函数不等式三角向量数列算法等大综合问题三轮复习考前保温专题练习(四)带答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．设定义域为为R
的函数()l g 1,1
0,
1
x x f x x ⎧-≠⎪=⎨
=⎪⎩，则关于x 的方程
()()20f x b f x c
++
=有7个不同的实数解得充要条件是（ ） (A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ≥且0c =(汇编上海理)
2．函数()cos f x x x =
-在[0,)+∞内 （ ）
（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点（汇编陕西理6）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．已知集合P =｛(x ,y )｜y =}k ,Q =｛(x ,y )｜y =a x
+}1,且P ∩Q =∅,那么k 的取
值范围是___________________ 4．若将函数()y f x =的图象按向量(
,1)6
a π
=平移后得到函数52sin()16
y x π
=-
+的图象，则函数()y f x =单调递增区间是
5． 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量
1
(sin ,sin ),(cos ,sin ),222
A B C A B +==⋅=a b a b ,则tan tan A B ⋅＝ ▲ ．
6．给出下列命题：
（1）在△ABC 中，“A ＜B ”是”sinA ＜sinB ”的充要条件；
（2）在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；
（3）在△ABC 中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=
3
π
,则△ABC 必为锐角三角形; ( 4 )将函数)3
2sin(π
+=x y 的图象向右平移
3
π
个单位，得到函数y=sin2x 的图象，
其中真命题的序号是 (1)(3) (写出所有正确命题的序号) 评卷人
得分
三、解答题
7．若函数()432f x x ax
bx cx d =++++． （1）当1a d ==-，0b c ==时，若函数()f x 的图象与x 轴所有交点的横坐标的和与积分别为m ，n ．
(i)求证：()f x 的图象与x 轴恰有两个交点； (ii)求证：23m n n =-．
（2）当a c =，1d =时，设函数()f x 有零点，求22a b +的最小值．
8．(cos ,(1)sin ),
(cos ,sin ),(0,0)2
a b π
αλαββλαβ=-=><<<
设是平面上的
两个向量，若向量a b +与a b -相互垂直。

（1）求实数λ的值； （2）若45a b ⋅=，且3
4
tan =β，求tan α的值．
9．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列
{}n b 满足4log n n b a =.
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当2n ≥时，试比较12n b b b ++
+与
()2
112
n -的大小，并说明理由； （3） 试判断：当*N n ∈时，向量a =(),n n a b 是否可能恰为直线:l 1
12
y x =+的方向向量？请说明你的理由. 10．
1．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)ααββ===-a b c (1）求向量+b c 的长度的最大值； (2）设α4
π
=
，且()⊥+a b c ，求cos β的值
11．已知向量a ＝（3sinα，cosα），b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈
（
ππ
2,2
3），且a ⊥b ． （1）、求tanα的值； （2）、求cos(3
2
π
α
+
)的值．(江苏省宿豫中学汇编年3月高考第二次模拟考试)
12．已知向量()1cos(2),1,(1,3sin(2))a x b a x ϕϕ=++=++（ϕ为常数且
2
2
π
π
ϕ-
<<
）,函数b a x f ⋅=)(在R 上的最大值为2.
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移
12
π
个单位，可得函数2sin 2y x =的图象，求函数()y f x =的解析式及其单调增区间.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C 2．B
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3．
4．7[
2,
2]()6
6
k k k Z π
π
ππ++∈ 5．
13
6． 评卷人
得分
三、解答题
7．（1）(i)因为()()3
224343f x x x x x =-=-，
所以34x =
是使()f x 取到最小值的唯一的值，且在区间3,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上，函数()f x 单
调递减；在区间3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上，函数()f x 单调递增．因为304f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()10f ->，()20f >，所以()f x 的图象与x 轴恰有两个交点． …4分
(ii)设
x 1，x 2
是方程
()0f x =的两个实根，则()f x 有因式
212()()x x x x x mx n --=-+，且可令()f x =22()()x mx n x px q -+++. 于是有
2243()()1x mx n x px q x x -+++=--. ①
分别比较（*）式中常数项和含x 3的项的系数，得1nq =-，1p m -=-， 解得1
q n
=-
，1p m =-． 所以4
3
1x x --=(
)2
2
1(1)x mx n x m x n
⎡⎤-++--⎢⎥⎣
⎦
．
分别比较①式中含x 和x 2的项的系数，得
()10m n m n +-=，………②，()1
10n m m n
-+--=，③ ②×m + ③×n 得320n n m -++=，即32
n n m -=．…………10分
（2）方程化为：2
2
1
0a x ax b x x +++
+=， 令1t x x
=+
,方程为2
20t at b ++-=，2t ≥，即有绝对值不小于2的实根．
设()220g t t at b =++-=()
2t ≥， 当22
a
-
<-，即4a >时，只需2480a b ∆=-+≥，此时，2216a b +≥； 当22
a
-
>，即4a <-时，只需2480a b ∆=-+≥，此时，2216a b +≥； 当222
a -≤-
≤，即44a -≤≤时，只需()2
2220a b --+-≤或22220a b ++-≤，即220a b -++≤或220a b ++≤，此时2
2
45
a b +≥
． 22a b +的最小值为
4
5
．…………………………………………………16分 8．（理）
解（1）由题设，得=-=+⋅-22||||)()(b a b a b a ααλ2
22sin sin )1(-- （3
分）
,0sin ,00sin )2(0sin sin )1(2
2222>≠∴<<=-=--∴λαπααλλααλ又即
02=-∴λ λ故的值为 2. ………………………
（7分）
（2）)sin ,(cos ),sin ,(cos ,ββαα==-+b a b a b a 垂直时与， )cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+=⋅b a
……………………（10
分）
02
,20,54)cos(<-<-<<<=
-∴βαπ
πβαβα则 4
3
)tan(-
=-βα24
7
tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =--+-=
+-=∴ββαββαββαα ………………（14分）
注：（理科20题续）又当1n =时，10b =，
()2
1102
n -=. 故综上，当1n =时，()2
123102
n
n b b b b -++++=
=；
当2n ≥时，()2
12312
n
n b b b b -++++>
.
