[推荐学习]2018版高考物理二轮复习第一部分专题三力与曲线运动一__抛体运动和圆周运动学案

专题三 力与曲线运动(一)——抛体运动和圆周运动
考点1| 运动的合成与分解 难度：中档 题型：选择题、计算题
(对应学生用书第12页)
1．(2011·江苏高考)如图3­1所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB ．若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为( )
【导学号：17214037】
图3­1
A ．t 甲＜t 乙
B ．t 甲＝t 乙
C ．t 甲＞t 乙
D ．无法确定
【解题关键】 甲、乙两同学实际的速度是静水中的游速与水流速度的合速度，设游速为v ，水速为v 0，根据速度合成可知：甲游到A 点的速度为v ＋v 0，游回的速度为v －v 0；
乙来回的速度都为v 2
－v 2
0．明确了各自的合速度后，再用匀速直线运动规律求出时间进行比较．
C [设游速为v ，水速为v 0，OA ＝OB ＝l ， 则甲整个过程所用时间：t 甲＝
l
v ＋v 0＋
l
v －v 0
＝
2vl
v 2
－v 20
， 乙为了沿OB 运动，速度合成如图：
则乙整个过程所用时间：t 乙＝l
v 2－v 20×2＝2l v 2－v 2
0v 2－v 20，因为v >v 2－v 2
所以t 甲＞t 乙，选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．]
运动合成与分解的解题思路
(1)明确合运动或分运动的运动性质． (2)明确是在哪两个方向上的合成与分解．
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)． (4)运用力与速度的关系或矢量运算法则进行分析求解．
●考向1 小船渡河问题
1．(多选)(2017·无锡期中)如图3­2所示，甲、乙两船在同条河流中同时开始渡河，M 、N 分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N 点的正对岸P 点，经过一段时间乙船恰好到达P 点，划船速度大小相同．若两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是( )
【导学号：17214038】
图3­2
A ．甲船能到达对岸P 点
B ．两船渡河时间一定相等
C．两船可能不相遇
D．两船一定相遇在NP的中点
BD [乙船垂直河岸到达正对岸，说明水流方向向右；甲船参与了两个分运动，沿着船头指向的匀速运动，随着水流方向的匀速运动，故不可能到达对岸P点，故A错误；小船过河的速度为船本身的速度垂直河岸方向的分速度，故小船过河的速度v y＝v sin α，
故小船过河的时间：t1＝d
v y
＝
d
v sin α
，故甲、乙两船到达对岸的时间相同，故B正确；
以流动的水为参考系，相遇点在两个船速度方向射线的交点上；又由于乙船沿着NP方向运动，故相遇点在NP的中点上，故C错误，D正确．]
2．(2017·南通一模)小船横渡一条两岸平行的河流，水流速度与河岸平行，船相对于水的速度大小不变，船头始终垂直指向河岸，小船的运动轨迹如图3­3中虚线所示．则小船在此过程中( )
图3­3
A．做匀变速运动
B．越接近河岸，水流速度越大
C．所受合外力方向平行于河岸
D．渡河的时间随水流速度变化而改变
C [从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的
加速度，故加速度是变化的，由于水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、B错误；因小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，那么所受合外力方向平行于河岸，故C正确；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故D错误．]
●考向2 绳的牵连运动问题
3．(2017·南通模拟)如图3­4所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
【导学号：17214039】
图3­4
A ．v sin θ
B ．v cos θ
C ．v tan θ
D ．v cot θ
A [由题意可知，线与光盘交点参与两个运动，一是沿着线的方向运
动，二是沿着垂直线的方向运动，则合运动的速度大小为v ，由数学三角函数关系，则有：v 线＝v sin θ；而沿线方向的速度大小，即为小球上升的速度大小，故A 正确，B 、C 、D 错误．]
4．(2017·南通模拟)如图3­5所示，长为L 的轻直棒一端可绕固定轴O
转动，另一端固定一质量为m 的小球，小球搁在水平升降台上，升降平台以速度v 匀速上升，下列说法正确的是( )
【导学号：17214040】
图3­5
A ．小球做匀速圆周运动
B ．当棒与竖直方向的夹角为α时，小球的速度为v
cos α
C ．棒的角速度逐渐增大
D ．当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为
v
L sin α
D [小球受重力、平台的弹力和杆的作用力，因为升降平台
