北邮18-19数分下试题解答

xdy − ydx xdy − ydx
=
C 4x2 + y2 C1 4x2 + y2
(8 分)
xdy − ydx
=
C1
2
5
= 2 1 d = .
02
(10 分)
七(10 分).计算曲面积分 I = ( xy + yz + zx) dS ，其中 S 为锥面 z = x2 + y2
S
被曲面 x2 + y2 = 2ax (a 0) 所截得的部分。
北京邮电大学 2018-2019 学年第二学期 《数学分析（下）》期末考试试题 答案及参考评分标准
考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效
一. 填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 填:-2
2.
填:
f
x
(
0,
0
)
=
2
.
3. 填: dz = F1dx + F2dy aF1 + bF2
S
S
= x x2 + y2 2dxdy
Dxy
(4 分) (6 分)
=
2
2 d
2a cos
r cos r rdr =
2
2 d
2acos r3 cos dr
(8 分)
− 2
0
− 2
0
= 64 2a4. 15
(10 分)
八(10 分) 设 u = u(x, y, z)具有二阶连续偏导数，且
−
1 2
+
(
z
+
1)
=
0
x
−
y
+
z
+
5 2
=
0.
(6 分)
（2）点
P11,−
1 2
,1
距平面
的距离
d1
=
x − y + z + 4 P1
1+ (−1)2 +1
=
13 23
；
点
P2
−
1,
1 2
,−1
距平面
的距离
d2
=
x − y + z + 4 P2
1+ (−1)2 +1
=
3 23
。
所以
P11,−
2u x2
+
2u y 2
+
2u z 2
=
x2 + y2 + z2
计算 u dS .其中 n 为曲面 S : x2 + y2 + z2 = 2z 的外法线方向。 S n
解 由方向导数定义及高斯公式，有
6
S
u n
dS
=
S
u x
cos
+
u y
cos
+
u z
cos
dS
=
V
2u x2
+
2u y 2
+
4. 填: (− 1,−1) ；
5. 填:8
6.
填:
2
dy
y+2 f ( x, y) dx
−1
y2
7. 填: 2a2
8. 填:3
9. 填: 2 2
填:收敛.
二(8 分)．设 z = x3 f (xy, x + y2 ), f (u, v) 有二阶连续偏导数,
求 z , x
2z y 2
.
解
z x
2u z 2
dv
= x2 + y2 + z2 dv
V
=
2
d
2 d
2cos r r2 sin dr
0
0
0
= 8 . 5
九(6 分）判别级数
(− 1)n
的敛散性。
n=2 n + (− 1)n
( ) 解
an =
(− 1)n n + (−1)n
=
(− 1)n
n − (−1)n n 2 − (−1)n 2
n=0
−
2)n
.
其收敛域为 −1 x − 2 1 1 x 3.
6
6 +
x
=
8
+
6
(x
−
2)
=
3 4
1+
1 x
−
2
8
(3 分)
=
3 4
n=0
−
x
− 8
2
n
=
3 4
n=0
(− 1)n
(x
− 2)n
8n
.
收敛域为: −1 x − 2 1 −6 x 10 . 8
(6 分)
f
P11,−
1 2
,1
、
P2
−
1,
1 2
,−1
。
六(10 分).计算 xdy − ydx C 4x2 + y2
，其中 C 是沿圆周 (x −1)2 + y2 = R2 ， R 1的逆
时针方向。
解：令
P
(
x,
y)
=
−y 4x2 +
y2
,Q
( x,
y)
=
x 4x2 +
y2
( ) 知 P = Q = y x
x
(−1,1)
(7 分)
n=0
( −1)n
2n +1 2n
=
n=0
(2n
+
1)
−
1 2
n
=s
−
1 2
=
1
+
−
1 2
2
1
−
−
1 2
=
2. 9
(8 分)
五(10 分).已知椭球面 S : x2 + 2 y2 + z2 = 5 和平面 : x − y + z + 4 = 0.（1）求 2
S 的与平面 平行的切平面方程；（2）求 S 上距离平面 最近和最远的点。
解：设 S 上点 P0 (x0, y0, z0 ) 处的切平面与 平行。点 P0 (x0, y0, z0 ) 处的法方向为：
(2x0,4 y0,2z0 ) (x0,2 y0, z0 )
3
平面 的法方向为 (1,−1,1)
依题意，有
n=0
n=0
( −1)n
2n + 2n
1.