（3）由题意，直线l 的方向向量为(2,1)d =，假设向量a =(),n n a b 恰为该直线的方向向量，则有 2n n b a =，
9．（文）解: (1) 由n n S a 31=+… (1) ， 得123++=n n S a … (2)，由 (2)-(1) 得
1123+++=-n n n a a a , 整理得
41
2
=++n n a a ，*N n ∈. 所以，数列2a ，3a ，4a ，…，n a ，…是以4为公比的等比数列. 其中,333112===a S a , 所以，2*
1,
1,34,2,N
n n n a n n -=⎧=⎨
⋅≥∈⎩. （2）由题意，*
40,1,
log 3(2),2,N n n b n n n =⎧
=⎨+-≥∈⎩. 当2n ≥时，
()()()1234440log 30log 31log 32n b b b b n +++
+=+++++++-
()()()41
1log 3212
n n n =-+
-- []41
2log 31(1)2
n n -=
-+- ()()2
4119log 1242n n n --⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦
所以，()2
12312
n
n b b b b -+++
+>
.
当1n =时，11a =，10b =，向量()1,0a =不符合条件； 当2n ≥时，由[]2
422log 3
(2)34n n n b a n -=⇒+-=⋅ 24log 93424n n -⇒=⋅-+，
而此时等式左边的4log 9不是一个整数，而等式右边的23424n n -⋅-+是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的*N n ∈，a =(),n n a b 不可能是直线l 的方向向量.
解法二：同解法一，由假设可得2n n b a =，
当2n ≥时，2*34N n n a -=⋅∈
由2n n b a =242log 4
n
a n n n a a a ⇒=⇒= …①，
不妨设*N n a m =∈，①即为()012
21339m
m m m C C C m +=+++
>
故等式不可能成立. 所以，对任意的*N n ∈，a =(),n n a b 不可能是直线l 的方向向量. 10．
11．（1）∵a ⊥b ，∴a·b ＝0．而a ＝（3sinα，cosα），b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a·b ＝6si n2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－4
3，或tanα＝1
2．6分
∵α∈（3π
2π
2，），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．…………7分 （2）∵α∈（3π
2π
2，），∴3ππ24α∈（，）．由tanα＝－43，求得
1tan 22α=-，tan
2α
＝2（舍去）．
∴
525
sin
cos 2
525α
α=
=-，，…………………………………………………………12分
cos(π23α
+
)＝ππ
cos cos sin sin
2323αα-＝251535252-⨯-⨯ ＝251510+-． (14)
分
12．（Ⅰ）()1c o s (2)3s i n (2)
2s i n (2
)1
6
f x x a x x a π
ϕϕϕ=+++++=++++…3分
因为函数()f x 在R 上的最大值为2，所以32a +=，即1a =-…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()2sin(2)6
f x x π
ϕ=++
把函数()2sin(2)
6
f x x π
ϕ=++
的图象向右平移12
π
个单位 可得函数2sin(2)2sin 2
y x x ϕ=+=………………………………8分 2,Z k k ϕπ∴=∈
又
02
2
π
π
ϕϕ-
<<
∴=
()2sin(2)6f x x π
∴=+…………………………10分
222,Z 2
6
2
3
6
k x k k x k k π
π
π
π
π
ππππ-
≤+
≤+
⇒-
≤≤+
∈
所以，()y f x =的单调增区间为[,],Z 36
k k k π
π
ππ-+∈…………………………12分。