线性代数参考题1-6答案

线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@ ）
一. 填空题(每小题3分,满分30分)
1．42342311a a a a 与44322311a a a a -；2.b a =；3.)(2
11E A A -=
-；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；
5.特征根为0；
6.1-=α；
7.)()(T r A r =；
8.3R ；
9.负定；10.2
5≠
t
二. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：n
n bc ad D )(2-=
三. 令⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=1302
31,35
12
,343122
321C B A 则⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=--2115
.053
,2153,11
15.235.1231
1
1
X B
A
四. 令),,,(4321αααα=A ，则
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==000
031002
01010
13130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且3214
32αααα+-=
五. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 六. 将二次型f 化成矩阵
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------=21
1
121
112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ
当01=λ 对应的特征向量为T
)1,1,1(1=α，标准化为T
)1,1,1(3
11=
η；
当33,2=λ 对应的特征向量为T
)0,1,1(2-=α和T
)1,0,1(3-=α
正交化T
)0,1,1(22-==αβ，标准化为T
)0,1,1(2
12-=η
T
)1,1,0(,,2222333-=⋅>
<><-
=ββββααβ，标准化T
)1,1,0(2
13-=
η
因而),,(321ηηη=P ，且2
32
233y y f += 七. 令
αααααααααα
αααααβββββL n n
n
=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
3213213
212
113
2
111
1
1
1
1
1111............
由 1||=L 以及n αα,,1 线性无关得n ββ,,1 线性无关。

八. 由已知有0||=A 及 ()
)1,,2,1(0|1|1
-==--+n i iE A i ，显然A 有特征根分别为0和
())1,,2,1(11-=-+n i i
i 。

故此A 可对角化。

线性代数参考题二答案：
()()3
.10;.9;3.8;.7;21,21.6;.5;0.4;83
.
3;.2;3
32.1.121ξξξ-+--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+--
k A E A 线性无关一()
⎪⎭⎫
⎝⎛--=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∑∑∑=-==n i i n n n i i n n n n i i n
b a b b
b a a b a b
a a a
b a a a b a 11
212
2210
00
1
1
1
1
D .
二⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣⎡--⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=--60
62811661222
2124126110
411212
4701
122011110
4
1127241
X .1
1
三
431421,,,,,300
00000
700011102351
101
3
2251131152
235146102.αααααα或极大无关组：
秩为四⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++-−→−⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+-+-−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+++-01
010012110
11111.25
2
2
012101211011111.5815
3
342321*********
.a b a a b a a b a 五
()()()
T
T
T
k k b a b a b a 1,0,2,10,1,1,20,0,1,0.,01.3.
,,1.2.,0,1.121-+-+==-=-≠≠-=ξ通解为有无穷多解且唯一解为任何值时无解时当
()
3,0321
1
121
112.3212
===-=-⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡------=λλλλλλA E A 六
当()T
x x x 1,1,10211
1211120
13211==⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=ξλ
当()()T
T
x x x 1,0,10,1,1011
1
111111
3
3232132-=-==⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==ξξλλ，
()
T
T
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--
==1,21,2
1
0,1,12
1,3322ξηξη正交化
单位化得正交矩阵⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡---=620
3
1612131612131P
所以得到标准型：2
32
233y y f +=
[][][][]线性无关
所以由等价的向量组秩相等
等价与向量组线性表示可由即可逆
设七432143214321432143211
4321432143214321,,,,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,011
1
1
11111111
111111
1
1111111111111,,,,,,.ββββββββααααααααββββααααββββββββαααα-=≠⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------------=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=P P P P
()()()()
()()()⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---=-=-+=-=-+-112
1
0.,,1,,2,1,1,001,0,1,,2,11.1
n A n A n n i i A iE A A n i iE A A n
i i
i
相似于对角阵
所以特征向量个线性无关有故个不同的特征值
有所以方阵即均不可逆与因为方阵八
线性代数参考题三答案：
().0.10;.9;4
3.
8;.7;.6;.5;1.4;1.3;.2;61.1.n r aE n n
<--相关正交一
二. 1）()
()2
!
111
+--n n ；2）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-65
3032
001
181181)
(1
*A A ；3）⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡---=-10
01000
10001
1
a a a A ； 4）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==--11
101
110
,
10
110011,1
1
A C
B C
A 5）211-=-=-=-=-Λ--E A P E A P E AP P E 三．
300000
04
0001
030012
1110030
116030242201
2
11秩为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡---- ..,,421此向量组线性相关一个极大无关组为ααα 四．012
1
11,0131
121
01121>=--=
>=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡----=A A A 计算各阶顺序主子式
.0
23正定由正定的充要条件A A A >==
五．特征根为：2,1321-===λλλ
当()()T
T
p p 0,1,2,1,0,0,1211-===λ，当()T
p 1,1,1,233-=-=λ，
故 ()⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-=
=-21
1,,,1
321AP P p p p P
线性代数参考题四答案：
().
3
11.
10;5.9;64.8;1.7;
2832.6;1.5;2.4;0.3;.2;.1.32312
32
22
1>-+++-≤≤-k x x x x x x x r n B r m n 相关一
2
2
1
0010010000
1
0010011.y x y
y x x y
y x x x x x
=--=-----+=
原式二
()()()
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=+=-≠-+-=--=-20
1
030
102
,,0.2
E A B E A E A E A E A B E A E
A B AB 则可逆又三
四．
5
43521421,,,,,,,300
11000101102130160
14
2
4
527121103121301ααααααααα或或极大无关组为秩为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--()()
.83
2
50004111
42
1
1
1111
4111,1.,41,041.无解时有唯一解且即时当五⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡------=≠-≠≠-+-=k k k A k k A
()()
()()T
T
T
T
k x k k 1,1,30,4,0:1,1,3:0,4,000
041104411
42
1
1
16141
4411
,4--+=--⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡---=非齐次通解为；齐次通解特解时
()0
,90944
2
4
42
221
.3212
====--=-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡----=λλλλ
λ
λ得，令，六E A A
()T
T
p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==32,32,3
12,2,1,9111ηλ，
()()
()T
T
T
T
T
p p p p ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
-=
-==-====5
35
,534,532,0,51,525,4,25
15
4,1,0,2,0,1,2,0333222233223232ββηββηβββλλ标准化正交化
[]2
13219,,y f PY X P ===∴，所以标准型为
，且ηηη
().,.1
同的特征值由定理知相似矩阵有相相似与，七BA AB BA A AB A
∴=
-
()()
()()().
,,,,,2,1,000
01,,,10
.21122111111112111线性无关表示不能由，得代入线性表示可由又设八ββααββααααβααβββαα+∴==⇒=+∴=∴=+++++++==++++l m i k kl k k A k kl k kl k l l l k k k m i i i m m m m m m m m
1
.10;.
9;2,1.8;2.7;2.6;21,21,21,21.5;0.4;2.3;22
0110
00027.2;65.1.21>≠≠++⎪⎭
⎫ ⎝⎛--±⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡---a k a a ka T
λ
ββ一 二.
()()!0
2100021230
212620
13211
n n
n n n
n n n n n r r D i n =----+
()
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+=≠+≠--=--=--520
5
301051054
)
(0
0,.
1
2
2
E A B E A E A E A B E A
E
A B B A 三
2
,056
2
1
362103
62101
11111
3
4
5
36210312311111
.141253==∴⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--------−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----b a b a b a r r r r 四 五. 321,,,3ααα一个极大无关组为
秩为；
().01,,10,,,0,,,,:.1111121121全不为下面证明。