以速度v 匀速上升，平台的弹力和杆的作用力变化，即小球受到的合力大小变化，小球做的不是匀速圆周运动，故A 错误；小球的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v 实＝v
sin αωL ，沿竖直向上方向上的速
度分量等于v ，即ωL sin α＝v ，所以ω＝v
L sin α
，平台向上运动，夹角增大，角速
度减小，故B 、C 错误，D 正确．]
考点2| 抛体运动的运动规律 难度：中档 题型：选择题 五年5考
(对应学生用书第13页
)
2．(多选)(2012·江苏高考T 6)如图3­6所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )
【导学号：17214041】
图3­6
A ．A 、
B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰
D ．A 、B 一定能相碰 【解题关键】
B 为自由落体运动，A 、B 竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t 1相同，且t 1＝
2h
g
，若第一次落地前相碰，只要满足A 运动时间t ＝l
v ＜t 1，即v ＞l t 1
，所以选项
A 正确；因为A 、
B 在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A 与地面相碰后水平速度不变，所以A 一定会经过B 所在的竖直线与B 相碰．碰撞位置由A 球的初速度决定，故选项B 、
C 错误，选项
D 正确．]
3．(2016·江苏高考T 2)有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图3­7中①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )
【导学号：17214042】
图3­7
A．①B．②
C．③ D．④
【解题关键】解此题应注意以下两点：
(1)不计空气阻力，两小球均做抛体运动．
(2)两球以相同速率沿同一方向抛出，说明两球均做斜抛运动且初速度相同．
A [不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛出，其运动轨迹是相同的，
选项A正确．]
4．(多选)(2015·江苏高考T7)如图3­8所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左．不计空气阻力，则小球( )
图3­8
A．做直线运动
B．做曲线运动
C．速率先减小后增大
D．速率先增大后减小
【解题关键】解此题应注意以下三点：
(1)小球受重力和电场力作用．
(2)根据初速度与合力间夹角判断小球运动轨迹．
(3)根据运动的合成与分解思想，判断小球速率大小的变化规律．
BC [小球运动时受重力和电场力的作用，合力F方向与初速度v0方向不在一条直线上，小球做曲线运动，选项A错误，选项B正确．将初速度v0分解为垂直于F方向的v1和沿F方向的v2，根据运动与力的关系，v1的大小不变，v2先减小后反向增大，因此小球的速率先减小后增大，选项C正确，选项D错误．]
5．(多选)(2017·江苏高考T2)如图3­9所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
【导学号：17214043】
图3­9
A ．t
B ．
22
t C ．t
2
D ．t
4
C [设A 、B 两小球分别以速度v A 、v B 水平抛出时，经过时间t 相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有 v A t ＋v B t ＝d ① (d 为两小球间的水平距离)
设当A 、B 两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t ′相遇，则2v A t ′＋2v B t ′＝d ② 联立①②解得
t ′＝t 2
选项C 正确．]
6．(多选)(2014·江苏高考T 6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图3­10所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的是( )
【导学号：17214044】
图3­10
A ．两球的质量应相等
B ．两球应同时落地
C ．应改变装置的高度，多次实验
D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动
BC [根据平抛运动和自由落体运动的规律解题．小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能
说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．]
7．(多选)(2013·江苏高考T 7)如图3­11所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
【导学号：17214045】
图3­11
A ．
B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长
