2023希望杯八年级数学思维训练题(含答案)

2023希望数学——8年级培训80题
1.
计算
1
11 ________．
2.
的值是________．
3.
．
4.
( )
A.
B.
1
2
C.2
1
E.2
5. 化简，得（ ）．
A. B.
C.
D.
6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．
4322(2)
2(2)
n n n 8
121
n 1
2
n 874
7
7. 设，则代数式的值为（ ）．
A. –6
B.24
C.
D.
8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知
a 是t 的小数部分，
b 是 – t 的小数部分，则________．
9. 已知x + y + z = 13，xy + yz + zx =102， xyz = 333，那么
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________．
10. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则
3232b c
a b
=_______．
11. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．
12. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．
1a 2212a a 1012t
11
2b a
13. 实数x ，y 满足，，x y ，则
的值为________．
14. 已知1113a b c d
，1115b a c d ，1117c a b d ，111
9d a b c ，则3579
a b c d
=________．
15. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d
的最大值是________．
16. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．
17. 记12()12n
f n n n n n
（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．
18. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12
a b
，则x ☆(x +1)=0的解
为x =________．
2
4x
2
4y x y
y x
19. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么
20152016121220152016
||||
||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 20. 方程34x
x x x
有________个实数根．
21. 满足 2
211x x x 的整数x 有________个．
22. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x
的整数解是x=________．
23. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．
24. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．
25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．
26.
2 ，得x =________．
27. 不等式1248163264
x x x x x x
x
的解集是_________．
28.
满足不等式32 的最大质数x =_________．
29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任
意实数x 都成立，则正整数a =_________．
30. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系
数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b c
a
=_________．
2222x y xy x y
31.△ABC的三边长a、b、c均为实数且满足b+c=8，bc=a2 –12a+52，则△ABC
的周长等于_________．
32.关于x的四次方程x4 – 18x3 + kx2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积
为–32，则k的值是________．
33.直角坐标系中有两个点A（– 1，– 1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使
MB – M A最大，则M的横坐标是________．
34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数
4
4
3
y x
的图象分别交x轴、y轴
于点A、B，把直线AB绕点O逆时针旋转90°，交y轴于点A'，交直线AB 于点C，则△A'BC的面积为_________．
35. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与
轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________．
36. 已知，并且
，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二
B.二、三
C.三、四
D.一、四
37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到
的一次函数不经过第二象限的概率是_________．
38. 对于每个x ，函数y 是1233
2,2,122
y x y x y x 这三个函数中的最小
值．则函数y 的最大值是________．
39. 点(2,)P a 在反比例函数k
y x
的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．
0 abc p b
a
c a c b c b a p px y
40. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．
41. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，
边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．
42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，
那么f （94）除以1000的余数是________．
43.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图
形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．
A.(1)(2)(3)
B.(2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(4)
44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不
相同，则n的最大值是_______．
45.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．
46.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．
47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)
与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．
48.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，
的最小值为________．D(– 1，3)及一个动点P，则PA PB PC PD
49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，
且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．
50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分
别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．
51.在△ABC中，若AC ，BC ，AB 则△ABC的面积为_______．
52.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面
积是________．
53.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =
45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．
54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转
90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）
55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，
AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）
56. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC
于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________．
57. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、
AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．
58. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、
梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．
59. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分
别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．
60. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 1，P 2，P 3，P 4是正方形内部的4个点，使
得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三角形，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积等于________．
61. 在等腰梯形ABCD 中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，
∠A 和∠D 的平分线交于P 点，∠B 和∠C 的平分线交于Q ．则PQ 的长为________．
62.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中
点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．
63.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋
转后可以重合的三角形视为同一个）
64.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数
最小是________．
65.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得
所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．
66.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则
较小的数是________．
67.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个
三位数可能是_________．（求出所有结果）
68.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个
整数n的倍数．那么n的最大值是________．
69.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球
除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从
袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为2
5
，那么，随机摸出一个为红色玻
璃球的概率为________．
70.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰
子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．
71.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，
有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通
过加密后得到的密文是“2”，则密文“
1
256
”，解密后得到的明文是
________．
72.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B
组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．
73.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的
位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）
74.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按
ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．
75.观察如下一列数对：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……
则第2023个数对是( )．
A. (6，58)
B. (6，59)
C. (7，58)
D. (58，7)
E. (59，6)
76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时
向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．
77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式
2
5
0ax x a
，则a 的最小值是________．
78. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设
a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________．
79. a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i 是1~9中的不同数字，则
a b c d e f
g h i
的最小
值是________．
80. 一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243
个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．
2023希望数学——8年级培训80题答案
1.
计算
1
11 ________．
答案：– 2
2.
的值是________．
答案：2
3.
．
答案：2022 4.
( )
A.
B.
1
2
C.2
1
E.2 答案：D
5. 化简，得（ ）．
A. B.
C.
D.
答案：C
6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．
答案：27887
4322(2)
2(2)
n n n 8
121
n 12 n 8
74
7
7. 设，则代数式的值为（ ）．
A. –6
B.24
C.
D.
