人教版高二数学学案选修2-2练习1.6微积分基本定理

§1.6 微积分基本定理
一、基础过关
1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是
( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；
②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；
③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n
s ′(ξi )；
④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .
A ．①
B ．①②
C ．①②④
D ．①②③④
2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是
( ) A ．F (x )＝13x 3
B ．F (x )＝x 3
C ．F (x )＝13x 3＋1
D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)
3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于
( ) A ．1 B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
4． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为
( ) A.32 B.43
C.23 D ．－23
5． ʃπ20sin 2x 2d x 等于
( ) A.π4 B.π2－1
C ．2 D.π－24
6．ʃ1－1|x |d x 等于
( )
A ．ʃ1－1x d x
B ．ʃ1－1(－x )d x
C ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d x
D ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x
二、能力提升
7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.
8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0
的值为________． 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176
，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：
(1)ʃ21(e x ＋1x
)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；
(4)ʃ211x (x ＋1)
d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，
2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．
12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．
三、探究与拓展
13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .
答案
1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C
7．1 8.33
9．f (x )＝4x ＋3
10．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x
， ∴ʃ21(e x ＋1x
)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32
)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32
)|91 ＝1723
. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，
∴ʃ200(－0.05e
－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.
(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1
，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1
， ∴ʃ211x (x ＋1)
d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：
ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x
＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x
＝x 44|10＋23x 32|21＋2x
ln 2|32
＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2
＝－512＋432＋4ln 2
.
12．解 ∵(23ax 3－12
a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x
＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12
a 2， 即f (a )＝23a －12
a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29
＝－12(a －23)2＋29
， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29
. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，
原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72
. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，
原式＝ʃ－
a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22
＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92
) ＝a 2－a ＋252
. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，
原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x
＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)
－7a ＋72 (a ≤－3).。