八年级(下)学期 第一次月考数学试卷含答案

一、选择题
1．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ）
A ．4或14
B ．10或14
C ．14
D ．10 2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是
（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
3．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ） A ．10 B ．410 C ．13 D ．213 4．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++
B ．2d S d --
C ．22d S d ++
D ．()
22d S d ++ 5．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．2
6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（ ）
A ．3
B ．3.3
C ．4
D ．4.5
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵
地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A ．5.3尺
B ．6.8尺
C ．4.7尺
D ．3.2尺
8．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）
A ．9
B ．210
C ．326+
D ．12 9．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥C
E ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，
则BC 的长是（ ）
A ．32
B ．2
C ．22
D ．10
10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,822
二、填空题
11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．
12．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
13．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．
14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．
16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
17．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直
线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．
18．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．
19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．
20．如图，直线423
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.
三、解答题
21．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．
（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．
22．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；
（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．
23．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；
（2）延长BD 与EF 交于点G ．
①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为
______________．
24．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京
召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
25．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________；
（2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
28．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一
动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
29．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，
①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；
②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．
30．（知识背景）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾
三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2
=+； 勾为5时，股112(251)2=
-，弦113(251)2=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．
（解决问题）
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．
【详解】
∵AC =13，AD =12，CD =5，
∴222AD CD AC +=，
∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，
由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：
当点D 在线段BC 上时，如图所示，
在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，
则14BC BD CD =+=；
②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，
在Rt △ADB 中，229BD AB AD =
-=， 则4BC BD CD =-=．
故答案为：Ａ．
【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.
【详解】
∵a+b=10，ab=18，
∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴2c =64，
∴22a b +=2c ，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.
3．D
解析：D
【分析】
根据已知设AC ＝x ，BC ＝y ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC ，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长．
【详解】
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 为△ABC 的两条中线，且AD ＝10，BE ＝5，求AB 的长．
设AC ＝x ，BC ＝y ，
根据勾股定理得：
在Rt △ACD 中，x 2+（12y ）2＝（10）2，
在Rt △BCE 中，（12x ）2+y 2＝52， 解之得，x ＝6，y ＝4， ∴在Rt △ABC 中，2264213AB =+= ， 故选：D ．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.
4．D
解析：D
【解析】 【分析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

【详解】
解：设直角三角形的两条直角边分别为x 、y ，
∵斜边上的中线为d ，
∴斜边长为2d ，由勾股定理得，x 2+y 2=4d 2，
∵直角三角形的面积为S ，
∴12
S xy =,则2xy=4S ，即（x+y ）2=4d 2+4S ， ∴22x y d S +=+
∴这个三角形周长为：)
22
d S d + ，故选：D. 【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2. 5．D
解析：D
【分析】
先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．
【详解】
根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．
乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．
因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，
因为2017÷6=336…1，
所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.
，
故选D．
【点睛】
此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝1
2
×CD×BC＝
1
2
×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S△PBC＝1
2
S△BCD＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+62=（10-x）2，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【详解】
解：如图，AB＝22
++=．
(24)2210
故选：B．
【点睛】
此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．
9．D
解析：D
【分析】
根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出AD＝CE，再利用勾股定理就可以求出BC的值．
【详解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），
∴CE ＝AD ＝3，
在Rt △BEC
中，，
故选D ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确； D 、22
21147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．
二、填空题
11．9625
【分析】
将△B´
CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´
CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．
【详解】
根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´
CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´
CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，
∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，
∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∵S△ABC＝1
2
AC•BC＝
1
2
AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB＝10，
∴CE＝24
5
，
∴EF＝24
5
，
∵AE＝22
AC CE
-＝
2
2
2418
6-=
55
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴BF＝AB−AE−EF＝10－18
5
－
24
5
＝
8
5
，
∴S△CBF＝1
2
×BF×CE＝
1
2
×
8
5
×
24
5
＝
96
25
，
∴S△CB´F＝96 25
，
故填：96 25
．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
12．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
22
2021
+=29（尺）．
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图
形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
13．71-
【分析】
分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，
∴AP 的最大值为A P 1=AB=3
如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71--
71
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 14．
258
【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；
∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴FA=12AC=52
，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，