答案：A
8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知
a 是t 的小数部分，
b 是 – t 的小数部分，则
________． 答案：
9. 已知x + y
+ z = 13，xy + yz + zx =102，
xyz = 333，那么
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________． 答案：33652
10. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则
3232b c
a b
=_______．
答案：1
11. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．
答案：25
12. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．
答案：11
2
13. 实数x ，y 满足，，x y ，则
的值为________． 答案：1
1a 2212a a 1012t
11
2b a
12
2
4x 2
4y x y
y x
14. 已知1113a b c d
，1115b a c d ，1117c a b d ，111
9d a b c ，则3579
a b c d
=________． 答案：3
15. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d
的最大值是________． 答案：– 5
16. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．
答案：4 17. 记12()12n
f n n n n n
（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．
答案：5
6
18. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12
a b
，则x ☆(x +1)=0的解
为x =________． 答案：1
19. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016
||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 答案：2017 20. 方程34x
x x x
有________个实数根． 答案：1
21. 满足 2
211x x x 的整数x 有________个．
答案：3
22. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x
的整数解是x=________． 答案：– 15
23. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．
答案：1
24. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．
答案：82
28x x y y 或
25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．
答案：6
26.
2 ，得x =________．
答案：±36 27. 不等式1248163264
x x x x x x x
的解集是_________． 答案：x ＜64
28.
满足不等式32 的最大质数x =_________．
答案：397
2222x y xy x y
29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任
意实数x 都成立，则正整数a =_________． 答案：1
30. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系
数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b c
a
=_________． 答案：– 6
31. △ABC 的三边长a 、b 、c 均为实数且满足b +c =8，bc =a 2 –12a +52，则△ABC
的周长等于_________． 答案：14
32. 关于x 的四次方程x 4 – 18x 3 + kx 2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积
为 –32，则k 的值是________． 答案：86
33. 直角坐标系中有两个点A （– 1，– 1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使
MB – M A 最大，则M 的横坐标是________． 答案：– 2.5
34. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数4
43
y x 的图象分别交x 轴、y 轴
于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转90°，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则△A'BC 的面积为_________．
答案：625
35. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与
轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________． 答案：1∶4
36. 已知，并且
，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四
答案：B
37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到
的一次函数不经过第二象限的概率是_________． 答案：3
10
38. 对于每个x ，函数y 是1233
2,2,122
y x y x y x 这三个函数中的最小
值．则函数y 的最大值是________． 答案：6
0 abc p b
a
c a c b c b a p px y
39. 点(2,)P a 在反比例函数k
y x
的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．
答案：2
40. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．
答案：2
41. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，
边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．
答案： 120,22P P
,
42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，
那么f （94）除以1000的余数是________． 答案：561
43.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图
形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．
A.(1)(2)(3)
B.(2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(4)
答案：D
44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不
相同，则n的最大值是_______．
答案：26
45.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．
答案：16
46.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．
答案：
47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)
与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．
答案：5
48.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，D(– 1，
的最小值为________．
3)及一个动点P，则PA PB PC PD
答案：
49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，
且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．
答案：11
，　
50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分
别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．
答案：2
51.在△ABC中，若AC ，BC ，AB ，则△ABC的面积为_______．
答案：5.5
52.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面
积是________．
答案：18
53.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =
45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．
54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转
90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）
答案：π
55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，
AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）
答案：4
56. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC
于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________． 答案：5
57. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、
AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．
答案：108
58. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、
梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．
答案：56
59. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分
别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．
答案：9
60.已知正方形ABCD的边长为1，P1，P2，P3，P4是正方形内部的4个点，使
得△ABP1，△BCP2，△CDP3和△DAP4都是正三角形，则四边形P1P2P3P4的面积等于________．
答案：2
61.在等腰梯形ABCD中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，
∠A和∠D的平分线交于P点，∠B和∠C的平分线交于Q．则PQ的长为________．
答案：242
62.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中
点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．
答案：48
63.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋
转后可以重合的三角形视为同一个）
答案：3
64.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数
最小是________．
答案：17
65.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得
所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．
答案：61
66.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则
较小的数是________．
答案：8
67.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个
三位数可能是_________．（求出所有结果）
答案：550，803
68.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个
整数n的倍数．那么n的最大值是________．
答案：9
69.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球
除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从
袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为2
5
，那么，随机摸出一个为红色玻
璃球的概率为________．
答案：6 25
70.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰
子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．
答案：100 243
71.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，
有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通
过加密后得到的密文是“2”，则密文“
1
256
”，解密后得到的明文是
________．
答案：1 2
72.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B
组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．
答案：180，182，192
73.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的
位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）
答案：12， 3
74.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按
ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．
答案：A
75. 观察如下一列数对：
(1,1)，(1,2)， (2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…… 则第2023个数对是( )．
A. (6，58)
B. (6，59)
C. (7，58)
D. (58，7)
E. (59，6) 答案：C
76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时
向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．
答案：
77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式
250ax x a
，则a 的最小值是________．
答案：1
78. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设
a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________． 答案：96
79.a，b，c，d，e，f，g，h，i是1~9中的不同数字，则a b c d e f
g h i
的最小
值是________．
答案：
1 288
80.一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243
个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．
答案：13，26。