tan β=________.(2)函数f(α)=asin α+bcos α(a ,b 为常数),可以化为f(α)=a 2+b 2sin(α+φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ=b a 或f(α)=a 2+b 2·cos(α-φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ=a b .答案1.sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2.(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1.sin75°的值为________.解析:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=6+24. 答案:6+242.已知cos α=-35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3的值是____. 解析:∵cos α=-35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴sin α=45,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=45×12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×32=4-3310.答案:4-33103.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=________. 解析:∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°,∴tan20°+tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°) =3-3tan20°tan40°,∴原式=3-3tan20°tan40°+3tan20°tan40°= 3. 答案: 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.基本公式 sin2α=________.cos2α=________=________=________. tan2α=________. 2.有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α=________,sin 2α=________. (2)1+sin2α=(sin α+cos α)2, 1-sin2α=(sin α-cos α)2, sin α±cos α=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1.2sin αcos α cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α 2tan α1-tan 2α 2.(1)1+cos2α2 1-cos2α24.计算:tan7.5°1-tan 27.5°=________. 解析:tan7.5°1-tan 27.5°=12×2tan7.5°1-tan 27.5° =12tan15°=12tan(45°-30°) =12×tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=12×1-331+33=2-32. 答案:2-325.(2016·浙江卷)已知2cos 2x +sin2x =Asin(ωx +φ)+b(A>0),则A =________,b =________. 解析:由于2cos 2x +sin2x =1+cos2x +sin2x =2sin(2x +π4)+1,所以A =2,b =1.答案: 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简:+sin θ+cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ22+2cos θ(0<θ<π);(2)求值:sin50°(1+3tan10°).【解】 (1)由θ∈(0,π),得0<θ2<π2,∴cos θ2>0,∴2+2cos θ=4cos2θ2=2cos θ2. 又(1+sin θ+cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ2=⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2+2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ2=2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2-cos 2θ2=-2cos θ2cos θ.故原式=-2cos θ2cos θ2cosθ2=-cos θ.(2)sin50°(1+3tan10°) =sin50°(1+tan60°·tan10°)=sin50°·cos60°cos10°+sin60°sin10°cos60°cos10°=sin50°·cos 60°-10°cos60°cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1.(1)求sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin 15°sin8°的值;(2)求tan20°+4sin20°的值. 解:(1)原式 =-+cos15°sin8°--sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=1-331+33=3-13+1=2- 3. (2)原式=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=-++cos20°=32cos10°+32sin10°cos20°=332cos10°+12sin10°cos20°=3-cos20°= 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值.【解】 (1)∵α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,从而-π2<α-β<π2.又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010.(2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =45×31010+35×(-1010)=91050.1.在本例条件下,求sin(α-2β)的值. 解:∵sin(α-β)=-1010,cos(α-β)=31010,cos β=91050,sin β=131050.∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=-2425.2.若本例中“sin α=35”变为“tan α=35”,其他条件不变,求tan(2α-β)的值.解:∵tan α=35,tan(α-β)=-13,∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan α+α-β1-tan αα-β=35-131+35×13=29.考向2 给值求角【例3】 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,求2α-β的值.【解】 ∵tan α=tan[(α-β)+β]=α-β+tan β1-α-ββ=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan2α=2tan α1-tan 2α=2×131-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=34>0, ∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan β1+tan2αtan β=34+171-34×17=1.∵tan β=-17<0,∴π2<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=35,则sin2α=( )A.725B.15C .-15D .-725(2)已知cos α=-1213,cos(α+β)=17226,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2,α+β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π,求β的值. 解析:(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos π4cos α+sin π4sin α=22(sin α+cos α)=35,所以sin α+cos α=325,所以1+sin2α=1825,所以sin2α=-725,故选D. (2)解:∵π<α<3π2,3π2<α+β<2π,∴0<β<π.又cos α=-1213,cos(α+β)=17226,∴sin α=-513,sin(α+β)=-7226.cos β=cos[(α+β)-α]=17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1213+⎝ ⎛⎭⎪⎫-7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫-513=-22,且0<β<π,所以β=3π4.答案:(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)=4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2-x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3- 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期;(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的单调性. 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2+k π,k ∈Z}.f(x)=4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3- 3=4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3-3=4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx +32sinx - 3=2sinxcosx +23sin 2x -3=sin2x +3(1-cos2x)- 3 =sin2x -3cos2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.所以,f(x)的最小正周期T =2π2=π.(Ⅱ)令z =2x -π3,函数y =2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z. 由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x≤5π12+k π,k ∈Z.设A =[-π4,π4],B ={x|-π12+k π≤x≤5π12+k π,k ∈Z},易知A∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.已知函数f(x)=2cos 2ωx -1+23sin ωxcos ωx(0<ω<1),直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)已知函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移2π3个单位长度得到的,若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=65,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,求sin α的值. 解:(1)f(x)=cos2ωx +3sin2ωx =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π6,由于直线x =π3是函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π6的图象的一条对称轴,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω+π6=±1.因此2π3ω+π6=k π+π2(k ∈Z),解得ω=32k +12(k ∈Z),又0<ω<1,所以ω=12,所以f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6.由2k π-π2≤x+π6≤2k π+π2(k ∈Z),得2k π-2π3≤x≤2k π+π3(k ∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-2π3,2k π+π3(k ∈Z).(2)由题意可得g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2π3+π6,即g(x)=2cos x2,由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=65,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35, 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,故π6<α+π6<2π3,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=45, 所以sin α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π6-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6·cos π6-cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6·sin π6=45×32-35×12=43-310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型,其解题一般思路为“五遇六想”即:遇切割,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.“五遇六想”作为解题经验的总结和概括,操作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相约项),三种变换方法(切割化弦法,消元降次法,辅助元素法).三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点,其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重,力不从心.本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略,旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧,促进同学们的推理能力和运算能力的提升.策略1 从角入手,寻找关系好解题解有关三角函数的题目时,要特别注意角与角之间的关系,只要明确了其中的关系,解题就完成了一半.【例1】 已知α为锐角,且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35,则sin α=________. 【解析】 解法1:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=32cos α-12sin α=35,①又sin 2α+cos 2α=1,② 由①可得cos 2α=13⎝⎛⎭⎪⎫sin α+652,代入②并整理得100sin 2α+60sin α-39=0, 解得sin α=43-310,或sin α=-43+310(舍).解法2:因为α为锐角,即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以α+π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2π3,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=1-cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=45,所以sin α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π6-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos π6-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6sin π6=43-310.【答案】43-310【点评】 不少同学习惯用解法1,却往往因运算量大而出现了各种问题;解法2抓住了α=⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-π6这一关系,减少了运算量,使求解轻松简捷. 策略2 从函数名入手,化切为弦助解题在有关三角函数的题目中,当正弦(余弦)与正切“相遇”时,可采用化切为弦的方法,即将正切转化为正弦(余弦).【例2】 求1+cos20°2sin20°-sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°-tan5°.【解】 因为1tan5°-tan5°=cos5°sin5°-sin5°cos5°=cos 25°-sin 25°sin5°cos5°=2cos10°sin10°, 所以原式=2cos 210°4sin10°cos10°-sin10°·2co s10°sin10°=cos10°2sin10°-sin20°sin10°=cos10°2sin10°--sin10° =cos10°2sin10°-cos10°-3sin10°2sin10°=3sin10°2sin10°=32. 策略3 从结构入手,存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多,每个公式都有其固有的结构.解题时要善于从结构入手,存同化异,寻求结构形式的统一.【例3】 (1)已知3sin β=sin(2α+β),α≠k π+π2,α+β≠k π+π2(k ∈Z).求证:tan(α+β)=2tan α;(2)已知cosxcosy =12,求sinxsiny 的取值范围. 【解】 (1)证明:由3sin β=sin(2α+β)得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,整理可得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)·sin α. 因为α≠k π+π2,α+β≠k π+π2(k ∈Z), 所以cos(α+β)·cos α≠0,则有tan(α+β)=2tan α.(2)设p =sinxsiny ,则cos(x -y)=cosxcosy +sinxsiny =12+p ,cos(x +y)=cosxcosy -sinxsiny =12-p. 因为|cos(x±y)|≤1, 所以-1≤12+p≤1,且-1≤12-p≤1, 解得-12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢,从统一角的结构入手,顺利完成解题;题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想,寻找解题突破口,亦成功解题.这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法.策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型,这里将其引申为一种解题策略.这种策略能简化解题过程,有事半功倍之功效;“先局部后整体”,则与之相反,虽其方法略显笨拙,但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度,且解题方向明确,也是一个不错的思路.【例4】 已知0<x<π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =513,求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x 的值. 【解】 解法1(先化简后求值): 原式=cos 2x -sin 2x22-=2(cosx +sinx)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x , ∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4, 则原式=21-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =2413. 解法2(先局部后整体):cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =513. 下面从两个角度求cos2x :角度1:cos2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2-2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ; 角度2:cos2x =cos 2x -sin 2x =(cosx -sinx)·(cosx+sinx)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x . ∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4, 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =1-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =1213, 故cos2x =2×513×1213=120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =120169÷513=2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅,采用“先局部后整体”解题思路简单,条理清晰.两种方法各有千秋,都是值得我们重视的好方法.。

高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)

高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)

