高三物理一轮复习 第5章 机械能 第3讲 机械能守恒律及其用知能提升演练

峙对市爱惜阳光实验学校机械能守恒律及其用
[随堂反应]
1．运动会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪体育比赛工程都是把物体斜向上抛出的运动，如下图，假设不计空气阻力，这些物体从被抛出到落地的过程中( )
A．物体的机械能先减小后增大
B．物体的机械能先增大后减小
C．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大
D．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小
解析：不计空气阻力，这些物体被抛出后只有重力做功，故机械能均守恒，A、B错误；因物体均被斜向上抛出，在整个过程中重力先做负功再做正功，因此重力势能先增大后减小，而动能先减小后增大，D正确，C错误．
答案：D
2．(2021·高考卷)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，那么落在同一水平地面时的速度大小( ) A．一样大 B.水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
解析：不计空气阻力，小球在空中只受重力作用，机械能守恒．抛出时高度、速度大小相，落地时速度大小一相．
答案：A
3.(多项选择)(2021·高考卷Ⅱ)如下图，滑块a、b的质量均为m，a套在固竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.那么( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为2gh
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
解析：设某一时刻a、b速度分别为v a、v b，刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，那么v a cos θ＝v b sin θ.当a落到地面时，θ＝90°，cos θ＝0，故v b为0，可知a下落过程中b先加速后减速，轻杆对b先做正功后做负功，A错误．轻杆对a的力先为支持力后为拉力，故a的加速度先小于g后大于g，C错误．由于a、b系统只有重力和系统内杆的弹力做功，故a、b机械能守恒，a落地时b 速度为零，由机械能守恒律得mgh＝
1
2
mv2a，得v a＝2gh，B正确．当a机械能最小时，b的机械能最大，即动能最大，此时F杆＝0，故F N＝mg，D正确．
答案：BD
4.(多项选择)(2021·州二中检测)如下图，M 为固在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd 是半径为R 的3
4光滑圆弧形轨道，a 为轨道的最高点，de 面水平
且有一长度．今将质量为m 的小球在d 点的正上方高为h 处由静止释放，让其
自由下落到d 处切入轨道内运动，不计空气阻力，那么( )
A ．只要h 大于R ，释放后小球就能通过a 点
B ．只要改变h 的大小，就能使小球通过a 点后，既可能落回轨道内，又可能落
到de 面上
C ．无论怎样改变h 的大小，都不可能使小球通过a 点后落回轨道内
D ．调节h 的大小，可以使小球飞出de 面之外(即e 的右侧)
解析：要使小球到达最高点a ，那么在最高点时有mg ＝m v 2
R
，得通过最高点的最
小速度v ＝gR ，由机械能守恒律得mg (h －R )＝12mv 2，得h ＝32R ，即h ≥3
2R 时，
小球才能通过a 点，A 错误．假设小球能到达a 点，并从a 点以最小速度平抛，
有R ＝12gt 2
，x ＝vt ＝2R ，所以，无论怎样改变h 的大小，都不可能使小球通
过a 点后落回轨道内，B 错误，C 正确．如果h 足够大，可使小球的平抛速度足够大，小球可能会飞出de 面之外，D 正确．
答案：CD
5．如下图，ABC 和DEF 是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC 的末端水平，DEF 是半径为r ＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF 沿竖直方向，C 、D 可看作重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC 上距C 点高为H 的地方由静止释放．(g 取10 m/s 2
)
(1)假设要使小球经C 处水平进入轨道DEF 且能沿轨道运动，H 至少多高？
(2)假设小球静止释放处离C 点的高度h 小于(1)中H 的最小值，小球可击中与
圆心高的E 点，求h .
解析：(1)小球沿ABC 轨道下滑，机械能守恒，设到达C 点时的速度大小为v ，
那么
mgH ＝12
mv 2
①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg ≤mv 2
r
②
①②两式联立并代入数据得H ≥0.2 m.
(2)假设h <H ，小球过C 点后做平抛运动，设球经C 点时的速度大小为v x ，那么
击中E 点时，
竖直方向上有r ＝12gt 2
③
水平方向上有r ＝v x t ④
又由机械能守恒律有mgh ＝12mv 2
x ⑤
由③④⑤联立可解得h ＝r
4＝0.1 m.
