【K12】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律示范教案新人教B版必修4

2.3.2 向量数量积的运算律
示范教案
整体设计
教学分析
上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算．学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框．学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律．
认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础．三维目标
1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和．
2．通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题．
3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．重点难点
教学重点：向量数量积的运算律．
教学难点：向量数量积运算律的灵活运用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接引入)从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更有意义．现在我们探索一下，看看它会有哪些运算律呢？
思路2.(特例引入)让学生计算a·b和b·a，其中|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝π
3
.
学生会发现向量运算满足交换律，进而探究是否满足其他的运算律呢？
推进新课
新知探究
提出问题
由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？
我们知道，对任意a，b∈R，恒有＋2＝a2＋2ab＋b2，＋－＝a2－b2.对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？
a ＋b2＝a2＋2a·b＋b2；
a ＋b·a－b＝a2－b2.
活动：首先看看它有没有交换律a·b＝b·a.
由向量数量积的定义，得|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ，可以直接推出交换律成立．在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了．向量的数量积是否具有分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c?
直观上，不太容易看出它是否成立．让我们从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立．
我们知道，一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正射影的数量．如果分配律中的向量c 换成它的单位向量c 0，则分配律变为
(a ＋b )·c 0＝a·c 0＋b·c 0.① 证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正射影的数量等于各个向量在这个方向上的射影的数量和．
为此，我们画出①式两边的几何图形(图1)，看看能否推出①式两边相等．
图1
作轴l 与向量c 的单位向量c 0平行． 作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →
＝a ＋b .
设点O ，A ，B 在轴l 上的射影为O ，A′，B′，根据向量的数量积的定义有 OA′＝OA →
·c 0＝a ·c 0， A′B′＝AB →
·c 0＝b ·c 0， OB′＝OB →
·c 0＝(a ＋b )·c 0，
但对轴上任意三点O ，A′，B′，都有OB′＝OA′＋A′B′， 即(a ＋b )·c 0＝a·c 0＋b·c 0， 这就证明了①式成立．
①式两边同乘以|c |，得(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 至此，我们完成了分配律的探索与证明．
另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数λ，有λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．
至此，我们探究并证明了数量积的运算律：
已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a·b ＝b·a (交换律)；
②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； ③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．
应向学生特别指出：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.
(2)已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab ＝bc a ＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·c 不能推出a ＝c .由图2很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a ≠c .
图2
(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a 、b 、c ，(a·b )c ＝a (b·c )不成立．这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )不成立．
讨论结果：(1)数量积满足a·b ＝b·a (交换律)； (λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； (a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．
(2)1°(a ＋b )2
＝(a ＋b )·(a ＋b )
＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝a 2＋2a·b ＋b 2
；
2°(a ＋b )·(a －b )＝a·a －a·b ＋b·a －b·b ＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2
.
显然由1°式解出：3°a ·b ＝12
((|a ＋b |)2－|a |2－|b |2
)．
此时可向学生点明(2)中的三个向量表达式，有着深刻的几何意义．后面马上就要学到． 应用示例
思路1
例 1在△ABC 中，设边BC ，CA ，AB 的长度分别为a ，b ，c.
证明：a 2＝b 2＋c 2
－2bccosA ， b 2＝c 2＋a 2
－2cacosB ， c 2＝a 2＋b 2
－2abcosC.
活动：根据上面的讨论结果，教师指导学生自己完成证明． 证明：如图3，设AB →＝c ， BC →＝a ， AC →
＝b ，
图3
则a 2＝|a |2
＝|BC →|2＝BC →·BC → ＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)
＝(b －c )·(b －c ) ＝b ·b ＋c ·c －2b ·c
＝|b |2＋|c |2
－2|b ||c |cosA ＝b 2＋c 2
－2bccosA. 同理可证其他二式．
点评：这就是上面讨论结果②中1°，3°的式子，我们把这个结果称为余弦定理，以后我们还要专门讨论它的意义，教材把它放到必修5中去了，以便那个时候再返回到低的层
例 2求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线(图4)．
图4
求证：AC⊥BD.
证明：因为AC →＝AB →＋AD →
， BD →＝AD →－AB →，
所以AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2
. 因为|AB →|＝|AD →|，所以AC →·BD →
＝0.
因此AC⊥BD.
点评：上面讨论结果②中的3°式，作出图来，显示的即为平行四边形的性质．当等式右边等于0时，也就证明了菱形的对角线互相垂直，这点可对学有余力的学生点明一下．
思路2
例 1已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →
＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？
解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0，
即a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )．
由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2
，
即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2
.