第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识 1.正弦定理a sin A =b sin B =c sin C=2R (R 为△ABC 外接圆的半径).正弦定理的常见变形(1)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; (2)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R; (3)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ; (4)a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A. 2.余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C . 3.三角形的面积公式(1)S △ABC =12ah a (h a 为边a 上的高);(2)S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B ;(3)S =12r (a +b +c )(r 为三角形的内切圆半径).二、常用结论汇总——规律多一点 1.三角形内角和定理在△ABC 中,A +B +C =π;变形:A +B 2=π2-C2.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A +B )=sin C ;(2)cos(A +B )=-cos C ; (3)sin A +B 2=cos C 2;(4)cos A +B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =b cos A +a cos B . 4.用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,当b 2+c 2-a 2>0时,可知A 为锐角;当b 2+c 2-a 2=0时,可知A 为直角;当b 2+c 2-a 2<0时,可知A 为钝角.第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中,a =3,b =2,A =30°,则cos B =________.(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π6,则b =________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B =b sin A a =2×sin 30°3=13,∵a =3>b =2,∴B <A ,即B为锐角,∴cos B =1-sin 2B =223. (2)∵sin B =12且B ∈(0,π),∴B =π6或B =5π6,又∵C =π6,∴B =π6,A =π-B -C =2π3.又a =3,由正弦定理得a sin A =bsin B ,即3sin 2π3=b sinπ6,解得b =1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos A +a cos B =c 2,a =b =2,则△ABC 的周长为( )A .7.5B .7C .6D .5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c -b2c -a=sin Asin B +sin C,则角B =________.[解析](1)∵b cos A +a cos B =c 2,∴由余弦定理可得b ·b 2+c 2-a 22bc +a ·a 2+c 2-b 22ac=c 2,整理可得2c 2=2c 3,解得c =1,则△ABC 的周长为a +b +c =2+2+1=5.(2)由正弦定理可得c -b 2c -a =sin A sin B +sin C =ab +c, ∴c 2-b 2=2ac -a 2,∴c 2+a 2-b 2=2ac ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =22,∵0<B <π,∴B =π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,c =2a ,则cos C =( ) A.24B .-24C.34D .-34解析:选B 由题意得,b 2=ac =2a 2,即b =2a ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+2a 2-4a 22a ×2a=-24.2.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =2,则C =( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析:选B 因为sin B +sin A (sin C -cos C )=0, 所以sin(A +C )+sin A sin C -sin A cos C =0,所以sin A cos C +cos A sin C +sin A sin C -sin A cos C =0,整理得sin C (sin A +cos A )=0.因为sin C ≠0,所以sin A +cos A =0,所以t a n A =-1, 因为A ∈(0,π),所以A =3π4,由正弦定理得sin C =c ·sin Aa =2×222=12, 又0<C <π4,所以C =π6.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B +sin 2C =sin 2A +sin B sin C .(1)求角A 的大小;(2)若cos B =13,a =3,求c 的值.解:(1)由正弦定理可得b 2+c 2=a 2+bc ,由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,因为A ∈(0,π),所以A =π3.(2)由(1)可知sin A =32, 因为cos B =13,B 为△ABC 的内角,所以sin B =223,故sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =32×13+12×223=3+226. 由正弦定理a sin A =c sin C 得c =a sin C sin A=3×3+2232×6=1+263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A sin B =ac ,(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,则△ABC 的形状为( )A .直角三角形B .等腰非等边三角形C .等边三角形D .钝角三角形[解析] (1)法一:因为b cos C +c cos B =a sin A , 由正弦定理知sin B cos C +sin C cos B =sin A sin A , 得sin(B +C )=sin A sin A .又sin(B +C )=sin A ,得sin A =1, 即A =π2,因此△ABC 是直角三角形.法二:因为b cos C +c cos B =b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a 22a =a ,所以a sin A =a ,即sin A =1,故A =π2,因此△ABC 是直角三角形.(2)因为sin A sin B =a c ,所以a b =ac,所以b =c .又(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,所以b 2+c 2-a 2=bc , 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12.因为A ∈(0,π),所以A =π3,所以△ABC 是等边三角形.[答案] (1)B (2)C[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“a sin A +b sin B <c sin C ”,那么△ABC 的形状为________.解析:根据正弦定理可得a 2+b 2<c 2,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab <0,故C 是钝角,所以△ABC 是钝角三角形. 答案:钝角三角形 2.变条件若本例(1)条件改为“c -a cos B =(2a -b )cos A ”,那么△ABC 的形状为________.解析:因为c -a cos B =(2a -b )cos A , C =π-(A +B ),所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sin B ·cos A , 所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , 所以cos A (sin B -sin A )=0, 所以cos A =0或sin B =sin A , 所以A =π2或B =A 或B =π-A (舍去),所以△ABC 为等腰或直角三角形. 答案:等腰或直角三角形 3.变条件若本例(2)条件改为“cos A cos B =ba=2”,那么△ABC 的形状为________.解析:因为cos A cos B =b a ,由正弦定理得cos A cos B =sin B sin A ,所以sin 2A =sin 2B .由ba =2,可知a ≠b ,所以A ≠B .又因为A ,B ∈(0,π),所以2A =π-2B ,即A +B =π2,所以C =π2,于是△ABC是直角三角形.答案:直角三角形[课时跟踪检测]A 级1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin A a =cos Bb ,则B 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:选B 由正弦定理知,sin A sin A =cos Bsin B ,∴sin B =cos B ,∴B =45°.2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( )A .有一解B .有两解C .无解D .有解但解的个数不确定解析:选C 由正弦定理得b sin B =c sin C, ∴sin B =b sin Cc =40×3220=3>1.∴角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.3.(2018·重庆六校联考)在△ABC 中,cos B =ac (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形解析:选A 因为cos B =ac ,由余弦定理得a 2+c 2-b 22ac =a c ,整理得b 2+a 2=c 2,即C 为直角,则△ABC 为直角三角形.4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边.若b sin A =3c sin B ,a =3, cos B =23,则b =( )A .14B .6 C.14D.6解析:选D ∵b sin A =3c sin B ⇒ab =3bc ⇒a =3c ⇒c =1,∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+1-2×3×1×23=6,∴b = 6.5.(2019·莆田调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a sin B cos C+c sin B cos A =12b ,且a >b ,则B =( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:选A ∵a sin B cos C +c sin B cos A =12b ,∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ,即sin B (sin A cos C +sin C cos A )=12sin B .∵sin B ≠0,∴sin(A +C )=12,即sin B =12.∵a >b ,∴A >B ,即B 为锐角,∴B =π6. 6.(2019·山西大同联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2(b cos A +a cos B )=c 2,b =3,3cos A =1,则a =( )A.5 B .3 C.10D .4解析:选B 由正弦定理可得2(sin B cos A +sin A cos B )=c sin C , ∵2(sin B cos A +sin A cos B )=2sin(A +B )=2sin C ,∴2sin C =c sin C ,∵sin C >0,∴c =2,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+22-2×3×2×13=9,∴a =3.7.在△ABC 中,AB =6,A =75°,B =45°,则AC =________. 解析:C =180°-75°-45°=60°, 由正弦定理得AB sin C =ACsin B ,即6sin 60°=AC sin 45°,解得AC =2. 答案:28.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sinB ,则c =________.解析:∵3sin A =2sin B ,∴3a =2b . 又∵a =2,∴b =3.由余弦定理可知c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴c 2=22+32-2×2×3×⎝⎛⎭⎫-14=16,∴c =4. 答案:49.(2018·浙江高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =7,b =2,A =60°,则sinB =________,c =________.解析:由正弦定理a sin A =bsin B ,得sin B =b a ·sin A =27×32=217.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 得7=4+c 2-4c ×cos 60°,即c 2-2c -3=0,解得c =3或c =-1(舍去). 答案:2173 10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,且a =2c ,则cos A =________.解析:因为sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,所以2sin B =sin A +sin C .由正弦定理得a +c =2b ,又因为a =2c ,可得b =32c ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c 2=-14.答案:-1411.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =2B . (1)求证:a =2b cos B ; (2)若b =2,c =4,求B 的值.解:(1)证明:因为A =2B ,所以由正弦定理a sin A =b sin B ,得a sin 2B =bsin B ,所以a =2b cos B .(2)由余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 因为b =2,c =4,A =2B ,所以16c os 2B =4+16-16cos 2B ,所以c os 2B =34,因为A +B =2B +B <π,所以B <π3,所以cos B =32,所以B =π6.12.(2019·绵阳模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C .(1)求A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.解:(1)由已知,结合正弦定理,得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc . 又由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 所以bc =-2bc cos A ,即cos A =-12.由于A 为△ABC 的内角,所以A =2π3.(2)由已知2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C ,结合正弦定理,得2sin 2A =(2sin B +sin C )sin B +(2sin C +sin B )sin C , 即sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C =sin 22π3=34.又由sin B +sin C =1,得sin 2B +sin 2C +2sin B sin C =1,所以sin B sin C =14,结合sin B +sin C =1,解得sin B =sin C =12.因为B +C =π-A =π3,所以B =C =π6,所以△ABC 是等腰三角形.B 级1.(2019·郑州质量预测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2c os 2A +B2-cos 2C =1,4sin B =3sin A ,a -b =1,则c 的值为( )A.13B.7C.37D .6解析:选A 由2c os 2A +B2-cos 2C =1,得1+c os(A +B )-(2c os 2C -1)=2-2c os 2C -cos C =1,即2c os 2C +cos C -1=0,解得cos C =12或cos C =-1(舍去).由4sin B =3sin A及正弦定理,得4b =3a ,结合a -b =1,得a =4,b =3.由余弦定理,知c 2=a 2+b 2-2ab cos C =42+32-2×4×3×12=13,所以c =13.2.(2019·长春模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c =3,2sin A a =t a n Cc,若sin(A -B )+sin C =2sin 2B ,则a +b =________. 解析:∵2sin A a =t a n C c =sin C c cos C ,且由正弦定理可得a =2R sin A ,c =2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径),∴cos C =12.∵C ∈(0,π),∴C =π3.∵sin(A -B )+sin C =2sin 2B ,sin C =sin(A +B ),∴2sin A cos B =4sin B cos B .当cos B =0时,B =π2,则A =π6,∵c =3, ∴a =1,b =2,则a +b =3.当cos B ≠0时,sin A =2sin B ,即a =2b .∵cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴b 2=1,即b =1,∴a =2,则a +b =3.综上,a +b =3.答案:33.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2a cos C -c =2b . (1)求角A 的大小;(2)若c =2,角B 的平分线BD =3,求a .解:(1)2a cos C -c =2b ⇒2sin A cos C -sin C =2sin B ⇒2sin A cos C -sin C =2sin(A +C )=2sin A cos C +2cos A sin C ,∴-sin C =2cos A sin C , ∵sin C ≠0,∴cos A =-12,又A ∈(0,π),∴A =2π3.(2)在△ABD 中,由正弦定理得,AB sin ∠ADB =BDsin A ,∴sin ∠ADB =AB sin A BD =22.又∠ADB ∈(0,π),A =2π3,∴∠ADB =π4,∴∠ABC =π6,∠ACB =π6,b =c =2,由余弦定理,得a 2=c 2+b 2-2c ·b ·cos A =(2)2+(2)2-2×2×2c os 2π3=6,∴a = 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b =7,c =4,cos B =34,则△ABC 的面积等于( )A .37 B.372C .9D.92(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为34(a 2+c 2-b 2),则B =________.[解析] (1)法一:由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,代入数据,得a =3,又cos B =34,B ∈(0,π),所以sin B =74,所以S △ABC =12ac sin B =372. 法二:由cos B =34,B ∈(0,π),得sin B =74,由正弦定理b sin B =csin C 及b =7,c =4,可得sin C =1,所以C =π2,所以sin A =cos B =34,所以S △ABC =12bc sin A =372.(2)由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac ,∴a 2+c 2-b 2=2ac cos B . 又∵S =34(a 2+c 2-b 2),∴12ac sin B =34×2ac cos B , ∴t a n B =3,∵B ∈()0,π,∴B =π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为:若c =4,sin C =2sin A ,sin B =154,则S △ABC =________. 解析:因为sin C =2sin A ,所以c =2a ,所以a =2,所以S △ABC =12ac sin B =12×2×4×154=15.答案:15 2.变结论本例(2)的条件不变,则C 为钝角时,ca的取值范围是________.解析:∵B =π3且C 为钝角,∴C =2π3-A >π2,∴0<A <π6 .由正弦定理得ca =sin ⎝⎛⎭⎫2π3-A sin A=32cos A +12sin A sin A =12+32·1t a n A.∵0<t a n A <33,∴1t a n A>3, ∴c a >12+32×3=2,即ca >2. 答案:(2,+∞)3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,(2b -a )cos C =c cos A . (1)求角C 的大小;(2)若c =3,△ABC 的面积S =433,求△ABC 的周长.解:(1)由已知及正弦定理得(2sin B -sin A )cos C =sin C cos A , 即2sin B cos C =sin A cos C +sin C cos A =sin(A +C )=sin B , ∵B ∈(0,π),∴sin B >0,∴cos C =12,∵C ∈(0,π),∴C =π3.(2)由(1)知,C =π3,故S =12ab sin C =12ab sin π3=433,解得ab =163.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab , 又c =3,∴(a +b )2=c 2+3ab =32+3×163=25,得a +b =5.∴△ABC 的周长为a +b +c =5+3=8.[解题技法]1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解. (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图,在平面四边形ABCD 中,∠ABC =3π4,AB ⊥AD ,AB =1. (1)若AC =5,求△ABC 的面积; (2)若∠ADC =π6,CD =4,求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中,由余弦定理得,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·c os ∠ABC , 即5=1+BC 2+2BC ,解得BC =2,所以△ABC 的面积S △ABC =12AB ·BC ·sin ∠ABC =12×1×2×22=12.