答案：(1)0.2 m (2)0.1 m [课时作业] 一、单项选择题
1.(2021·高考卷)如下图，固的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，那么在圆环下滑到最大距离的过程中( ) A ．圆环的机械能守恒
B ．弹簧弹性势能变化了3mgL
C ．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D ．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：在圆环下滑过程中拉伸弹簧，圆环的机械能转化为弹簧的弹性势能，圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，A 错误．由于系统机械能守恒，在圆环运动到最低点时圆环减小的重力势能转化成弹簧的弹性势能，E p ＝3mgL ，B 正确．圆环刚开始运动时合力向下，加速下滑，当合力为零时速度最大，在最低点速度
减小到零，合力方向向上，C 错误．下滑过程中，圆环先加速后减速，动能一直改变，因此圆环重力势能与弹簧弹性势能之和也改变，D 错误．
答案：B
2．(2021·高考课标卷Ⅱ)取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( ) A.π
6 B.π4
C.π3
D.5π12
解析：由题意可知，mgh ＝12mv 20，又由动能理得 mgh ＝12mv 2－12
mv 2
0，根据平抛运
动可知v 0是v 的水平分速度，那么cos α＝v 0v ＝2
2
，其中α为物块落地时速
度方向与水平方向的夹角，解得α＝45°，B 正确． 答案：B
3.(2021·高考课标卷Ⅱ)如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A ．Mg －5mg B.Mg ＋mg C ．Mg ＋5mg
D.Mg ＋10mg
解析：以小环为研究对象，设大环半径为R ，根据机械能守恒律，得mg ·2R ＝
1
2
mv 2，在大环最低点有F N －mg ＝m v
2R
，得F N ＝5mg ，此时再以大环为研究对象，受
力分析如图，由牛顿第三律知，小环对大环的压力F N ′＝F N ，方向竖直向下，故F ＝Mg ＋5mg ，由牛顿第三律知C 正确． 答案：C
4.如图，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰好与圆柱轴心高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( ) A ．2R B.5R 3
C.4R 3
D.2R 3
解析：以A 、B 为系统，以地面为零势能面，设A 质量为2m ，B 质量为m ，根据机械能守恒律有2mgR ＝mgR ＋12×3mv 2
，A 落地后B 将以v 做竖直上抛运动，即
有12mv 2＝mgh ，解得h ＝13R ，那么B 上升的高度为R ＋13R ＝4
3
R ，应选项C 正确． 答案：C
5.如下图，粗细均匀、两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相时，右侧液面下降的速度为( )
A.
1
8gh B.
16gh C.
1
4
gh D.
12
gh 解析：当两液面高度相时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据机械能守恒律有18mg ·12h ＝12mv 2
，解得v ＝
1
8
gh . 答案：A
6.(2021·高考卷)如下图，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，
MN 是通过椭圆中心O 点的水平线．一小球从M 点出发，初速率为v 0，沿管道MPN
运动，到N 点的速率为v 1，所需时间为t 1；假设该小球仍由M 点以初速率v 0出发，而沿管道MQN 运动，到N 点的速率为v 2，所需时间为t 2，那么( ) A ．v 1＝v 2，t 1>t 2 B.v 1<v 2，t 1>t 2 C ．v 1＝v 2，t 1<t 2
D.v 1<v 2，t 1<t 2
解析：此题考查机械能守恒律、类比法与v －t 图象方法解题，考查“化曲为直〞的思维能力．首先根据机械能守恒律得到v 1＝v 2＝v 0，小球沿着MPN 轨道运动时，
先减速后加速，小球沿着MQN 轨道运动时，先加速后减速，总路程相，将小球的曲线运动类比为直线运动，画出v －t 图象如图，可得t 1>t 2，选项A 正确． 答案：A
7.如下图，一根跨过光滑滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)．a 站在地面上，b 从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态．当演员b 摆至最低点时，a 刚好对地面无压力，那么演员a 的质量与演员b 的质量之比为( ) A ．1∶1 B.2∶1 C ．3∶1
D.4∶1
解析：设b 摆至最低点时的速度为v ，b 侧所拉绳子长度为l ，由机械能守恒律可得m b gl (1－cos 60°)＝12
m b v 2
，解得v ＝gl .设b 摆至最低点时绳子的拉力为
F T ，由牛顿第二律得F T －m b g ＝m b v 2
l ，解得F T ＝2m b g ，对演员a 有F T ＝m a g ，所以
m a ∶m b ＝2∶1，B 正确．
答案：B
8．由光滑细管组成的轨道如下图，其中AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固在竖直平面内．一质量为m 的小球，从距离水平地面高为H 的管口
D 处由静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上．以下说法正确的选项
是( )
A ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为2RH －2R 2
B ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为22RH －4R 2
C ．小球能从细管A 端水平抛出的条件是H ＝2R
D ．小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min ＝5