。
2
解：lim an+1 = lim 2n + 3 = 1 = , 幂级数的收敛半径 r = 1 = 1. 收敛域为 (−1,1) 。
a n→ n
n→ 2n + 1
(2 分)
记和函数为 s ( x) ，则
s ( x) = (2n +1) xn = 2nxn + xn = s1 ( x) + s2 ( x) ，
= 3x2 f
+ x3 ( yf1 +
f2 ) = 3x2 f
+ x3 yf1 +
x3 f2 ，
(2 分)
z y
=
x3 ( xf1
+ 2 yf2 )
=
x4
f1
+
2x3 yf2
.
(4 分)
1
2z y 2
=
x4
( xf11
+ 2 yf12 ) +
2x3
f2
+
2x3 y ( xf21
+
2 yf22 )
= x5 f11 + 4x4 yf12 + 4x3 y2 f22 + 2x3 f2 .
= (−1)n n − 1 .
n −1 n −1
(− 1)n
n
收敛，而
1 发散，故原级数发散。
n=2
n −1
n=2 n −1
(3 分) (6 分)
(8 分) (10 分)
(2 分) (4 分) (6 分)
7
+
x2
+
2
y2
+
z2
−
5 2
4
L x L
= =
2(x −2 (
−y x−
+z y+
+ 4) + 2 x z + 4) + 4
=0 y=
0
令
y
L
=
2(
x
−
y
+
z
+
4)
+
2
z
=
0
，
z
L
=
x2
+
2y2
+
z2
−
5 2
=
0
可得 x = z, x = −2 y
解得
y
=
1 2
，条件驻点为
(x)
=
n=0
(− )1 n+1(x
−
2)n
+
3 4
n=0
(− 1)n
(x
− 2)n
8n
=
n=0
−1
+
4
3 8n
(− 1)n
(x
−
2)n .
收敛域 D = (1,3) (− 6,10) = (1,3).
(8 分)
四 (8 分 ) 求 幂 级 数 (2n + 1) xn 的 收 敛 半 径 、 收 敛 域 及 和 函 数 ， 并 求
1 2
,1
是离平面
最远的点；
P2
− 1,
1 2
,−1
是离平面
最近的点。
(10 分)
法二，平面上一点 P(x, y, z) 距平面 的距离 d = x − y + z + 4 = 1 x − y + z + 4 1 + (−1)2 + 1 3
用条件极值，构造拉格朗日函数
L
=
(
x
−
y
+
z
+
4)2
x0 = 2 y0 = z0 1 −1 1
(2 分)
可得：
x0
=
z0 ,
y0
=
−
1 2
z0
带入曲面方程，ຫໍສະໝຸດ z0=1 。满足条件的点有两个：
P11,−
1 2
,1,
P2
−
1,
1 2
,−1.
对应的切平面方程为
(4 分)
(
x
− 1)
−
y
+
1 2
+
(
z
−
1)
=
0
x
−
y
+
z
−
5 2
=
0;
(
x
+
1)
−
y
(8 分)
三(8
分)．把函数
f
(x)
=
12 − 5x 6 − 5x − x2
在
x0
=
2
处展开成
Taylor
级数，并指出其
收敛域。
解
f
(x)
=
12 − 5x 6 − 5x − x2
=
1 1− x
+
6 6+
x
(1 分)
1
1−
x
=
− 1+
1
(x −
2)
=
−
n=0
− ( x
−
2
)
n
=
(−1)n+1 ( x
解 因为曲面 S 关于 xoz 平面对称，被积函数 xy + yz 关于变量 y 是奇函数，故有：
I = ( xy + yz) ds = 0.
S
(2 分)
曲面 S： z = x2 + y2 的面积元素
ds = 1 + zx2 + z2y dxdy = 2dxdy
所以
I = ( xy + yz + zx) ds = zxds
n=0
n=0
n=0
(3 分)
s1 ( x) = 2x
nx n −1
=
2x
x
n
n=1
n=1 x (−1,1)
=
2x
x 1 −
x
=
2x
(1 − x)2
.
s2
(x)
=
n=0
xn
=
1 1−
x
所以
s(x)
=
s1
(x)
+
s2
(x)
=
2x
(1 − x)2
+
1 1−
x
=
1+ x
(1 − x)2
,
y2 − 4x2 4x2 + y2
2
,
( x, y) (0,0)
(3 分)
（1）当 R 1时，原点 (0,0)不在曲线 C 所围区域内，由格林公式
I
=
Q x
−
P y
d
=
0.
(5 分)
（2）当 R 1时，原点 (0,0)在曲线 C 所围区域内，做小椭圆
C1
:
x
=
2
cos
,
y
=
sin
，且
足够小，取逆时针方向。由格林公式