(2)设∠CAD =θ,在△ACD 中,由正弦定理得AC sin ∠ADC =CDsin ∠CAD ,即AC sin π6=4sin θ, ① 在△ABC 中,∠BAC =π2-θ,∠BCA =π-3π4-⎝⎛⎭⎫π2-θ=θ-π4, 由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠BCA ,即AC sin 3π4=1sin ⎝⎛⎭⎫θ-π4,② ①②两式相除,得sin 3π4sin π6=4sin ⎝⎛⎭⎫θ-π4sin θ,即4⎝⎛⎭⎫22sin θ-22cos θ=2sin θ,整理得sin θ=2cos θ. 又因为sin 2θ+c os 2θ=1,所以sin θ=255,即sin ∠CAD =255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路如下:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.[提醒] 做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.[题组训练]1.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C 的值为________.解析:设AB =a ,∵AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,∴AD =a ,BD =2a 3,BC =4a 3. 在△ABD 中,c os ∠ADB =a 2+4a 23-a22a ×2a 3=33,∴sin ∠ADB =63,∴sin ∠BDC =63. 在△BDC 中,BD sin C =BCsin ∠BDC, ∴sin C =BD ·sin ∠BDC BC =66.答案:662.如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,且∠CBE ,∠BEC ,∠BCE 成等差数列.(1)求sin ∠CED ; (2)求BE 的长. 解:设∠CED =α.因为∠CBE ,∠BEC ,∠BCE 成等差数列, 所以2∠BEC =∠CBE +∠BCE ,又∠CBE +∠BEC +∠BCE =π,所以∠BEC =π3.(1)在△CDE 中,由余弦定理得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·c os ∠EDC , 即7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD -6=0, 解得CD =2(CD =-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理得EC sin ∠EDC =CDsin α,于是sin α=CD ·sin 2π3EC =2×327=217,即sin ∠CED =217.(2)由题设知0<α<π3,由(1)知cos α=1-sin 2α=1-2149=277,又∠AEB =π-∠BEC -α=2π3-α,所以c os ∠AEB =c os ⎝⎛⎭⎫2π3-α=c os 2π3cos α+sin 2π3sin α=-12×277+32×217=714. 在Rt △EAB 中,c os ∠AEB =EA BE =2BE =714,所以BE =47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,A ≠π2,sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0,π6 B.⎝⎛⎦⎤0,π4 C.⎣⎡⎦⎤π6,π4D.⎣⎡⎦⎤π6,π3(2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos 2A +cos 2B =2cos 2C ,则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D .-12[解析] (1)在△ABC 中,C =π-(A +B ),所以sin(A +B )+sin(B -A )=2sin 2A ,即2sin B cos A =22sin A cos A ,因为A ≠π2,所以cos A ≠0,所以sin B =2sin A ,由正弦定理得,b=2a ,所以A 为锐角.又因为sin B =2sin A ∈(0,1],所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0,22,所以A ∈⎝⎛⎦⎤0,π4. (2)因为cos 2A +cos 2B =2cos 2C ,所以1-2sin 2A +1-2sin 2B =2-4sin 2C ,得a 2+b 2=2c 2,cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 24ab ≥2ab 4ab =12,当且仅当a =b 时等号成立,故选C. [答案] (1)B (2)C[解题技法]1.三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解, 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A +B +C =π,0<A <π,b -c <a <b +c ,三角形中大边对大角等.[题组训练]1.在钝角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B 为钝角,若a cos A = b sin A ,则sin A +sin C 的最大值为( )A.2B.98C .1D.78解析:选B ∵a cos A =b sin A ,由正弦定理可得,sin A cos A =sin B sin A ,∵sin A ≠0,∴cos A =sin B ,又B 为钝角,∴B =A +π2,sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +cos 2A =sin A +1-2sin 2A =-2⎝⎛⎭⎫sin A -142+98,∴sin A +sin C 的最大值为98. 2.(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中,已知c =2,若sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C ,则a +b 的取值范围为________.解析:∵sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C ,∴a 2+b 2-ab =c 2,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,又∵C ∈(0,π),∴C =π3.由正弦定理可得a sin A =b sin B =2sin π3=433,∴a =433sin A ,b =433sin B .又∵B =2π3-A ,∴a +b =433sin A +433sin B =433sin A +433sin ⎝⎛⎭⎫2π3-A =4sin ⎝⎛⎭⎫A +π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0,2π3,∴A +π6∈⎝⎛⎭⎫π6,5π6,∴sin ⎝⎛⎭⎫A +π6∈⎝⎛⎦⎤12,1,∴a +b ∈(2,4]. 答案:(2,4]3.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos B b +cos C c =sin A 3sin C .(1)求b 的值;(2)若cos B +3sin B =2,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意及正、余弦定理得a 2+c 2-b 22abc +a 2+b 2-c 22abc =3a 3c ,整理得2a 22abc =3a3c ,所以b = 3.(2)由题意得cos B +3sin B =2sin ⎝⎛⎭⎫B +π6=2, 所以sin ⎝⎛⎭⎫B +π6=1, 因为B ∈(0,π),所以B +π6=π2,所以B =π3.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 所以3=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac , 即ac ≤3,当且仅当a =c =3时等号成立. 所以△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =34ac ≤334,当且仅当a =c =3时等号成立.故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知 b sin A =ac os ⎝⎛⎭⎫B -π6. (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2A -B )的值. [解] (1)在△ABC 中,由正弦定理a sin A =b sin B ,可得b sin A =a sin B .又因为b sin A =ac os ⎝⎛⎭⎫B -π6, 所以a sin B =ac os ⎝⎛⎭⎫B -π6, 即sin B =32cos B +12sin B , 所以t a n B = 3.因为B ∈(0,π),所以B =π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =7,故b =7. 由b sin A =ac os ⎝⎛⎭⎫B -π6,可得sin A =37. 因为a <c ,所以cos A =27. 所以sin 2A =2sin A cos A =437,cos 2A =2c os 2A -1=17.所以sin(2A -B )=sin 2A cos B -cos 2A sin B =437×12-17×32=3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )=c os 2x +3sin(π-x )c os(π+x )-12.(1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=-1,a =2,b sin C =a sin A ,求△ABC 的面积.[解] (1)f (x )=c os 2x -3sin x cos x -12=1+cos 2x 2-32sin 2x -12=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6≤x ≤k π+π3,k ∈Z ,又∵x ∈[0,π],∴函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0,π3和⎣⎡⎦⎤5π6,π. (2)由(1)知f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, ∴f (A )=-sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=-1, ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A <π2,∴-π6<2A -π6<5π6,∴2A -π6=π2,即A =π3.又∵b sin C =a sin A ,∴bc =a 2=4, ∴S △ABC =12bc sin A = 3.[对点训练]在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,(2a -c )cos B -b cos C =0. (1)求角B 的大小;(2)设函数f (x )=2sin x cos x cos B -32cos 2x ,求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值.解:(1)因为(2a -c )cos B -b cos C =0, 所以2a cos B -c cos B -b cos C =0, 由正弦定理得2sin A cos B -sin C cos B -cos C sin B =0, 即2sin A cos B -sin(C +B )=0,又因为C +B =π-A ,所以sin(C +B )=sin A . 所以sin A (2cos B -1)=0.在△ABC 中,sin A ≠0,所以cos B =12,又因为B ∈(0,π),所以B =π3.(2)因为B =π3,所以f (x )=12sin 2x -32cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 令2x -π3=2k π+π2(k ∈Z),得x =k π+5π12(k ∈Z),即当x =k π+5π12(k ∈Z)时,f (x )取得最大值1.[课时跟踪检测]A 级1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2A =sin A ,bc =2,则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C .1D .2解析:选A 由cos 2A =sin A ,得1-2sin 2A =sin A ,解得sin A =12(负值舍去),由bc =2,可得△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×12=12.2.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若(2a +c )cos B +b cos C =0,则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析:选C 由已知条件和正弦定理,得(2sin A +sin C )cos B +sin B cos C =0.化简,得2sin A cos B +sin A =0.因为角A 为三角形的内角,所以sin A ≠0,所以cos B =-12,所以B =2π3. 3.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A =223,a =3,S △ABC =22,则b 的值为( )A .6B .3C .2D .2或3解析:选D 因为S △ABC =12bc sin A =22,所以bc =6,又因为sin A =223,A ∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 所以cos A =13,因为a =3,所以由余弦定理得9=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-4,b 2+c 2=13,可得b =2或b =3. 4.(2018·昆明检测)在△ABC 中,已知AB =2,AC =5,t a n ∠BAC =-3,则BC 边上的高等于( )A .1 B.2 C.3D .2解析:选A 法一:因为t a n ∠BAC =-3,所以sin ∠BAC =310,c os ∠BAC =-110.由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·ABc os ∠BAC =5+2-2×5×2×⎝⎛⎭⎫-110=9,所以BC =3,所以S △ABC =12AB ·AC sin ∠BAC =12×2×5×310=32,所以BC 边上的高h =2S △ABCBC =2×323=1.法二:在△ABC 中,因为t a n ∠BAC =-3<0,所以∠BAC 为钝角,因此BC 边上的高小于2,结合选项可知选A.5.(2018·重庆九校联考)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,且a sin B =3b cos A ,当b +c =4时,△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C.3D .23解析:选C 由a sin B =3b cos A ,得sin A sin B =3sin B cos A ,∴t a n A =3,∵0<A <π,∴A =π3,故S △ABC =12bc sin A =34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b +c 22=3(当且仅当b =c =2时取等号),故选C.6.(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bc =1,b +2c cos A =0,则当角B 取得最大值时,△ABC 的周长为( )A .2+3B .2+2C .3D .3+2解析:选A 由b +2c cos A =0,得b +2c ·b 2+c 2-a 22bc =0,整理得2b 2=a 2-c 2.由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32,当且仅当a =3c 时等号成立,此时角B 取得最大值,将a =3c 代入2b 2=a 2-c 2可得b =c .又因为bc =1,所以b =c =1,a =3,故△ABC 的周长为2+ 3.7.在△ABC 中,B =120°,AC =7,AB =5,则△ABC 的面积为________. 解析:由余弦定理知72=52+BC 2-2×5×BC ×cos 120°, 即49=25+BC 2+5BC ,解得BC =3(负值舍去). 故S △ABC =12AB ·BC sin B =12×5×3×32=1534.答案:15348.(2019·长春质量检测)在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若 12b cos A =sin B ,且a =23,b +c =6,则△ABC 的面积为________.解析:由题意可知cos A 2=sin B b =sin Aa ,因为a =23,所以t a n A =3,因为0<A <π,所以A =π3,由余弦定理得12=b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc ,又因为b +c =6,所以bc =8,从而△ABC 的面积为12bc sin A =12×8×sin π3=2 3.答案:239.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠BAC =π2,点D 在边BC上,AD =1,且BD =2DC ,∠BAD =2∠DAC ,则sin Bsin C=________.解析:由∠BAC =π2及∠BAD =2∠DAC ,可得∠BAD =π3,∠DAC =π6.由BD =2DC ,令DC =x ,则BD =2x .因为AD =1,在△ADC 中,由正弦定理得1sin C =x sin π6,所以sin C =12x,在△ABD 中,sin B =sin π32x =34x ,所以sin B sin C =34x 12x=32.答案:3210.(2018·河南新乡二模)如图所示,在△ABC 中,C =π3,BC =4,点D 在边AC 上,AD =DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足,若DE =22,则cos A =________.解析:∵AD =DB ,∴∠A =∠ABD ,∠BDC =2∠A .设AD =DB =x , ∴在△BCD 中,BC sin ∠BDC =DB sin C,可得4sin 2A =xsin π3. ①在△AED 中,DE sin A =AD sin ∠AED ,可得22sin A =x1. ② 联立①②可得42sin A cos A =22sin A 32,解得cos A =64.答案:6411.(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 c (1+cos B )=b (2-cos C ).(1)求证:2b =a +c ;(2)若B =π3,△ABC 的面积为43,求b .解:(1)证明:∵c (1+cos B )=b (2-cos C ),∴由正弦定理可得sin C +sin C cos B =2sin B -sin B cos C , 即sin C cos B +sin B cos C +sin C =sin(B +C )+sin C =2sin B , ∴sin A +sin C =2sin B ,∴a +c =2b .(2)∵B =π3,∴△ABC 的面积S =12ac sin B =34ac =43,∴ac =16.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+c 2-ac =(a +c )2-3ac . ∵a +c =2b ,∴b 2=4b 2-3×16,解得b =4. 12.在△ABC 中,AC =6,cos B =45,C =π4.(1)求AB 的长; (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A -π6的值. 解:(1)因为cos B =45,0<B <π,所以sin B =35.由正弦定理得AC sin B =AB sin C ,所以AB =AC ·sin Csin B =6×2235=5 2.(2)在△ABC 中,因为A +B +C =π,所以A =π-(B +C ), 又因为cos B =45,sin B =35,所以cos A =-c os(B +C )=-c os ⎝⎛⎭⎫B +π4=-cos Bc os π4+sin B sin π4=-45×22+35×22=-210.因为0<A <π,所以sin A =1-c os 2A =7210. 因此,c os ⎝⎛⎭⎫A -π6=cos Ac os π6+sin A sin π6=-210×32+7210×12=72-620. B 级1.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若B =2A ,则2ba的取值范围是( )A .(2,2)B .(2,6)C .(2,3)D .(6,4)解析:选B ∵B =2A ,∴sin B =sin 2A =2sin A cos A ,∴ba =2cos A .又C =π-3A ,C为锐角,∴0<π-3A <π2⇒π6<A <π3,又B =2A ,B 为锐角,∴0<2A <π2⇒0<A <π4,∴π6<A <π4,22<cosA <32,∴2<b a <3,∴2<2ba< 6. 2.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +bc os 2A =2a ,则角A 的取值范围是________.解析:由已知及正弦定理得sin 2A sin B +sin Bc os 2A =2sin A ,即sin B (sin 2A +c os 2A )=2sin A ,∴sin B =2sin A ,∴b =2a ,由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4a 2+c 2-a 24ac =3a 2+c 24ac ≥23ac 4ac =32,当且仅当c =3a 时取等号.∵A 为三角形的内角,且y =cos x 在(0,π)上是减函数,∴0<A ≤π6,则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,π6. 答案:⎝⎛⎦⎤0,π6 3.(2018·昆明质检)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AB =2,BD =5,∠BCD =2∠ABD ,△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长; (2)求△CBD 的面积.解:(1)由已知S △ABD =12AB ·BD ·sin ∠ABD =12×2×5×sin ∠ABD =2,可得sin ∠ABD =255,又∠BCD =2∠ABD ,所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以c os ∠ABD =55. 在△ABD 中,由余弦定理AD 2=AB 2+BD 2-2·AB ·BD ·c os ∠ABD ,可得AD 2=5,所以AD = 5.(2)由AB ⊥BC ,得∠ABD +∠CBD =π2,所以sin ∠CBD =c os ∠ABD =55. 又∠BCD =2∠ABD ,所以sin ∠BCD =2sin ∠ABD ·c os ∠ABD =45,∠BDC =π-∠CBD -∠BCD =π-⎝⎛⎭⎫π2-∠ABD -2∠ABD =π2-∠ABD =∠CBD , 所以△CBD 为等腰三角形,即CB =CD .在△CBD 中,由正弦定理BD sin ∠BCD =CDsin ∠CBD ,得CD =BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD=5×5545=54, 所以S △CBD =12CB ·CD ·sin ∠BCD =12×54×54×45=58.。

