人教版全等三角形角平分线辅助测试提优卷试题

人教版全等三角形角平分线辅助测试提优卷试题
一、全等三角形角平分线辅助
1．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．
（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；
（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．
2．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．
（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=900，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F
（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．
①AE=EF 是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，求此时点F 的坐标．
4．阅读理解
如图1，ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC ∠是ABC 的好角．
情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；
情形二：如图3，沿ABC 的BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合．
探究发现
（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，问BAC ∠ ABC 的好角（填写“是”
或“不是”）；
（2）若经过三次折叠发现BAC ∠是ABC 的好角，请探究B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系 ；
根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系为 ；
应用提升：
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒，60︒，105︒，发现 是此三角形的好角；
（4）如果一个三角形的最小角是10︒，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角； 则此三角形另外两个角的度数 ．
5．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．
（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，
①当∠ABO ＝60°时，求∠AEB 的度数；
②点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB 的大小；
（2）如图2，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．
6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．
7．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．
（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．
8．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.
9．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证：()12
DE AB AC =-.
10．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、全等三角形角平分线辅助
1．（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD
【分析】
（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=2=OE ，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分
∠ADC ；
（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC ，故AD=PA+PD=OC+CD ．
【详解】
（1）如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，
∴∠AOE=∠BDE ，
又∵∠AEO=∠BED ，
∴∠OAE=∠OBC ，
∵A （-5，0），B （0，5），
∴OA=OB=5，
∴△AOE ≌△BOC ，
∴OE=OC ，
又∵点C 的坐标为（3，0），
∴OC=3=OE ，
∴点E 的坐标为（0，3）；
（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，
∵△AOE ≌△BOC ，
∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，
∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，
∴OM=ON ，
∴OD 平分∠ADC ；
（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，
∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°
∴∠PAO+∠OCD=90°，
∴∠DAC=
903︒=30°，∠DCA=2903
⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，
∴△OPD ≌△OCD ，
∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，
∴∠POA=∠PAO=30°
∴PA=PO=OC
∴AD=PA+PD=OC+CD
即：AD=OC+CD ．
【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
2．（1）214
t ；（2）t =3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，
t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，t =4（见解析），当
EGQ HBF ≅时，t =
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得12
AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122
AH AB ==，然后与（1）所求的
AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =，
点Q 为AP 的中点，
12
AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，
AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
2222
AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为
21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
122
AH BH AB ∴===， 由（1）知，22AH t =
， 则222
t =， 解得22t =；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH
HB =，
四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，
HAQ BHM ∴∠=∠，
在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
()AHQ HBM ASA ∴≅，
由（2）可知，此时22t =；
②如图3，当点Q 与点E 重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ADE AHE AAS ∴≅，
3AD AH ∴==，
则232
t =， 解得32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42AH t AB ==， 242HB AB AH t ∴=-=-
， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，
Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=
=， 则由EG HB =得：
262422t t -=-， 解得722
t =；
综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722
t =
【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图
形是解题关键．
3．（1）△AGE 与△ECF （2）①成立②()2?21-， 【分析】
（1）取AB 的中点G ，连接EG ，利用ASA 能得到△AGE 与△ECF 全等．
（2）①在AB 上截取AG=EC ，由ASA 证得△AGE ≌△ECF 即可证得AE=EF ．
②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，根据FH=BE=CH 设BH=a ，则FH=a －1，然后表示出点F 的坐
标，根据点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上得到有关a 的方程求得a 值即可求得点F 的坐标．
【详解】
解：（1）如图，取AB 的中点G ，连接EG ，则△AGE 与△ECF 全等．
（2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．证明如下：如图，
在AB 上截取AG=EC ，
∵AB=BC ，
∴BG=BE ．
∴△GBE 是等腰直角三角形．
∴∠AGE=180°－45°=135°．
又∵CF 平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF ．
又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF ．
∴△AGE ≌△ECF （ASA ）．
∴AE=EF ．
②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，
由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a －1．
∴点F 的坐标为F （a ，a －1）．
∵点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，
∴2a 1a a 1-=-++．
∴a
2=2．∴a =
（负值不合题意，舍去）． ∴
a 11-=．∴点F 的坐标为1)．
4．（1）是；（2）3∠=∠B C ；∠=∠B n C ；（3）60︒和105︒；（4）另外两个角的度数分别为160︒和10︒
【分析】
（1）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，且1111AA B C A B C ∠=∠+∠，沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，可得11A
B C C ∠=∠，即可证2B C ∠=∠.