又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2
.
同理可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2
.
由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2
，
即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA ， ∴ABCD 是平行四边形．
故AB →＝－CD →
，即a ＝－c .
又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b ，即AB →⊥BC →
.
综上所述，ABCD 是矩形．
点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．
例 2已知a ，b 是两个非零向量，且|a|－|b|＝|a ＋b|，求向量b 与a －b 的夹角． 活动：教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则，画出以a ，b 为邻边的，若AB →＝a ，CB →＝b ，则CA →＝a ＋b ，DB →＝a －b .由|a|－|b|＝|a ＋b |，可知∠ABC＝60°，b 与DB →所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算，得出向量b 与a －b 的夹角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点拨和指导，即由cos 〈b ，a －b 〉＝
b·a －b
|b||a －b|
作为切入点，进行求解．
解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2
＝(a ＋b )2
. ∴|b|2
＝|a|2
＋2a·b ＋|b|2
.∴a·b ＝－12
|b|2
. 而b·(a －b )＝b·a －b 2
＝－12
|b|2－|b|2
＝－32
|b |2
，①
由(a －b )2
＝a 2
－2a·b ＋b 2
＝|b|2
－2×(－12
)|b|2＋|b|2＝3|b|2
， 而|a －b|2
＝(a －b )2
＝3|b|2
， ∴|a －b|＝3|b|.② ∵cos〈b ，a －b 〉＝
b·a －b
|b||a －b|
，
代入①②，得cos 〈b ，a －b 〉＝－32|b|2|b|·3|b|＝－3
2
.
又∵〈b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈b ，a －b 〉＝5π
6.
课堂小结
1．先由学生回顾本节学习的数学知识，通过回顾数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，探究得到了数量积的运算律．
2．教师进行简要总结本节学习的数学方法：归纳类比、数形结合等．我们通过类比实数的乘法运算，得到了数量积满足的三条运算律，并且这些运算律类似于实数的乘法运算律，很方便记忆和运用．
3．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题．如在探究完数量积满足的运算律之后，又接着探究了三个向量a，b，c，数量积不满足结合律，这点往往被学生忽视．
作业
课本本节习题2.4 A组2、3、4.
设计感想
1．本节是平面向量的核心部分，也是解决物理、几何问题的基础，其重要性显而易见，也是高考的热点之一．应让学生结合上节中数量积的定义、重要性质综合归纳整理一下，并进行必要的基础练习．
2．结合学生的归纳整合，教师根据学生掌握的情况可再次提醒几个常见思维误区，如向量夹角的定义、范围，三个向量的积的结合律问题等．以便学生更深层次地理解数量积的内涵和外延，切实掌握好数学概念．
3．对于本节教材中的例1可视教学情况作适度引申，尝试一下也不失为一种教法，对必修5的教学或许有意想不到的好处．
备课资料
一、向量的向量积
在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：
(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；
(2)c垂直于平行四边形所在的平面；
(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.如图5.
图5
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则
a ×
b ＝0.
向量的向量积服从以下运算律： (1)a ×b ＝－b ×a ；
(2)a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c ； (3)(m a )×b ＝m(a ×b )． 二、备用习题
1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
2．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a|－|b|<|a －b |；
③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2
. 其中正确的是( )
A ．①② B．②③ C ．③④ D ．②④ 3．在△ABC 中，设A
B →＝b ，A
C →
＝c ，则b||c|
2
－b·c
2
等于( )
A ．0 B.1
2
S △ABC
C ．S △ABC
D ．2S △ABC
4．设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.
5．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.
6．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求： (1)(a －3b )·(2a ＋b )； (2)|3a －4b |. 7．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
8．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π
3，求向量m ＝2a ＋b 与n ＝a －4b 的夹角的
余弦值．
解答：
1．A 2.D 3.D 4.－2 5.－13
6．(1)－30＋303；(2)337＋144 3. 7．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋85
6}．
8．解：由向量的数量积的定义，得a·b ＝2×1×cos π
3
＝1. ∵m ＝2a ＋b ，
∴m 2＝4a 2＋b 2
＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21. ∴|m |＝21. 又∵n ＝a －4b ，
∴n2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝12.
∴|n|＝2 3.
设m与n的夹角为θ，则m·n＝|m||n|cosθ.①
又m·n＝2a2－7a·b－4b2＝2×4－7－4＝－3.
把m·n＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，
∴cosθ＝－
7
14
，即向量m与向量n的夹角的余弦值为－
7
14
.。