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人教版高中数学B版目录第一篇:人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用(Ⅰ)2.4 函数与方程基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用(Ⅱ)立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式(组)与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1-1 选修1-2 选修4-5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式第二篇:高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(运算律)与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ,σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵(一)几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换(二)变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质(一)线性变换的基本性质(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Anα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险(平均损失)2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇:高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(运算律)与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文

(2)4cos50°-tan40°=4sin40°-tan40°
=4sin40°ccooss4400°°-sin40°=2sin80°-cossin403°0°+10°
=2cos10°-12ccooss1400°°-
3 2 sin10°
=32cos10c°o-s4023°sin10°
= 3 cosc3o0s°4+0°10°= 3. [答案] (1)1 (2) 3


三角函数 解三角形

第四节
三角恒等变换
高考概览 1.巧变角:三角函数式中往往出现较多的差异角,注意观察 角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换, 化多角为单角或减少未知角的数目,连接条件角与待求角,使问 题顺利获解.对角变换时:(1)可以通过诱导公式、两角和与差的 三角公式等;(2)注意倍角的相对性;(3)注意拆角、拼角技巧,例 如,2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=α+2 β- α-2 β=(α+2β)-(α+β),α-β=(α-γ)+(γ-β),15°=45°-30°,
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值,求另外一些角的 给值
三角函数值,解题关键在于“变角”,使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值,关键是变角,把所
求角 求角用含已知角的式子表示,由所得的函数
角度 1:给角求值 (1)化简:sin50°(1+ 3tan10°)=________.
(2)4cos50°-tan40°=________. 化成“一角一

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式
cos

π
π + ,
2
∈ 可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
2
2
2
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
π
α=tan4 .
对点训练 3 已知直线 2x-y+1=0 的倾斜角为

tan
3.已知
=-1,求下列各式的值:
tan -1
sin -3cos
(1) sin +cos ;
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解:由已知得 tan
sin -3cos
(1) sin +cos
=
1
α=2.
tan -3
5
=- .
tan +1 3
si n 2 +sin cos
=
sin
cos
+
cos
sin
=
1
=2.
sin cos
1
α=2,
)
本 课 结 束

sin ( -)+cos ( +)
2
2
(
A.-3
5
B.
3
C.3
D.5
=
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)由题意|OP|=1,sin α=cos 1 180°=cos(360°×3+100°)
=cos 100°=sin(-10°),cos α=sin 1 180°=sin(360°×3+100°)

7.2.1三角函数的定义+教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

7.2.1三角函数的定义+教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

教学设计题目三角函数的定义第 1 课时内容和内容解析内容本节内容主要包括三角函数的定义,根据定义求任意角的三角函数,判断三角函数在各象限的符号。

内容解析三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,是学习数学和物理、天文等其他学科的基础。

整体上任意角三角函数知识体系的建立,与其他基本初等函数类似,强调以周期变换为背景,构建从从抽象研究对象(即定义三角函数概念)到研究它的性质图像再到实际应用的过程。

学情分析学生在以前学习基本初等函数,涉及的量(常量与变量)较少,解析式都有明确的运算含义,而三角中,影响单位圆上点的坐标变化的因素较多,对应关系不以“代数运算”为媒介,而是角与x,y直接对应,无需计算。

目标和目标解析目标1.通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题,体会用坐标定义任意角三角函数的必要性,体会由特殊到一般的归纳思想,发展数学抽象和逻辑推理的学科素养;2.经历任意角三角函数定义的产生过程,理解任意角三角函数的定义,发展逻辑推理的学科素养;3.会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号,发展数学运算的学科素养.目标解析1、学生能如了解基本初等函数的背景那样,了解三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具;2、学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律。

教学重点1.任意角三角函数的定义;2.依据定义求三角函数值;3.判定三角函数值的符号.教学难点任意角三角函数定义的建构过程以及三角函数的对应关系。

教学方法分析本节课以新课标教学理念为知道,倡导积极主动、勇于探索的学习方式,采用情境导入借助多媒体的运用,让学生理解三角函数的背景及定义的构建过程。

教学过程设计教师活动与任务设计学生学习活动与任务解决设计意图或评价目标环节一创设情境任务一、情境导入本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮,设其半径为r m,中心离地面高度为,从水平位置B点出发,设半径AB转过的角度为,一、学生独立思考完成,展示答案:,,并作解释说明,进而猜想:.二、师生共研当点B在水平位置上方时,任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点,如何自然地引入坐标,使学生体会到用坐标定义的必要性和问题1:当时,B 点离地面的高度h如何表示?当呢?猜想当角为任意角时,h与之间的关系式如何表示?问题2:随着摩天轮的转动,角从最初的锐角推广到任意角,对任意角,该如何定义呢?这就是本节要学习的内容,任意角三角函数的定义.上述问题的猜想是否合理呢?我们共同分析:问题3:上述式子中,我们能否找到一个量替代,使上述形式更简单?它的绝对值与相等,在水平位置上方为正,下方为负.,当点当点B在水平位置下方时,,所以,结合猜想,得到,即.三、学生活动:学生思考后回答,引入直角坐标系,用点B的纵坐标y替代,所以.合理性是设置该问题情境的原因,并且通过摩天轮周而复始的旋转,让学生感受三角函数的背景就是周而复始的运动。