（2）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，由将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，得11122A B C A A B ∠=∠，最后沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合，得22C A B C ∠=∠，由11B A B C C ∠=∠+∠，可证3∠=∠B C ；由小丽展示的情形一当B C ∠=∠时；由探究（1）当2B C ∠=∠时；由探究（2）当3∠=∠B C 时，它们的BAC ∠均是ABC 的好角；可推经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C .
（3）由（2）得∠=∠B n C ，可计算60,105︒︒是ABC 的好角.
（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，已知中一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数），依题意列式101010180m mn ++=，可求解得.
【详解】
（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是ABC 的好角； 理由如下：沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，
11B AA B ∴∠=∠；
将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，
11A B C C ∴∠=∠；
1111AA B C A B C ∠=∠+∠；
2B C ∴∠=∠，
故答案是：是；
（2）在ABC 中,沿BAC ∠的平分线1AB 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合,则BAC ∠是ABC 的好角.
证明：11B AA B ∠=∠，22,C A B C ∠=∠，
122222A A B C A B C C ∴∠=∠+∠=∠，11B A B C C ∠=∠+∠
11122A B C A A B ∠=∠，
2C B C ∠∴=+∠∠，
3B C ∴∠=∠，
由小丽展示的情形一知，当B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；
由探究（1）知，当2B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；
由探究（2）知，当3∠=∠B C 时，BAC ∠是ABC 的好角；
故若经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C . 故答案为：3;B C B n C ∠=∠∠=∠.
（3）由（2）知，∠=∠B n C ，
60415︒=⨯︒，
105715︒=⨯︒，
60,105∴︒︒是ABC 的好角.
故答案为：60,105︒︒.
（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数）.
依题意得101010180m mn ++=，
化简得(1)17m n +=，
,m n 都是正整数，
∴,1m n +都是17的整数因子，
∴1m =，117n +=，
∴1m =，16n =，
∴1010m ︒=︒，10160mn ︒=︒，
即该三角形的另外两个角是：10︒和160︒.
故答案为：10,160︒︒.
【点睛】
本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.
5．（1）①135°②∠AEB 的大小不会发生变化，∠AEB ＝135°，详见解析（2）∠ABO ＝60°或45°
【分析】
（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；
②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..
【详解】
（1）如图1，①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝1
2∠ABO＝30°，∠BAE＝1
2
∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣1
2
∠ABO﹣1
2
∠BAO
＝180°﹣1
2
（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣
1
2
×90°＝135°．
（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝1
2
（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝1
3
∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝1
2∠BAO＝1
2
（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO ＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.
6．见解析
【分析】
在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．
【详解】
证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠EBD 12
=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，
BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）
∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．
又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12
=
⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．
∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE ＝∠DEC ．
∴CD ＝CE ．
∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 7．（1）详见解析；（2）8cm.
【解析】
【分析】
（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．
∵DE 平分∠ADC ．
∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．
∵E 是BC 的中点，
∴CE=BE ，
∴BE=EF ．
在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，
EB=EF AE=AE
⎧⎨⎩ ， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），
∴∠EAB=∠EAF ，
∴AE 是∠DAB 的平分线；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB ∥CD ，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，
60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，
∵∠C=90°
∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，
248AD DE CD cm ∴===.
故答案为（1）详见解析；（2）8cm.
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF=AO，∠AFO=∠AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证△AGO≌△OFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可．
【详解】
(1)连接DF，
∵OE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEO=90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠EAF=∠OAE，
又∵AF=AF，
∴△EAF≌△OAF(ASA)，
∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，
∵AD⊥OF，
∴EF=EO，
∴DF=DO，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠AFO=∠AOF，
∴∠AFD=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，
∴BF=DF，
∴OD=BF；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAG=22.5°，
∵OD=DF，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，
∴∠FOB=22.5°=∠OAG，
∴△AGO≌△OFB(SAS)，
∴GO=BF=OD，
∵OE⊥AD，
∴DE=GE，
∴AD-OF=DG=2DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9．见解析.
【解析】
【分析】
延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线定理进行证明即可.
【详解】
如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=1
BF，
2
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=1
(AB-AC)．
2
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE 是三角形的中位线是解题的关键．
10．50°
【解析】
【分析】
根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．
【详解】
延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，
设∠PCD=x°，
∵CP 平分∠ACD ，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，
∵BP 平分∠ABC ，
∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，
∴PF=PM ，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，
PA PA PM PF
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA(HL)，
∴∠CAP=∠FAP ，
又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF ，
∴∠CAP =50°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．。