高考数学数列多选题单元测试及答案

高考数学数列多选题单元测试及答案
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且20202
1
11
1212a a ++≤+（ ）
A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥
B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤
C ．若数列{}a 为等比数列，则20200T >
D ．若数列{}a 为等比数列，则20200a <
【分析】
由不等关系式，构造11
()212
x
f x =
-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项
和或积的符号即可. 【详解】 由
202021111212a a ++≤+，得20202
1111
0212212
a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121
()212212
x
x x f x --=-=-++， ∴12()()102121
x
x x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，
∴220200a a +≥，
当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且
2202020212021()
02
a a S +=
≥，故A 正确，B 错误；
当{}n a 为等比数列，2018
20202a a q
=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200
a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.
3．在n n n A B C （1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的
面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且2221
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值
【答案】ABD 【分析】
先结合已知条件得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系12
21875
=
644
n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和
【详解】 由2221
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=得，222222
1
1
2244
n n n n n n a c a b b
c
+++++=+
()22
21122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，222
25=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角
三角形，A 正确；
n n n A B C 的面积为1
2
n n n S b c =，而
()
422222
222222
1124224416
n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=
， 故()
422222
2222211
1
241875161875==16
166
41n n n n n n n n n n n a b c a b b
S S c c S +++++++==
+，
故22
21
22
18751875==6446434
n n n n n S S S
S S +-+--
， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤
（当且仅当==
2n n b c 时等号成立） 2
21
2
1875=06344
n n n S S
S +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即
212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故
BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ACD
由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n
n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()11
12+3n a n d
=-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以
1
n
a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确； 由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确；
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列
B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
【答案】BC 【分析】
对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得
11
2n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12
的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】
由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22
p
a =，则2112a a =，
当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即11
2
n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；
当1p =时，441111521812S ⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=-，故B 正确； 当12p =时，12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则12m n
m n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；
当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭，而56451112
+22128
a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.
6．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列
{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+
B ．n +∀∈N ，
3331
4n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，1
13
n S ≤<
【答案】BD 【分析】
用累加法得到22
2
n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，
代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33
n a n
+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】
因为1n n n a a +-=，所以
211a a -= 322a a -=
11(2)n n n a a n -=-≥-
以上各式累加得
1121(1)2
n a a n n n =++
+-=
--，所以(1)
12n n n a -=
+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2
122
n n n n a n --+=+=
，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)122
2(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫=
===- ⎪
+++++⎝-+⎭+，
对于A ，()()5
254922
12
2
m a m m m m ++++++=
=，25(1)5(51)24
11222
m a a m m m m -⨯--+=+++=
+ ， 当5
5m m a a a +=+时，222492222
m m m m -+++=
，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B
，(1)
1(133
33343411)2222
2n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8
3331
84
a +=， 所以B 正确；
对于C，令
11
216
12
m
b
m m
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
得，2
15
30
8
m m
++=
，解得
m
+
=N
，所以C错误；
对于D，n+
∀∈N，
123
111111
2
233412
n
S b b b
n n
⎛⎫
=+++=-+-++-
⎪
++
⎝⎭
112
211
222
n n
⎛⎫
=-=-<
⎪
++
⎝⎭
，可以看出n S是关于n递增的，所以1
n=时有最小值
1
3
，所以
1
1
3n
S
≤<，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a，然后代入求出n b，考查了学生的推理能力、计算能力.
7．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）
A．若数列{}n a的前n项和2
2
n
S n
=，则数列{}n a为等差数列
B．若数列{}n a的前n项和1
22
n
n
S+
=-，则数列{}
n
a为等比数列
C．若等比数列{}n a是递增数列，则{}n a的公比1
q>
D．数列{}n a是等比数列，n S为前n项和，则n S，2n n
S S
-，
32
n n
S S
-，仍为等比数列
【答案】AB
【分析】
对于A，求出42
n
a n
=-，所以数列{}
n
a为等差数列，故选项A正确；对于B，求出
2n
n
a=，则数列{}
n
a为等比数列，故选项B正确；对于选项C，有可能
1
0,01
a q
<<<，不一定1
q>，所以选项C错误；对于D，比如公比1
q=-，n为偶数，n S，2n n
S S
-，
32
n n
S S
-，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D不正确．
【详解】
对于A，若数列{}n a的前n项和2
2
n
S n
=，所以2
1
2(1)(2)
n
S n n
-
=-≥，所以
1
42(2)
n n n
a S S n n
-
=-=-≥，适合
1
2
a=，所以数列{}
n
a为等差数列，故选项A正确；
对于B，若数列{}n a的前n项和1
22
n
n
S+
=-，所以
1
22(2)
n
n
S n
-
=-≥，所以
1
2(2)
n
n n n
a S S n
-
=-=≥，又
1
422
a=-=，
221
8224
a S S
=-=--=，
21
2
a a
=
则数列{}
a为等比数列，故选项B正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】 ∵142332,
12,a a a a =⎧⎨
+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨
=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列， ∴234,
8
a a =⎧⎨
=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
9．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)
2
n n n a +=
B ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前2020项的和为2020
2021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项的和为4040
2021
D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】
用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的和即可得． 【详解】
因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，
121321(1)
()()()1232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
， 11a =也适合此式，所以(1)
2
n n n a +=
， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前2020项和为2020111
114040
21223202020212021
S ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】
本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2
n S n = B ．
122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法
求和，得到1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确；
而1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值； （3）利用裂项相消法，对
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和；
（4）对选项逐个判断正误，得到结果.。