2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第四章 三角函数、解三角形 4.5

2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第四章 三角函数、解三角形 4.5

=
1+tan ������ · tan
,答案为 . (1)- α= (2) 5 5
5
77
π 4
=
tan ������ -1 1+tan ������
= ,
6
关闭
1
解析
答案
-14考点1 考点2 考点3
考点 2
三角函数公式的逆用及变用
(
例 2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)· cos(110°-x)的值为 ) A.√2 B.
7
(2)(方法一 )tan α=tan ������=
tan 1-tan
π ������ 4 π +ta n 4 π π ������ - · tan 4 4
π 4
+
=
1 +1 6 1 1- ×1 6
= .
5 tan ������ -tan
π 4
7
(方法二 )∵tan ������7 ∴tan 5
π 4 7
4.5 两角和与差的正弦、余 弦与正切公式
-2知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β .
(3)tan(α±β)=
tan������±tan������
1∓tan������tan������
.
-3知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ; cos 2α= cos2α-sin2α =

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

§4.4函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:3.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径1.函数y =A sin(ωx +φ)+k 图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.由y =sin ωx 到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴由ωx +φ=k π+π2,k ∈Z 确定;对称中心由ωx +φ=k π,k ∈Z确定其横坐标.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的图象是由y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π4的图象向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y =sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y =sin(ωx -φ)的图象.( × )(3)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)由图象求函数解析式时,振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( √ ) 题组二 教材改编2.为了得到函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象,可以将函数y =2sin 2x 的图象( ) A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π3个单位长度答案 A3.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π3的振幅、频率和初相分别为( ) A .2,4π,π3B .2,14π,π3C .2,14π,-π3D .2,4π,-π3解析 由题意知A =2,f =1T =ω2π=14π,初相为-π3.4.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ,则这段曲线的函数解析式为 .答案 y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出,从6~14时的是函数 y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期, 所以A =12×(30-10)=10,b =12×(30+10)=20, 又12×2πω=14-6, 所以ω=π8.又π8×10+φ=2π+2k π,k ∈Z ,取φ=3π4, 所以y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14]. 题组三 易错自纠5.要得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象( ) A .向左平移π12个单位长度B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π3个单位长度D .向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x -π12, ∴要得到y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度.6.将函数y =cos 2x +1的图象向右平移π4个单位长度,再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为( ) A .y =sin 2x B .y =sin 2x +2 C .y =cos 2x D .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4 答案 A解析 将函数y =cos 2x +1的图象向右平移π4个单位长度得到y =cos 2⎝⎛⎭⎫x -π4+1=sin 2x +1,再向下平移1个单位长度得到y =sin 2x ,故选A.7.设函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2<φ<π2的图象关于直线x =2π3对称,它的周期是π,则下列说法正确的是 .(填序号) ①f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0,32; ②f (x )在⎣⎡⎦⎤π12,2π3上是减函数; ③f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12,0;④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y =3sin ωx 的图象. 答案 ①③解析 ∵周期为π,∴2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=3sin(2x +φ),f ⎝⎛⎭⎫2π3=3sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ, 则sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ=1或-1. 又φ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,4π3+φ∈⎝⎛⎭⎫5π6,11π6, ∴4π3+φ=3π2,∴φ=π6, ∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. ①令x =0,则f (x )=32,正确.②令2k π+π2<2x +π6<2k π+3π2,k ∈Z ,则k π+π6<x <k π+2π3,k ∈Z .令k =0,得π6<x <2π3,即f (x )在⎝⎛⎭⎫π6,2π3上单调递减,而在⎝⎛⎭⎫π12,π6上单调递增,错误. ③令x =5π12,则f (x )=3sin π=0,正确.④应平移π12个单位长度,错误.题型一 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换典例 已知函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解 (1)y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的振幅A =2, 周期T =2π2=π,初相φ=π3.(2)令X =2x +π3,则y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3=2sin X . 列表如下:描点画出图象,如图所示:(3)方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象;再把y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象; 最后把y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin 2x的图象;再将y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度,得到y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象; 再将y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象. 思维升华 (1)y =A sin(ωx +φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z =ωx +φ计算五点坐标.(2)由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练 (1)(2018届安阳林州一中调研)将函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为( ) A.5π12 B.π3 C.π12 D.7π12答案 A解析 平移后的函数解析式为y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3-2m , 又图象关于y 轴对称,则sin ⎝⎛⎭⎫π3-2m =±1, ∴π3-2m =k π+π2,k ∈Z ,∴m =-k π2-π12,k ∈Z , 又m >0,∴m 的最小值为5π12.(2)把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移π4个单位长度,得到的函数图象的解析式是 .答案 y =cos 2x解析 由y =sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为y =sin 2x ,再向左平移π4个单位长度得y =sin 2⎝⎛⎭⎫x +π4,即y =cos 2x . 题型二 由图象确定y =A sin(ωx +φ)的解析式典例 (1)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则y = .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6 解析 由题图可知,A =2,T =2⎣⎡⎦⎤π3-⎝⎛⎫-π6=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×π3+φ=π2, 所以φ=-π6,所以函数的解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)已知函数f (x )=sin(ωx +φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6取得最小值时x 的集合为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k π-π3,k ∈Z 解析 根据所给图象,周期T =4×⎝⎛⎭⎫7π12-π3=π,故π=2πω,∴ω=2,因此f (x )=sin(2x +φ),另外图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12,0,代入有2×7π12+φ=π+2k π(k ∈Z ),再由|φ|<π2,得φ=-π6,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6,∴f ⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,当2x +π6=-π2+2k π(k ∈Z ),即x =-π3+k π(k ∈Z )时,y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6取得最小值. 思维升华 y =A sin(ωx +φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练 (2018·山东重点中学模拟)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π2,ω>0)的图象的一部分如图所示,则f (x )图象的对称轴方程是 .答案 x =k π2+π6(k ∈Z )解析 由图象知A =2,又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=12,又|φ|<π2,∴φ=π6.又11π12×ω+π6=2π,∴ω=2, ∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, 令2x +π6=π2+k π(k ∈Z ),解得x =k π2+π6(k ∈Z ),∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的对称轴方程为 x =k π2+π6(k ∈Z ).题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型典例 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A .5B .6C .8D .10 答案 C解析 由题干图得y min =k -3=2,则k =5. ∴y max =k +3=8.命题点2 函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x -3sin 2x +m -1=0在⎝⎛⎭⎫π2,π上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是 . 答案 (-2,-1)解析 方程2sin 2x -3sin 2x +m -1=0可转化为 m =1-2sin 2x +3sin 2x =cos 2x +3sin 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π. 设2x +π6=t ,则t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π,∴题目条件可转化为m2=sin t ,t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π有两个不同的实数根.∴y 1=m2和y 2=sin t ,t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫-1,-12, 故m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m 的取值范围是 . 答案 [-2,1)解析 由上例题知,m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫-1,12, ∴-2≤m <1,∴m 的取值范围是[-2,1). 命题点3 三角函数图象性质的综合典例 (2017·潍坊模拟)已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π3 (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0,求当m 取得最小值时,g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. 解 (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,得函数f (x )的最小正周期为T =2×π2=2π2ω,得ω=1, 故函数f (x )的解析式为f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π3=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2m +π3的图象,根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0, 可得3sin ⎝⎛⎭⎫-2π3+2m +π3=0,即sin ⎝⎛⎭⎫2m -π3=0, 所以2m -π3=k π(k ∈Z ),m =k π2+π6(k ∈Z ),因为m >0,所以当k =0时,m 取得最小值,且最小值为π6.此时,g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,7π12,所以2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,11π6. 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,π2,即x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,-π12时,g (x )单调递增, 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2,11π6,即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12,7π12时,g (x )单调递增. 综上,g (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-π6,-π12和⎣⎡⎦⎤5π12,7π12. 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究y =A sin(ωx +φ)的性质时可将ωx +φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.跟踪训练 (1)已知角φ的终边经过点P (-4,3),函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 . 答案 -45解析 由角φ的终边经过点P (-4,3), 可得cos φ=-45,sin φ=35.根据函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,可得周期为2πω=2×π2, 解得ω=2,∴f (x )=sin(2x +φ), ∴f ⎝⎛⎭⎫π4=sin ⎝⎛⎭⎫π2+φ=cos φ=-45. (2)若函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6(ω>0)满足f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,且函数在⎣⎡⎦⎤0,π2上有且只有一个零点,则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 ∵f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,∴x =π6是f (x )图象的一条对称轴,∴f ⎝⎛⎭⎫π6=±1,∴π6×ω+π6=π2+k π,k ∈Z , ∴ω=6k +2,k ∈Z ,∴T =π3k +1(k ∈Z ). 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上有且只有一个零点, ∴π6≤T 4≤π2-π6,∴2π3≤T ≤4π3, ∴2π3≤π3k +1≤4π3(k ∈Z ),∴-112≤k ≤16, 又∵k ∈Z ,∴k =0,∴T =π.三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π4-sin(x +π). (1)求f (x )的最小正周期;(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π]上的最大值和最小值.思维点拨 (1)先将f (x )化成y =A sin(ωx +φ)的形式再求周期;(2)将f (x )解析式中的x 换成x -π6,得g (x ),然后利用整体思想求最值.规范解答解 (1)f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π4 -sin(x +π)=3cos x +sin x [3分] =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,[5分] 于是T =2π1=2π.[6分](2)由已知得g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x -π6=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6,[8分] ∵x ∈[0,π],∴x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1,[10分] ∴g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6∈[-1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式;第二步:(用辅助角公式)构造f (x )=a 2+b 2· ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2+b 2+cos x ·b a 2+b 2;第三步:(求性质)利用f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.1.(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D解析 因为y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3=cos ⎝⎛⎭⎫2x +2π3-π2= cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,所以曲线C 1:y =cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到曲线y =cos 2x ,再把得到的曲线y =cos 2x 向左平移π12个单位长度,得到曲线y =cos 2⎝⎛⎭⎫x +π12=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6.故选D. 2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )=sin 2x +cos 2x =2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4,将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y =2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4-2φ,且该函数为偶函数, 故2φ+π4=k π(k ∈Z ),所以φ的最小正值为3π8.3.(2017·河北衡水中学模拟)若函数y =sin(ωx -φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A .ω=2,φ=π3B .ω=2,φ=-2π3C .ω=12,φ=π3D .ω=12,φ=-2π3答案 A解析 由题图可知,T =2⎣⎡⎦⎤π6-⎝⎛⎭⎫-π3=π, 所以ω=2πT =2,又sin ⎝⎛⎭⎫2×π6-φ=0, 所以π3-φ=k π(k ∈Z ),即φ=π3-k π(k ∈Z ),而|φ|<π2,所以φ=π3,故选A.4.函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y =2所得线段长为π2,则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A .- 3 B.33C .1 D. 3答案 D解析 由已知得T =π2,∴ω=2.∴f ⎝⎛⎭⎫π6=tan π3= 3. 5.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )=3sin x -cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π6, 因为函数f (x -a )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -a -π6的图象关于y 轴对称, 所以sin ⎝⎛⎭⎫-a -π6=±1,a +π6=k π+π2,k ∈Z , 即a =k π+π3,k ∈Z ,因此正数a 的最小值是π3,故选B.6.函数f (x )=sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为( ) A .-32B .-12C.12 D.32 答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度,得g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +φ+π3的图象, 因为是奇函数,所以φ+π3=k π,k ∈Z ,又因为|φ|<π2,所以φ=-π3,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,所以2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, 所以当x =0时,f (x )取得最小值-32. 7.已知简谐运动f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π3x +φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 . 答案 6,π6解析 由题意知1=2sin φ,得sin φ=12,又|φ|<π2,得φ=π6.而此函数的最小正周期T =2ππ3=6.8.(2017·洛阳统考)函数f (x )=2sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,已知图象经过点A (0,1),B ⎝⎛⎭⎫π3,-1,则f (x )= .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6 解析 由已知得T 2=π3,∴T =2π3,又T =2πω,∴ω=3.∵f (0)=1,∴sin φ=12,又∵0<φ<π2,∴φ=π6,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6(经检验满足题意). 9.已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象完全相同,若x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则f (x )的值域是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤-32,3解析 f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6 =3cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫ωx -π6 =3cos ⎝⎛⎭⎫ωx -2π3, 所以ω=2,则f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴-π6≤2x -π6≤5π6, ∴-32≤f (x )≤3.10.(2018·长春调研)已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为 . 答案π2解析 f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4, 因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x =ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z ,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z .又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,即ω2=π4,所以ω=π2. 11.已知函数y =A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12,0,图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3,5. (1)求函数的解析式;(2)求函数f (x )的单调递增区间.解 (1)依题意得A =5,周期T =4⎝⎛⎭⎫π3-π12=π, ∴ω=2ππ=2.故y =5sin(2x +φ),又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12,0, ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ=0, 由已知可得π6+φ=k π,k ∈Z ,∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴y =5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z ,故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ). 12.(2017·合肥质检)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6+a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值;(2)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6+a =4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx +12cos ωx +a =23sin ωx cos ωx +2cos 2ωx -1+1+a =3sin 2ωx +cos 2ωx +1+a =2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6+1+a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6=1时, f (x )取得最大值2+1+a =3+a .又f (x )最高点的纵坐标为2,∴3+a =2,即a =-1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π, ∴f (x )的最小正周期为T =π, ∴2ω=2πT=2,ω=1.(2)∵x ∈[0,π],∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,13π6. 当2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π2,3π2, 即x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,f (x )单调递减,∴f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6,2π3.13.将函数f (x )=sin(2x +θ)⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0,32,则φ的值为 . 答案5π6解析 g (x )=sin[2(x -φ)+θ]=sin(2x -2φ+θ),若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0,32, 所以sin θ=32,sin(-2φ+θ)=32, 又-π2<θ<π2,所以θ=π3,sin ⎝⎛⎭⎫π3-2φ=32. 又0<φ<π,所以-5π3<π3-2φ<π3,所以π3-2φ=-4π3.即φ=5π6.14.(2018·太原模拟)已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为 .答案 π解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6=1,得sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6=12, ∴ωx +π6=2k π+π6或ωx +π6=2k π+5π6(k ∈Z ).令k =0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6,∴x 1=0,x 2=2π3ω.由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3,∴ω=2.故f (x )的最小正周期T =2π2=π.15.函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则将y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到的图象解析式为 .答案 y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6 解析 由34T =11π12-π6,得T =π,于是ω=2.由图象知A =1.根据五点作图法有ω·π6+φ=π2,解得φ=π6,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.将y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到图象的解析式为y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6+π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 16.(2017·山东)设函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎡⎦⎤-π4,3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2, 所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝⎛⎭⎫12sin ωx -32cos ωx=3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6=0, 所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z ,故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3, 所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-π3=3sin ⎝⎛⎭⎫x -π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,所以x -π12∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, 当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.。

