2020年苏科版九年级下册6.2黄金分割巩固训练(有答案)

2020九下6.2黄金分割巩固训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1.据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金比时，人体感到最舒
适，这个室温约为(精确到1℃)()
A. 21℃
B. 22℃
C. 23℃
D. 24℃
2.如图①，AB=2，点C在线段AB上，且满足AC
AB =BC
AC
；如图②，以图①中的AC，
BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为()
A. 14−6√5
B. 4√5−8
C. 10√5−22
D. 10√5−20
3.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()
A. AB2=AP⋅PB
B. AP2=BP⋅AB
C. BP2=AP⋅AB
D. AP⋅AB=PB⋅AP
4.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10，那么AP的长是()
A. 5√5−5
B. 5−√5
C. 5√5−1
D. √5−1
2
5.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄
金分割”，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为
10cm，那么PB的长度约为()
A. 6.18
B. 3.82
C. 6.28
D. 4.82
6.如图，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为
边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、
S2大小关系为()
A. S1>S2
B. S1=S2
C. S1<S2
D. 不能确定
7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC
为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2
的大小关系为()
A. S1>S2
B. S1=S2
C. S1<S2
D. 不能确定
二、填空题
8.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的
比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金
比为0.6，则x应为________．
9.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC
的值等于______．
交AC于点D，则CD
AD
10.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，
且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．
11.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=
10.那么CD 的长度是______．
12. 如图，已知线段AB =2，作BD ⊥AB ，使BD =12AB ；连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于
点E ，以A 为圆心，
AE 长为半径画弧交AB 于点C ，则AC 长为______．
13. 点P 在线段AB 上，且BP AP =AP AB .设AB =4cm ，则BP =______cm ．
三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC AC ，那么称点C 为
线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将
一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S
2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．
(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；
(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．
15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：
点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与
较短的一段GN的比例中项，即满足MG
MN =GN
MG
=√5−1
2
，后人把√5−1
2
这个数称为“黄
金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．
16.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA
的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长．
(2)求证：AM2=AD·DM．
(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
答案和解析1.C
解：根据黄金比的值得：37×√5−1
2
≈23℃．
2.C
解：由AC
AB =BC
AC
得，
AC=√5−1
2AB=√5−1
2
×2=√5−1，
BC=3−√5
2AB=3−√5
2
×2=3−√5，
因为CBDE为正方形，所以EC=BC，
AE=AC−CE=AC−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，
矩形AEDF的面积：AE⋅DE=(2√5−4)×(3−√5)=10√5−22．3.B
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP·AB．
4.A
解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=√5−1
2
AB=5√5−5．
5.B
解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP=√5−1
2AB=√5−1
2
×10≈6.18，
∴PB=AB−PA=10−6.18=3.82(cm)．
6.B
解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
∴PA2=PB⋅AB，
又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，
∴S1=S2．
7.B
解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2=AC⋅AB，
又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2，S2=AC⋅AB，
∴S1=S2．
8.135
解：根据题意得，x=0.6y，
∴y=5
3
x
而x+y=360°，
∴x+5
3
x=360°，
∴x=135°．
9.√5−1
2
解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为√5−1
2
，
∴CD
AD =CD
BC
=BC
AC
=√5−1
2
；
10.(15−5√5)
解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，
∴PB=√5−1
2AB=√5−1
2
×10=5√5−5(米)，
∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，11.10√5−20
解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD=BC=√5−1
2AB=√5−1
2
×10=5√5−5，
∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，12.√5−1
解：：∵AB=2，则BD=DE=1
2
×2=1，
由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，
则AC=AE=√5−1，
∴AC=√5−1
2
AB=√5−1，
13.6−2√5
解：∵BP
AP =AP
AB
.．
∴P点为AB的黄金分割点，
∴AP=√5−1
2AB=√5−1
2
×4=2√5−2，
∴BP=4−(2√5−2)=(6−2√5)cm．
14.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，
∴BC=DC=AD．
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC
AB =BD
BC
．
∴AD
AB =BD
AD
．
∴D是AB边上的黄金分割点；
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC=1
2AD⋅ℎ，S△DBC=1
2
DB⋅ℎ，S△ABC=1
2
AB⋅ℎ，
∴S△ADC
S△ABC =AD
AB
，
S△DBC
S△ADC
=BD
AD
．
∵D是AB的黄金分割点，
∴AD
AB =BD
AD
，
∴S△ADC
S△ABC =S△DBC
S△ADC
．
∴CD是△ABC的黄金分割线．
15.解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，
∴DC
BC =BD
DC
=√5−1
2
，BE
BC
=CE
BE
=√5−1
2
，
∴DC
BC =BD
DC
=BE
BC
=CE
BE
，
∴DC=BE，
∴BD=CE，
作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=1
2
BC=2，
∴DH=HE，
在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE=√5−1
2
BC=2(√5−1)=2√5−2，
∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，
∴DE=2HE=4√5−8
∴S△ADE=1
2
×(4√5−8)×√5=10−4√5．
16.(1)解：在Rt△APD中，PA=1
2
AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，
∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，
DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5;
(2)证明：∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，
AD⋅DM=2(3−√5)=6−2√5，
∴AM2=AD⋅DM;
(3)点M是AD的黄金分割点.理由如下：
∵AM2=AD⋅DM，
∴AM
AD =DM
AM
=√5−1
2
，
∴点M是AD的黄金分割点．
第11页，共11页。