∴△AFD∽△CBA，
∴AD
AC
=
FA
BC
，即
AD
5
=
2.5
4
，解得AD=
25
8
；故答案为
25
8
．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．4
【分析】
根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可
【详解】
∵AC的垂直平分线FG，
∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=1
2
（180°-∠BAC）=30°，
∴∠B=∠G，
∴BF=FG，
∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，
∴AG=2AE，
即（2AE）2=AE2+32，
∴
即
同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，
（2EF）2=EF2+2，
∴EF=1（负值舍去），
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×3
=3，
即BM+MN的最小值是3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
17．222
【分析】
连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【详解】
如图，
连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，
∴，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是
BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠B=45°，
∵，
∴
即，
∴△PEB的周长的最小值是．
故答案为
【点睛】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．
18．7 8
【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7
8
，
即BE的长为7
8
．
19．2
【分析】
根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．
【详解】
解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，
∵90ACB ∠=，2AC BC ==，
∴∠CAB=45°，
又∵45EAD ∠=，
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，
∴∠EAC =∠DAB ，
∴在△EAC 与△DAB 中
AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，
∴△EAC ≌△DAM （SAS ）
∴CE=MD ，
∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，
∵AC=BC=2， 由勾股定理可得2222AB AC BC =
+=，
∴222=-BM ，
∵∠B=45°，
∴△BDM 为等腰直角三角形，
∴DM=BD ，
由勾股定理可得222+BD DM =BM
∴DM=BD=22-
∴CE=DM=22-
故答案为：22-
【点睛】
本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．
20．（0，
34）. 【分析】
由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32
-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题
21．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出10
2AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：
如图1，延长AE 交BD 于H ，
由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90DBC BDC ∠+∠=︒，
∴90EAC BDC ∠+∠=︒，
∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，
即AE BD ⊥，
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，
∵90ACB ECD ∠=∠=︒，
∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，
在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴90EAC AOC ∠+∠=︒，
∵AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，
∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，
即AE BD ⊥；
（3）设AD x =，
10,90AC BC ACB ==∠=︒， 2102AB AC ∴==，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==-=-，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，
解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），
即14AD =，
②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==+=+，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，
解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），
即2AD =，
综上，AD 的长为14或2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种
情况讨论，并画出图形是解题关键．
22．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝22+4．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形
∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°
∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD
∴∠ACE ＝∠BCD ， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ．
（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE ＝∠CBD ，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，
∴∠EAD ＝90°，
在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，
∴BD 2+AD 2＝ED 2，
∵ED ＝2CD ，
∴BD 2+AD 2＝2CD 2，
（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，
∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，
∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，
EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，
∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=，
解得x ＝1，
∴AB＝+4．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
23．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；
（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有
∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；
②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积
=1
2
BC CG
⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
当D、E两点重合时，则AD=CD，∴
1
30
2
DBC ABC
∠=∠=︒，
∵CF CD
=，∴∠F=∠CDF，
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，
∴∠CBD=∠F，∴BD DF
=；
（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，
∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，
∵AE CD
=，CD=CF，∴EH=CF，
又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），
∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，
∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，
∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；
②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，
∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，
∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE =23， ∴BF =226BE =，232GF =-，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，
∴6BM ME MF ===，
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=
-， ∴()26231CN FN ==⨯-=-，
∴()
2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，
∴62CG CF ==-，
∴△BCG 的面积=
()()
116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
24．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
25．（1）2，2）证明见解析（3（4【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，
∴122
BC AB =
=，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中，
∵122BE AE AB ===，DE =
∴BD =，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+，
∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上， 则23=333PQ CQ CP =-=， ∴22233
PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3
PE PQ EQ =+； 综上，PE 的长为
33
221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.
26．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，
0）；（3）点P的坐标（
14
3
-，
64
3
）
【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知1
AB CD
k k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵6
m-＋（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有
12
60
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
12
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC 解析式为y ＝
32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23
）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，
∵EC ＝13CF ＝13
∴EC ＝CF ，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC ＝45°，
∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，
由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点P 的坐标为（1464,33-
）. 【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.
27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理。