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析:∵cosπ6-x=cos
π 6cos
x12sin x=12(sin x+ 3cos x)=12×65=35.
答案:35
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1.已知 sinα+π6+cos α=- 33,则 cosπ6-α=(
2
·1ta-n2tαa+n2α1+
2 2
= 22×322×+31+ 2×312-+312+ 22=0.
答案:0
考点三 角的变换
[典例引领]
已知 0<β<π2<α<π,且 cosα-β2=-19,sinα2-β=23, 求 cos(α+β).
解:∵0<β<π2<α<π,∴-π4<α2-β<π2,π4<α-β2<π,
)
A.-2 3 2
B.2
2 3
C.-13
D.13
解析:由 sinα+π6+cos α=- 33,
展开化简可得 sinα+π3=-13,
所以 cosπ6-α=cos π2-α+π3 =sinα+π3=-13.
答案:C
2.已知函数 f(x)=sin x-cos x,且 f′(x)=12 f(x),则 tan 2x 的
3
C. 3
D.2 2-1
解析:
4cos
50°-tan
40°=4sin
40°-csions
40° 40°
=4sin
40°cos 40°-sin cos 40°
40°=2sin
80°-sin cos 40°
40°
=2sin120°-40°-sin 40°= 3cos 40°+sin 40°-sin 40°