C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大
D ．B 在落地时的速度比A 在落地时的大
CD [在同一位置抛出的两小球，不计空气阻力，在运动过程中的加速度等于重力加速度，故A 、B 的加速度相等，选项A 错误；根据h ＝12gt 2
，两球运动的最大高度相同，故
两球飞行的时间相等，选项B 错误；由于B 的射程大，根据水平方向匀速运动的规律x ＝vt ，故B 在最高点的速度比A 的大，选项C 正确；根据竖直方向自由落体运动，A 、B 落地时在竖直方向的速度相等，B 的水平速度大，速度合成后B 在落地时的速度比A 的大，选项D 正确．]
处理平抛(类平抛)运动的四条注意事项
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．
(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．
●考向1 斜抛运动问题
5．(2017·徐州二模)体育课进行定点投篮训练，某次训练中，篮球在空中运动轨迹如图3­12中虚线所示，下列所做的调整肯定不能使球落入篮筐的是( )
图3­12
A．保持球抛出方向不变，增加球出手时的速度
B．保持球抛出方向不变，减小球出手时的速度
C．增加球出手时的速度，减小球速度方向与水平方向的夹角
D．增加球出手时的速度，增大球速度方向与水平方向的夹角
B [设抛出的初速度为v，与水平方向的夹角为θ，则水平初速度v x＝v cos θ；保持
球抛出方向不变，增加球出手时的速度，水平分速度增大，运动时间变大，水平位移增大，可能落入篮筐，A错误；保持球抛出方向不变，减小球出手时的速度，水平分速度变小，运动时间变短，水平位移减小，一定不能落入篮筐，B正确；增加球出手时的速度，减小球速度方向与水平方向的夹角，水平分速度变大，有可能使得篮球落入球筐，C错误；增加球出手时的速度，增大球速度方向与水平方向的夹角，运动时间增大，水平方向分速度可能增加，篮球运动时间变长，有可能使得篮球落入球筐，D错误．]
●考向2 平抛运动规律的基本应用
6．(2017·盐城二模)小孩站在岸边向湖面抛石子，三次的轨迹如图3­13所示，最高点在同一水平线上，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
【导学号：17214046】
图3­13
A．沿轨迹3运动的石子落水时速度最小
B．沿轨迹3运动的石子在空中运动时间最长
C．沿轨迹1运动的石子加速度最大
D．三个石子在最高点时速度相等
A [设任一石子初速度大小为v0，初速度的竖直分量为v y，水平分量为v x，初速度与水
平方向的夹角为α，上升的最大高度为h，运动时间为t，落水速度大小为v．取竖直向上方向为正方向，石子竖直方向上做匀减速直线运动，加速度为a＝－g，由0－v2y＝－2gh，得：v y＝2gh，h相同，v y相同，则三个石子初速度的竖直分量相同．由速度的分解知：v y＝v0sin α，由于α不同，所以v0不同，沿路径1抛出时的石子的初速度最
大，沿轨迹3落水的石子速度最小；由运动学公式有：h ＝12g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 22
，则得：t ＝2
2h
g
，
则知三个石子运动的时间相等；根据机械能守恒定律得知，三个石子落水时的速率不等，沿路径1抛出时的石子的初速度最大，沿轨迹3落水的石子速率最小，故A 正确，B 、D 错误．因小球在空中时只受重力，故三个石子的加速度相同，故C 错误．]
7．(多选)(2017·扬州模拟)如图3­14所示，在水平地面附近，小球A 以水平初速度v 0瞄准另一小球B 射出．在A 球射出的同时，B 球由静止开始下落，两球刚好在落地时相碰．不计空气阻力，则两球在下落过程中( )
【导学号：17214047】
图3­14
A ．以
B 球为参考系，A 球做匀速运动 B ．在相同时间内，A 、B 球的速度变化量相等
C ．两球的动能都随离地的竖直高度均匀变化
D ．若仅增大A 球的初速度，两球不会相碰
ABC [因为平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在相同时刻A 与B 在同一高度上，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，可知以B 球为参考系，A 球做匀速直线运动，故A 正确．A 、B 两球的加速度均为g ，方向竖直向下，则相同时间内，两球速度变化量相等，故B 正确．对A ，根据动能定理得，mgh ＝12mv 2－12mv 20，小球的动能E k ＝12mv 2
＝mgh
＋12mv 20，与高度成线性关系；对B ，根据动能定理得，E k ＝12mv 2
＝mgh ，与高度成正比，可知两球的动能都随竖直高度均匀变化，故C 正确．由于A 球竖直方向上的运动规律与
B 球相同，增大初速度，当A 球运动到B 球所在竖直线时，还未落地，由于两球始终在
同一高度，可知两球仍然会相碰，故D 错误．] ●考向3 平抛斜面问题
8．(2017·海门模拟)如图3­15所示，虚线MN 是竖直面内的斜线，两个小球分别从MN 上的
A 、
B 两点水平抛出，过一段时间再次经过虚线MN ，则下列说法错误的是( )
【导学号：17214048】
图3­15