2
R
解析：要使小球从A 点水平抛出，那么小球到达A 点时的速度v >0，根据机械能守恒律，有mgH －mg ·2R ＝12mv 2
，所以H >2R ，应选项C 、D 错误；小球从A 点
水平抛出时的速度v ＝2gH －4gR ，小球离开A 点后做平抛运动，那么有2R ＝
1
2
gt 2，水平位移x ＝vt ，联立以上各式可得水平位移x ＝22RH －4R 2，选项A 错
误，选项B 正确． 答案：B
二、多项选择题
9．图弹丸以一的初始速度在光滑碗内做复杂的曲线运动，图乙中的运发动在蹦床上越跳越高．以下说法中正确的选项是( ) A ．图甲弹丸在上升的过程中，机械能逐渐增大 B ．图甲弹丸在上升的过程中，机械能保持不变 C ．图乙中的运发动屡次跳跃后，机械能增大 D ．图乙中的运发动屡次跳跃后，机械能不变
解析：弹丸在光滑的碗内上升的过程中，只有重力做功，其机械能保持不变，A 错误，B 正确；运发动在蹦床上越跳越高，其机械能逐渐增大，C 正确，D 错误． 答案：BC
三、非选择题
10．如下图，一内壁光滑的细管弯成半径为R ＝0.4 m 的半圆形轨道CD ，其竖直放置，内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C 点连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 处为弹簧的自然状态．将一个质量为m ＝0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力向左侧推小球而压缩弹簧至A 处，然后将小球由静止释放，小球运动到C 处后对轨道的压力为F 1＝58 N ．水平轨道以B 处为界，左侧AB 段长为x ＝0.3 m ，与小球的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑．g 取10 m/s 2
，求： (1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能．
(2)小球运动到轨道最高处D 点时对轨道的压力大小． 解析：(1)小球运动到C 处时，
由牛顿第二律得F 1′－mg ＝m v
21
R
得v 1＝F 1′－mg R
m
又F 1′＝F 1
代入数据解得v 1＝5 m/s 根据动能理得E p －μmgx ＝12mv 2
1
代入解得E p ＝1 J
(2)小球从C 到D 过程，由机械能守恒律得
12mv 21＝2mgR ＋12mv 2
2 代入数据解得v 2＝
3 m/s 由于v 2＞gR ＝2 m/s
所以小球在D 处对轨道外壁有压力，由牛顿第二律得
F 2＋mg ＝m v 22R
代入数据解得F 2＝10 N
根据牛顿第三律得，小球对轨道的压力为10 N. 答案：(1)1 J (2)10 N
11.(2021·高考卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab 和抛物线bc 组成，圆弧半径Oa 水平，b 点为抛物线顶点．h ＝2 m ，s ＝ 2 m ．重力加速度大小g 取10 m/s 2
.
(1)一小环套在轨道上从a 点由静止滑下，当其在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)假设环从b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c 点时速度的水平分量的大小．
解析：(1)设环到b 点时速度为v b ，圆弧轨道半径为r ，小环从a 到b 由机械能
守恒有
mgr ＝12
mv 2
b ①
环与bc 段轨道间无相互作用力，从b 到c 环做平抛运动，有 h ＝12
gt 2
②
s ＝v b t ③
联立可得
r ＝s 2
4h
④
代入数据得
r ＝0.25 m
(2)环从b 点由静止下滑至c 点过程中机械能守恒，设到c 点时速度为v c ，那么 mgh ＝12
mv 2
c ⑤
在bc 段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同
设环在c 点时速度与水平方向间的夹角为θ，那么环做平抛运动时
tan θ＝v y
v b ⑥
v y ＝gt ⑦
联立①②⑥⑦式可得
tan θ＝22⑧
那么环从b 点由静止开始滑到c 点时速度的水平分量v cx 为
v cx ＝v c cos θ⑨
联立⑤⑧⑨三式可得 v cx ＝2
3
10 m/s
答案：(1)0.25 m (2)210
3
m/s
12．如下图，物体A 、B 用绕过光滑滑轮的细线连接，离滑轮足够远的物体A 置于光滑的平台上，物体C 有小孔，C 放在物体B 上，细线穿过C 的小孔．“U〞形物D 固在地板上，物体B 可以穿过D 的开口进入其内部而物体C 又恰好能被挡住．物体A 、B 、C 的质量分别为m A ＝8 kg 、m B ＝10 kg 、m C ＝2 kg ，物体B 、C 一起从静止开始下降H 1＝3 m 后，C 与D 发生没有能量损失的碰撞，B 继续下降
H 2＝1.17 m 后也与D 发生没有能量损失的碰撞．g 取10 m/s 2，求：
(1)物体C 与D 碰撞时的速度大小．
(2)物体B 与D 碰撞时的速度大小．
(3)B 、C 两物体分开后经过多长时间第一次发生碰撞．
解析：(1)由于平台是光滑的，物体A 、B 、C 整体在运动过程中机械能守恒，那么有
(m B ＋m C )gH 1＝12(m A ＋m B ＋m C )v 2
C
代入数据得v C ＝6 m/s
(2)物体C 与D 碰撞后，物体A 、B 继续运动，满足机械能守恒，那么有 m B gH 2＝12(m A ＋m B )(v 2B －v 2
C )
代入数据得v B ＝7 m/s
(3)物体C 与D 碰撞后，物体B 在继续下落过程中的加速度为
a ＝m B g m A ＋m B ＝509
m/s 2
下落所用时间t ′＝v B －v C
a
＝0.18 s
B 、
C 与
D 碰撞后无机械能损失，都以原速率反弹，做竖直上抛运动，取竖直向
上为正方向，设C 反弹后经过时间t 后B 、C 两物体相碰，那么有 h C ＝v C t －12
gt 2
h B ＝v B (t －t ′)－1
2
g (t －t ′)2
h B ＝h C ＋H 2
联立解得t ＝0.93 s
答案：(1)6 m/s (2)7 m/s (3)0.93 s。