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义:第四章 三

§4.3 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫3π2,-1,(2π,0).(2)在余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫3π2,0,(2π,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识拓展 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性若f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0),则:(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π2+k π(k ∈Z );(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y =sin x 在第一、第四象限上是增函数.( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6+2π3=sin π6知,2π3是正弦函数y =sin x (x ∈R )的一个周期.( × ) (3)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( × ) (5)y =sin|x |是偶函数.( √ ) 题组二 教材改编2.函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4的最小正周期是 . 答案 π3.y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤-32,3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-32,3, 即y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6的值域为⎣⎡⎦⎤-32,3. 4.y =tan 2x 的定义域是 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2+π4,k ∈Z 解析 由2x ≠k π+π2,k ∈Z ,得x ≠k π2+π4,k ∈Z ,∴y =tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2+π4,k ∈Z . 题组三 易错自纠5.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的图象的一条对称轴是( ) A .x =π4B .x =π2C .x =-π4D .x =-π2答案 C解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x -π4=k π+π2,k ∈Z ,∴x =k π+3π4,k ∈Z .取k =-1,则x =-π4.6.函数y =-tan ⎝⎛⎭⎫2x -3π4的单调递减区间为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ) 解析 因为y =tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫-π2+k π,π2+k π(k ∈Z ),所以由-π2+k π<2x -3π4<π2+k π,k ∈Z ,得π8+k π2<x <5π8+k π2(k ∈Z ), 所以y =-tan ⎝⎛⎭⎫2x -3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ).7.cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小关系是 .(用“>”连接) 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°=cos 22°,又y =cos x 在[0°,180°]上是减函数, ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域和值域1.函数f (x )=-2tan ⎝⎛⎭⎫2x +π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠-π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π+π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2+π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域,得2x +π6≠k π+π2,k ∈Z ,即x ≠k π2+π6(k ∈Z ),故选D.2.函数y =sin x -cos x 的定义域为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π+π4,2k π+5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义,必须使sin x -cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .方法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z . 3.函数y =-2sin x -1,x ∈⎣⎡⎭⎫7π6,13π6的值域是 . 答案 (-2,1]解析 当x ∈⎣⎡⎭⎫7π6,13π6时,-1≤sin x <12, 所以函数y =-2sin x -1,x ∈⎣⎡⎭⎫7π6,13π6的值域是(-2,1].4.(2018届山东邹平双语学校月考)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的最大值是 . 答案 1解析 f (x )=sin 2x +3cos x -34=1-cos 2x +3cos x -34,令cos x =t 且t ∈[0,1],则y =-t 2+3t +14=-⎝⎛⎭⎫t -322+1,当t =32时,y max =1, 即f (x )的最大值是1.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求;②把所给的三角函数式变换成y =A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0)的形式求值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域.题型二 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调性典例 (1)函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ), 所以函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ),故选B. (2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y =12sin x +32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的单调递增区间是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤0,π6 解析 ∵y =12sin x +32cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3, 由2k π-π2≤x +π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得2k π-5π6≤x ≤2k π+π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π-5π6,2k π+π6(k ∈Z ), 又x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0,π6. 命题点2 根据单调性求参数典例 已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤12,54解析 由π2<x <π,ω>0,得ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4, 又y =sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π+π2,2k π+3π2,k ∈Z ,所以⎩⎨⎧ωπ2+π4≥π2+2k π,ωπ+π4≤3π2+2k πk ∈Z ,解得4k +12≤ω≤2k +54,k ∈Z .又由4k +12-⎝⎛⎭⎫2k +54≤0,k ∈Z 且2k +54>0,k ∈Z ,得k =0,所以ω∈⎣⎡⎦⎤12,54. 引申探究本例中,若已知ω>0,函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递增,则ω的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤32,74解析 函数y =cos x 的单调递增区间为[-π+2k π,2k π],k ∈Z ,则⎩⎨⎧ωπ2+π4≥-π+2k π,ωπ+π4≤2k πk ∈Z ,解得4k -52≤ω≤2k -14,k ∈Z ,又由4k -52-⎝⎛⎭⎫2k -14≤0,k ∈Z 且2k -14>0,k ∈Z , 得k =1,所以ω∈⎣⎡⎦⎤32,74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. 跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,则ω等于( ) A.23 B.32 C .2 D .3答案 B解析 由已知得T 4=π3,∴T =4π3,∴ω=2πT =32.题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性典例 (1)(2017·湘西自治州模拟)已知函数f (x )=sin(ωx -ωπ)(ω>0)的最小正周期为π,则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12 B .-12C.32D .-32答案 A解析 ∵T =π,∴ω=2πT =2ππ=2,∴f (x )=sin ()2x -2π=sin 2x , ∴f ⎝⎛⎭⎫π12=sin π6=12. (2)若函数f (x )=2tan ⎝⎛⎭⎫kx +π3的最小正周期T 满足1<T <2,则自然数k 的值为 . 答案 2或3解析 由题意得,1<πk <2,∴k <π<2k ,即π2<k <π,又k ∈Z ,∴k =2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性典例 (2017·银川模拟)函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+φ,φ∈(0,π)满足f (|x |)=f (x ),则φ的值为 . 答案5π6解析 由题意知f (x )为偶函数,关于y 轴对称, ∴f (0)=3sin ⎝⎛⎭⎫φ-π3=±3,∴φ-π3=k π+π2,k ∈Z ,又0<φ<π,∴φ=5π6.命题点3 三角函数图象的对称性典例 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x =π3对称的是( )A .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 B .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6C .y =2sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π3 D .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3 答案 B解析 由y =f (x )的最小正周期为π,可排除C ;其图象关于直线x =π3对称,根据选项,则f ⎝⎛⎭⎫π3=2或-2,可排除A ,D.故选B.(2)(2016·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|≤π2,x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,则ω的最大值为 . 答案 9解析 因为x =-π4为f (x )的零点,x =π4为f (x )的图象的对称轴,所以π4-⎝⎛⎭⎫-π4=T 4+kT 2,即π2=2k +14T =2k +14·2πω,所以ω=2k +1(k ∈N ),又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,所以5π36-π18=π12≤T2=2π2ω,即ω≤12, 若ω=11,又|φ|≤π2,则φ=-π4,此时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫11x -π4,f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,3π44上单调递增,在⎝⎛⎭⎫3π44,5π36上单调递减,不满足条件. 若ω=9,又|φ|≤π2,则φ=π4,此时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫9x +π4,满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调的条件. 由此得ω的最大值为9.思维升华 (1)对于函数y =A sin(ωx +φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点. (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义.②利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 (1)(2017·大连模拟)函数f (x )=2cos(ωx +φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4+x =f ⎝⎛⎭⎫π4-x ,则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A .2或0 B .-2或2 C .0D .-2或0答案 B解析 由题意,知x =π4为函数f (x )的一条对称轴,∴f ⎝⎛⎭⎫π4=±2. (2)若将函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称,则ω的最小正值是 . 答案 3解析 若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称,则平移的大小最小为T 2,所以T 2≤π3,即T max =2π3,所以当T =2π3时,ωmin =2πT max =2π2π3=3.三角函数的图象与性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,则下列结论错误的是( ) A .f (x )的一个周期为-2πB .y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称C .f (x +π)的一个零点为x =π6D .f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减(2)函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为 .(3)设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f (x )的最小正周期为 . 解析 (1)A 项,因为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3的周期为2k π(k ∈Z ),所以f (x )的一个周期为-2π,A 项正确;B 项,因为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3图象的对称轴为直线x =k π-π3(k ∈Z ),所以y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称,B 项正确; C 项,f (x +π)=cos ⎝⎛⎭⎫x +4π3.令x +4π3=k π+π2(k ∈Z ),得x =k π-5π6,当k =1时,x =π6,所以f (x +π)的一个零点为x =π6,C 项正确; D 项,因为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π-π3,2k π+2π3(k ∈Z ), 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π+2π3,2k π+5π3(k ∈Z ), 所以⎝⎛⎭⎫π2,2π3是f (x )的单调递减区间,⎣⎡⎭⎫2π3,π是f (x )的单调递增区间,D 项错误.故选D. (2)由图象知,周期T =2×⎝⎛⎭⎫54-14=2,∴2πω=2,∴ω=π. 由π×14+φ=π2+2k π,k ∈Z ,不妨取φ=π4, ∴f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫πx +π4. 由2k π<πx +π4<2k π+π,k ∈Z , 得2k -14<x <2k +34,k ∈Z , ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z . (3)记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2-π6=π3, 又f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,且2π3-π2=π6, 可作出示意图如图所示(一种情况):∴x 1=⎝⎛⎭⎫π2+π6×12=π3,x 2=⎝⎛⎭⎫π2+2π3×12=7π12,∴T 4=x 2-x 1=7π12-π3=π4,∴T =π. 答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z (3)π1.(2017·广州五校联考)下列函数中,周期为π的奇函数为( )A .y =sin x cos xB .y =sin 2xC .y =tan 2xD .y =sin 2x +cos 2x答案 A解析 y =sin x cos x =12sin 2x , 周期为π,且是奇函数.2.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为( ) A .-1 B .-22 C.22 D .0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,得2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4, 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1, 故函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为-22.故选B. 3.函数y =sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y =sin x 2为偶函数,排除A ,C ;又当x =π2时函数取得最大值,排除B ,故选D. 4.(2017·成都诊断)函数y =cos 2x -2sin x 的最大值与最小值分别为( )A .3,-1B .3,-2C .2,-1D .2,-2答案 D解析 y =cos 2x -2sin x =1-sin 2x -2sin x=-sin 2x -2sin x +1,令t =sin x ,则t ∈[-1,1],y =-t 2-2t +1=-(t +1)2+2,所以y max =2,y min =-2.5.已知函数f (x )=2sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0,3),则f (x )图象的一个对称中心是() A.⎝⎛⎭⎫-π3,0 B.⎝⎛⎭⎫-π6,0C.⎝⎛⎭⎫π6,0D.⎝⎛⎭⎫π12,0答案 B解析 函数f (x )=2sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0,3),则f (0)=2sin φ=3,∴sin φ=32,又|φ|<π2,∴φ=π3,则f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,令2x +π3=k π(k ∈Z ),则x =k π2-π6(k ∈Z ),当k =0时,x =-π6,∴⎝⎛⎭⎫-π6,0是函数f (x )的图象的一个对称中心.6.已知函数f (x )=-2sin(2x +φ)(|φ|<π),若f ⎝⎛⎭⎫π8=-2,则f (x )的一个单调递减区间是() A.⎣⎡⎦⎤-π8,3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8,9π8C.⎣⎡⎦⎤-3π8,π8 D.⎣⎡⎦⎤π8,5π8答案 C解析 由f ⎝⎛⎭⎫π8=-2,得f ⎝⎛⎭⎫π8=-2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8+φ=-2sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=-2,所以sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=1.因为|φ|<π,所以φ=π4.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,解得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z . 当k =0时,-3π8≤x ≤π8,故选C. 7.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调递减区间为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ) 解析 因为y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4, 所以令2k π≤2x -π4≤2k π+π(k ∈Z ), 解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ), 所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ). 8.(2018·福州质检)函数y =cos 2x +sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为 . 答案 1-22解析 令t =sin x ,∵|x |≤π4,∴t ∈⎣⎡⎦⎤-22,22. ∴y =-t 2+t +1=-⎝⎛⎭⎫t -122+54, ∴当t =-22时,y min =1-22. 9.已知函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x =π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f (x )的最小正周期为 .答案 6π5解析 由函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x =π,可得ωπ-π6=k π+π2,k ∈Z ,∴ω=k +23,又ω∈(1,2),∴ω=53, 从而得函数f (x )的最小正周期为2π53=6π5. 10.(2018·珠海模拟)设函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫π2x +π4,若存在这样的实数x 1,x 2,对任意的x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为 .答案 2解析 |x 1-x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期,又T =4,∴|x 1-x 2|的最小值为2.11.已知f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程;(2)求f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4时,求函数f (x )的最大值和最小值.解 (1)f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 令2x +π4=k π+π2,k ∈Z , 得x =k π2+π8,k ∈Z . 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x =k π2+π8,k ∈Z . (2)令2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4时,3π4≤2x +π4≤7π4, 所以-1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4≤22, 所以-2≤f (x )≤1,所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4时,函数f (x )的最大值为1,最小值为- 2.12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )=a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2+sin x +b . (1)若a =-1,求函数f (x )的单调增区间;(2)当x ∈[0,π]时,函数f (x )的值域是[5,8],求a ,b 的值.解 f (x )=a (1+cos x +sin x )+b=2a sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+a +b . (1)当a =-1时,f (x )=-2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+b -1, 由2k π+π2≤x +π4≤2k π+3π2(k ∈Z ),得2k π+π4≤x ≤2k π+5π4(k ∈Z ), ∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π+π4,2k π+5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π,∴π4≤x +π4≤5π4, ∴-22≤sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤1.依题意知a ≠0, ①当a >0时,⎩⎨⎧ 2a +a +b =8,b =5,∴a =32-3,b =5; ②当a <0时,⎩⎨⎧b =8,2a +a +b =5,∴a =3-32,b =8. 综上所述,a =32-3,b =5或a =3-32,b =8.13.(2018·广州质检)已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C .2D .3 答案 B解析 ∵ω>0,-π3≤x ≤π4,∴-ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知-ωπ3≤-π2或ωπ4≥3π2, ∴ω≥32.∴ω的最小值为32. 14.已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6+1-a =0在区间⎣⎡⎦⎤0,2π3上存在两个根,则实数a 的取值范围是 .答案 [2,3)解析 sin ⎝⎛⎭⎫x +π6=a -12在⎣⎡⎦⎤0,2π3上存在两个根,设x +π6=t ,则t ∈⎣⎡⎦⎤π6,5π6, ∴y =sin t ,t ∈⎣⎡⎦⎤π6,5π6的图象与直线y =a -12有两个交点,∴12≤a -12<1,∴2≤a <3.15.已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x +π4=f (-x )恒成立,且f ⎝⎛⎭⎫π8=1,则实数b 的值为( )A .-1B .3C .-1或3D .-3答案 C 解析 由f ⎝⎛⎭⎫x +π4=f (-x )可知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 关于直线x =π8对称,又函数f (x )在对称轴处取得最值,故±2+b =1,∴b =-1或b =3.16.已知f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为2,且当x =13时,f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式;(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214,234上是否存在m ,使x =m 是函数f (x )的对称轴?如果存在,求出m ;如果不存在,请说明理由.解 (1)由已知得2πω=2,∴ω=π, ∵f (x )的最大值为2,∴A =2.又A =2,且f ⎝⎛⎭⎫13=2sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ=2, ∴π3+φ=2k π+π2(k ∈Z ), ∴φ=2k π+π6,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ=π6. ∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫πx +π6. (2)由πx +π6=k π+π2,得x =k +13(k ∈Z ), 即函数f (x )的对称轴为x =k +13(k ∈Z ). 由214≤k +13≤234, 得5912≤k ≤6512,又k ∈Z , ∴k =5,此时的对称轴为x =163, 故在闭区间⎣⎡⎦⎤214,234上存在实数m =163,使x =m 是函数f (x )的对称轴.。

