主题6思想方法微专题1分类讨论

主题 6思想方法
微专题 1分类讨论
问题背景
分类是揭示概念外延的逻辑方法．
很多数学问题存在一些不确定的因素，不能用统一的方法去研究、解决，这时我们就需
要将研究的对象或过程进行分类，即将一个母项分成若干子项，然后对每一类子项分别加以
研究，得出相应的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种解决问题的思想叫
作分类讨论．
引发分类讨论的因素有：（ 1）有些概念本身就包含多种情况，比如绝对值、直线与平
面所成的角、直线的倾斜角等；
（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论，或者定理、公式、法则有范围、
条件的限制．如等比数列前 n 项和公式；指数函数、对数函数的单词性等；
（3）含有参数的问题，参数的不同范围的取值导致不同的结果；
（4）有些问题比较复杂，它包含了多种情况，如题目的条件、结论不确定、图形位置、
数量大小不确定等．
思维模型
说明：
1．解决方案及流程：
（1）确定分类讨论的对象；
（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不漏不重、标准统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论，即对各类问题进行讨论，逐步解决，各个击破；
（4）归纳总结，即将各类情况归类、整合．得出综合结论．
2．失误与防范
（1）有关分类讨论的问题，分类不明确、分类重复或遗漏是常见的错误．要注意合
理选取分类标准，厘清主次，准确分类并进行讨论；
（2）还应该注意到，有时通过变换研究问题的角度．可以使分类讨论的过程简化或
避免讨论．
问题解决
一、典型例题
例 1 已知函数f x x
2
在 x 2 时取得极小值．a e x
（ 1）求实数 a 的值；
（ 2）是否存在区间m,n，使得 f x在该区间上的值域为e4 m,e4n ？若存在，求出 m， n 的值；若不存在，说明理由．
例 2已知圆 M : x2y 22
2 y 0 上的两点，它们的横
1 ，设点BC是直线 l : x
坐标分别是 t, t 4 ，点P在线段BC上，过点P作圆M的切线PA，切点为A．经过A，P，
M 三点的圆的圆心为D，当 t 变化时．求线段DO 长的最小值．
二、自主探究
1．若不等式mx2mx20 ，对一切实数x恒成立．试确定实数m 的取值范围．2．函数f xx22a1在区间1,1 上的最小值记为 g a ．
（1）求g a的解析式；
（2）求g a的最大值．
3．已知函数f x
x1,x
0,
求解不等式
x x 1 f x 1
．x, x1,1
4 f x x a ln x
与g x x x
的图象分别交直线x 1于点
A B
．设函数21，，
a
且曲线 y f x 在点A处的切线与曲线y g x在点 B 处的切线平行．（ 1）求函数f x , g x 的解析式，
（ 2）当a1时，求函数h x f x g x的最小值；
（3）当a 1 时，不等式f x mg x在 x 1 , 1上恒成立，求实数m 的取值范围．
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