使的存在不全为线性相关证明六+==+∴++++n i k a k a k k k k a a a a i n n n n n
().01,,1.0,
0,01112111111111全不为与已知矛盾个向量均无关
任意则若某+=∴=======∴=+++++=++-++++--n i k k k k k k n a k a k a k a k k i n i i n n i i i i i
T
T
T
p p p ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛=-===31,31,31,62,61,61,0,21,215
,1.321321λλλ八 []PY X p p p P ==321,, 且 2
32
22
15y y y f -+=
()()()是一个非零解
七T kn
k k A A A x E A AA
A r n n A r ,,,0,
1,1.21*
=∴===-∴-=
一.填空题答案 1．=-B A -1；2. )(11
bE aA c
A
+-
=-；3.),1()1,2()2,(∞+⋃-⋃--∞∈k ；4.线性相关；
5.02=-b a ；
6. 1；
7.332211αααk k k ++；
8.2>a ；
9.5=t ；10. 2 二. 居余马《线性代数》$1.2 例8(p.17)：将n D 按第一行展开，得
2
111)(1
1
1)(-----+=++-+=n n n n n abD
D b a b
a a
b ab b a ab ab
D b a D 阶
递推公式改写为 )(...)(122
211aD D b
aD D b aD D n n n n n -==-=-----
而 ab b a D -+=2
2)(，b a D +=1，于是有 n
n n b aD D =--1，整理得
2
122
321
211;...,;;b aD D b
aD D b
aD D b aD D n n n n n n n
n n =-=-=-=--------
将上述等式两端分别乘以2
2,...,,,1-n a
a a ，然后再相加，得到
2
2
2111...b a ab ab b D a
D n n n n n n ----+++=- 即得n
n n n n n
n n a b a
b a
ab
ab
b D a
D ++++++=------11
2
2
2
1
11
...，整理得
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≠--=+=++b
a a
b a b b
a a n D n n n
n ,
,)1(11
三．由于T
T
T
T T T
T
T T
T B C
C
C
B C
C
B C
E C
B C
E -=-=-=----)(])([)(1
1
1
，再由已知得，
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-=--12
3
012001)(1
T
T
T
T B
C C
B C
E ，再由()
E C B C E X T
T
=--1可得到
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-12
1
012001
12
3
012
001
1
X 四. 令),,,,(54321ααααα=A ，则对其进行行的初等变换有
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=20
00003
6210111111
3
4
5
36210312311111
b a b a A ，由2)(=A r 得2,0==b a ，其中一个极大无关组为：21,αα
五. 由O B ≠以及O AB =知A 必为奇异阵，即0||=A （否则若A 为非奇异阵，必有0)()()(===O r B r AB r ，此与O B ≠矛盾），而
)1(5110
4502
2111
3
12
221
||k k
k k A -⨯⨯=-+--=---=，得1=k 六. 设此实二次型对应的矩阵为A ，则有
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=32
222
021A ，令0||=-A E λ得特征根为11-=λ、22=λ、53=λ。

当11-=λ时，特征向量为T )1,2,2(1=α，标准化得T
)1,2,2(3
11=
η； 当22=λ时，特征向量为T )2,1,2(2-=α，标准化得T
)2,1,2(3
12-=
η；
当53=λ时，特征向量为T
)1,2,2(1=α，标准化得T
)1,2,2(3
11=
η；
令),,(321ηηη=Q ，则有QY X =，且2
32
22
132152),,(y y y x x x f ++-=，该二次型不是正定的。

七. 陈治中《线性代数》习题3.25(p.106)
由于T E E E E T T
T T T T T T T T =-=-=-=-=αααααααα2)(2)(2)2(，故此T 是对称
阵，另外，
E E E E T T T
T
T T T
T
T
=+-=+-=-=αααα
αααααα
αα44))((44)2(2
因此T 也是正交阵。

八．32学时不作为要求。