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.5 解三角形

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§4.5 解三角形

§4.5解三角形考纲解读分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一正弦定理和余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;4.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案5.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A==.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=-.故sin=sin2Acos+cos2Asin=.6.(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.教师用书专用(7—21)7.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案A8.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A. B. C. D.答案C9.(2013湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A. B. C. D.答案D10.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为. 答案811.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案12.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案113.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案714.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案215.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为. 答案-16.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案217.(2013安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案π18.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2013山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sin B==,由正弦定理得sin A==.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=,=,求tanα的值.解析(1)因为a2+b2+ab=c2,由余弦定理有cos C=-=-=-,故C=.(2)由题意得--=,因此(tanαsin A-cos A)(tanαsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tanα(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=, tan2αsin Asin B-tanαsin(A+B)+cos Acos B=.①因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.由①得tan2α-5tanα+4=0,解得tanα=1或tanα=4.考点二正、余弦定理的应用1.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B. C.- D.-答案C2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.3.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin2B=sin Bcos B,因sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.4.(2016山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C=-=-=-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.教师用书专用(5—16)5.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C. D.3答案C6.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A7.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案1008.(2013福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案9.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=-=30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sin∠=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cosα=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sinβ=.因为0<β<,所以cosβ=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+-×=.=20.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=∠答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)10.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=-==.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos-=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos-.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求∠;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.==.由正弦定理可得∠∠(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.14.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理知,=,所以sin C=·sin A==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cos C===.因此sin2C=2sin C·cos C=2××=.15.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·-.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-==-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+-×=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B=-=-≥-=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=()A.2B.3C.3D.4答案B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π答案C3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.C.2D.4答案C4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则=.答案15.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD=.答案考点二正、余弦定理的应用6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为()A. B. C. D.答案B7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=()A.150mB.75mC.150mD.300m答案C8.(2016福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m答案D9.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.答案20或24B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为()A. B. C. D.答案D2.(2017湖北武昌一模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.3C.8D.6答案C3.(2016河南开封四模,9)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是()A.2B.C.D.4答案B二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC面积的最大值为.答案35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=--.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为.答案6.(2017山西四校第一次联考,15)已知△ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin2A,则△ABC的面积为.答案三、解答题(共10分)7.(2018湖北荆州一模,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.(1)若C=,△ABC的面积为,求c的值;(2)若B=,求2c-a的取值范围.解析(1)由三角形的面积公式,得absin C=.因为C=,b=,所以a=2.所以c=-=.(2)由正弦定理,得===2,故a=2sin A,c=2sin C.因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.于是2c-a=3sin C-cos C=2sin-.因为C∈,所以C-∈-,所以sin-∈-,故2c-a的取值范围为(-,2).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1解三角形的常见题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=()A. B.C. D.答案A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017河北石家庄二中3月模拟,16)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA=.答案2方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-=-,则这个三角形必含有()A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角答案B5.(2016河南郑州质检,5)在△ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案B6.(2017宁夏育才中学月考,14)在△ABC中,若-=-,则△ABC的形状一定是.答案等腰三角形或直角三角形方法3正、余弦定理的实际应用策略7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,AB间距84米,则塔高为()A.24米B.12米C.12米D.36米答案C8.(2017山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6km,AC=3km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为()A.3kmB.kmC.kmD.3km答案B9.(2016河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?解析(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=.在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC===.则船的航行速度为÷=2(千米/时).(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,sin∠CDA=sin(ACB-30°)=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30°=·-·=-.由正弦定理得∠=∠.∴AD=·∠∠=·-=.故此时船距岛A千米.。

人教B版必修第四册解三角形知识点归纳及章节对应习题(含答案)

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第九章 解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理1.正弦定理在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等.即C c B b A a sin sin sin == 推导:记ABC ∆的面积为S ,则A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===.由此可知aA bB cC abc S sin sin sin 2===,又因为0sin ,0sin ,0sin >>>C B A ,因此可得C c B b A a sin sin sin ==.2.正弦定理与三角形外接圆半径的关系在ABC ∆中,如图,已知c AB b AC a BC ===,,,作ABC ∆的外接圆,O 为圆心,半径为R ,连接BO 并延长交圆于点B ',连接B A ',则R B B 2='根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到B C B BA '∠=∠='∠,ο90,R c B C 2sin sin ='=∴ R Cc 2sin =∴ 同理,可得R Bb R A a 2sin 2sin ==, R Cc B b A a 2sin sin sin ===∴3.正弦定理的常见变形及挖掘隐含条件①边化为角:C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===,,(其中R 为ABC ∆外接圆的半径). 如:bc a =2⇒C B A sin sin sin 2=A b a sin 2=⇒AB A sin sin 2sin =a B c Cb =+cos cos ⇒A B C C B sin cos sin cos sin =+②角互为边:Rc C R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===,,(其中R 为ABC ∆外接圆的半径).如:C B A B A 222sin sin sin sin sin =-+⇒222c ab b a =-+C B A cos sin sin =⇒C b a cos =b ac a C A B ++=-2sin sin sin ⇒b a c a c a b ++=-2 ③边角互化:c b a C B A ::sin :sin :sin =(把角的正弦值的比转化为相应边的比). ④Cc B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++ ⑤在ABC ∆中,B A B A b a sin sin <⇔<⇔<C B A c b a sin sin sin >+⇔>+⑥在ABC ∆中,π=++C B A ,222C B A -=+π⇒C B A sin sin(=+), C B A cos )cos(-=+,C B A cos 2sin(=+), 2sin )2cos(C B A =+.⑦若ABC ∆为锐角三角形,则B A B A B A B A sin cos cos sin 2202<⇔>⇔<<-<⇔<+<ππππ⑧记ABC ∆的面积为S ,则A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===. ⑨在ABC ∆中,若B A sin sin =⇒B A =⇒ABC ∆为等腰三角形若B A 2sin 2sin =⇒2π=+=B A B A 或⇒ABC ∆为等腰三角形或直角三角形4.角平分线定理如图,在ABC ∆中,已知ABC ∠的角平分线AD 与边BC 相交于点D ,则ACAB DC BD =.推导:设βα=∠=∠BAD ADB ,,则由题意可知απ-=∠ADC ,β=∠CAD .在ABD ∆和ADC ∆中,分别应用正弦定理,可得αβsin sin AB BD =,ααπβsin )sin(sin AC AC DC =-=,两式相除可得ACAB DC BD =5.利用正弦定理判断解的情况或已知解的个数求边长的取值范围.已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角,通常用正弦定理理解这类问题,但可能会出现多解的情况.如已知两边b a ,及其中一边的对角A ,由Bb A a sin sin =求角B 时,可能有一解、两解或无解的情况,如何判断解的情况呢?其判断方法有两种:方法一:如下表,过C 作AB 的垂线,根据边a 与AB 边上的高的大小关系来判断解的个数. A 为直角 A 为钝角或直角图形关系式A b a sin =,或b a ≥ b a A b <<sin A b a sin < b a > b a ≤ 解的个数一解两解 无解 一解 无解方法二:由正弦定理aA bB B b A a sin sin sin sin =⇒=,若1sin >B ,则无解;若1sin =B ,则一个解;若1sin <B ,则由三角形“大边对大角”来确定角B 的范围.从而判断解的情况.。

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21两角和与差的正弦、余弦与正切公式
基础巩固
1.(2017山东,文4)已知cos x=,则cos 2x=()
A.-
B.
C.-
D.
2.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边落在第二象限,A(x,y)是其终边上一点,向量m=(3,4),若m⊥,则tan等于()
A.7
B.-
C.-7
D.
3.已知α∈,且cos α=-,则tan等于()
A.7
B.
C.-
D.-7
4.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x,下面结论中错误的是??()
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位得到
D.函数f(x)在区间上是增函数
5.若tan α=2tan,则=()
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知cos+sin α=,则sin的值为()
A. B. C.- D.-
7.若0<y≤x<,且tan x=3tan y,则x-y的最大值为??()
A. B. C. D.
8.函数f(x)=sin 2x sin-cos 2x cos上的单调递增区间为.
9.已知sin x=2cos x,则sin2x-2sin x cos x+3cos2x=.
10.(2017湖北武汉二月调考)在△ABC中,C=60°,tan+tan=1,则tan tan=.
11.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cos β的值.
能力提升
12.(2017河北邯郸二模)已知3sin 2θ=4tan θ,且θ≠kπ(k∈),则cos 2θ等于()
A.-
B.
C.-
D.
13.(θ∈R)的最小值为()
A. B. C. D.
14.函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.
15.(2017江西重点中学盟校二模)已知sin,θ∈,则cos的值为.
16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经过如下变换得到:先将g(x)图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
高考预测
17.(2017河南洛阳一模)设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos
56°),c=,则a,b,c的大小关系是()
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
参考答案
21两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D解析cos2x=2cos2x-1=2×-1=.
2.D解析因为m⊥,所以3x+4y=0,所以tanα==-,所以tan.
3.B解析因为α∈,且cosα=-,
所以sinα=-,所以tanα=.
所以tan.
4.C解析因为f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin-1,所以选项C错误,故选C.
5.C解析因为tanα=2tan,
所以
==3.
6.C解析∵cos+sinα=cosα+sinα=,
∴cosα+sinα=.
∴sin=-sin
=-=-.
7.B解析∵0<y≤x<,∴x-y∈.
又tan x=3tan y,
∴tan(x-y)=
==tan.
当且仅当3tan2y=1时取等号,∴x-y的最大值为,故选B.
8.解析f(x)=sin2x sin-cos2x cos
=sin2x sin+cos2x cos=cos.
当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈),
即kπ-≤x≤kπ+(k∈)时,函数f(x)单调递增.
取k=0,得-≤x≤,故函数f(x)在上的单调递增区间为.
9.解析:由sin x=2cos x,得tan x=2,
故sin2x-2sin x cos x+3cos2x=
=.
10.1-解析由C=60°,则A+B=120°,即=60°.根据tan,又tan+tan=1,得,解得tan tan=1-.
11.解(1)∵α,β∈,∴-<α-β<.
又tan(α-β)=-<0,∴-<α-β<0.
∴sin(α-β)=-.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=.
∵α为锐角,且sinα=,∴cosα=.
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=.
12.B解析∵3sin2θ=4tanθ,∴=4tanθ.
∵θ≠kπ(k∈),tanθ≠0,
∴=2,解得tan2θ=,
∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=.故选B.
13.A解析
=,当且仅当θ=(k∈)时,等号成立.
14.
2解析令f(x)=4··sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系中作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.
由图象知共有2个交点,故f(x)的零点个数为2.
15.-解析由θ∈得θ+,又sin,
所以cos=-.
cos=cos
=cos cos-sin sin
=-=-.
16.(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到
y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.
从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈).
(2)①解f(x)+g(x)=2sin x+cos x=
=sin(x+φ).
依题意,sin(x+φ)=在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-).
②证明因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
当1≤m<时,α+β+2φ=2×,
即α-β=π-2(β+φ);
当-<m<1时,α+β+2φ=2×,
即α-β=3π-2(β+φ).
所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)
=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.
17.D解析
a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=(sin56°-cos56°)=
sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,
c==cos239°-sin239°=cos78°=sin12°,∵
sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.。

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