A ．两球经过虚线MN 时的速度大小可能相同
B ．两球经过虚线MN 时的速度方向一定相同
C ．两球可能同时经过虚线MN 上的同一位置
D ．A 处抛出的球从抛出到经过虚线MN 所用时间一定比B 处抛出的球从抛出到经过虚线
MN 所用时间长
D [两球再次经过虚线MN 时，根据tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0得：t ＝2v 0tan θ
g ，此时小球的
竖直分速度v y ＝gt ＝2v 0tan θ，根据平行四边形定则知，速度大小为：v ＝v 2
0＋v 2
y ＝
v 01＋4tan 2 θ，若两球初速度相等，则两球经过MN 时的速度大小相等，故A 正确．根
据平行四边形定则知，tan α＝v y
v 0
＝2tan θ，可知两球经过虚线位置时速度方向相同，故B 正确．若初速度大小不同，两球可能经过虚线上的同一位置，故C 正确．根据t ＝2v 0tan θ
g
知，若初速度相等，则两球到达虚线MN 的时间相同，故D 错误．]
●考向4 平抛中的临界问题
9．(2017·苏锡常二模)乒乓发球机的简化模型示意图如图3­16所示．发球机的机头相当于一个长l ＝20 cm 的空心圆柱(内径比乒乓球的直径略大)，水平固定在球台边缘O 点上方H ＝45 cm 处，可绕C 轴在水平面内转动，从而改变球的落点．球台长为L ＝3 m ，位于球台中央的球网高h ＝25 cm ，出球口离盛球容器底部的高度H 0＝50 cm ，不考虑乒乓球的旋转、空气阻力和发球机轨道对球的阻力．已知一只乒乓球的质量约为3 g ．(取重力加速度g ＝10 m/s 2
)
图3­16
(1)若发球机的机头不转动，且出球点在O 点正上方，当发球机发出的球能过网且落在球台上，求发球机出球的速度大小范围；
(2)若发球机机头以ω＝5 rad/s 按俯视图所示方向转动，且出球时乒乓球相对机头的
速度为9 m/s ．求出球点转到O 点正上方时所发出球的最后落点位置，结果用xOy 坐标系中的坐标值表示；
(3)在题(2)问情景下，若发球机每分钟发出30只球，求发球机因发球而消耗的平均功率．
【导学号：17214049】
【解析】 (1)根据H －h ＝12
gt 2
1得：
t 1＝
H －h
g ＝．45－0．10
s ＝0．2 s
则发球机出球的最小速度为： v 1＝L
2t 1＝320．2 m/s ＝7．5 m/s
根据H ＝12
gt 2
2得：t 2＝
2H g
＝
2×0．45
10
s ＝0．3 s 则发球机出球的最大速度为：v 2＝L t 2＝
3
0．3
m/s ＝10 m/s
发球机出球的速度大小范围为：7．5 m/s ＜v ＜10 m/s ． (2)机头转动的线速度为：v 3＝l ω＝0．2×5 m/s＝1 m/s
根据平行四边形定则知，球发出后的速度为：v ＝v 2
3＋v 2
4＝1＋81 m/s ＝82 m/s 球发出后做平抛运动，在xOy 坐标系中，纵坐标为：y ＝v 3t 2＝1×0．3 m ＝0．3 m ，横坐标为：x ＝v 4t 2＝9×0．3 m ＝2．7 m 最后落点位置坐标为(2．7 m ，0．3 m)． (3)每个乒乓球的机械能为：
E ＝mgH 0＋1
2mv 2＝3×10－3×10×0．5 J ＋12
×3×10－3×82 J＝0．138 J 发球机因发球而消耗的平均功率为：P ＝W t ＝30E t ＝0．138×30
60
W ＝0．069 W ．
【答案】 (1)7．5 m/s ＜v ＜10 m/s (2)(2．7 m ，0．3 m) (3)0．069 W
考点3| 圆周运动的基本规律 难度：中档 题型：选择题
五年2考
(对应学生用书第15页)
8．(2013·江苏高考T 2)如图3­17所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴
匀速转动时，下列说法正确的是( )
【导学号：17214050】
图3­17
A ．A 的速度比
B 的大
B ．A 与B 的向心加速度大小相等
C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等
D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小 【解题关键】 解此题注意以下两点：
(1)“旋转秋千”同轴转动，两座椅角速度相同． (2)座椅到转轴的水平距离为圆周运动的半径．
D [A 、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ω
A ＝ω
B ，但r A <r B ，根据v ＝ωr 得，A 的速度比B 的小，选项A 错误；根据a ＝ω2
r 得，A 的向心加速度比B 的小，选项B 错误；A 、B 做圆周运动时的受力情况如图所示，根
据F 向＝m ω2
r 及tan θ＝F 向mg ＝ω2r
g
知，悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角小，
选项C 错误；由图知mg T ＝cos θ，即T ＝mg
cos θ，所以悬挂A 的缆绳受到的拉力小，选项D 正确．]
9．(2017·江苏高考T 5)如图3­18所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上．物块质量为M ，到小环的距离为L ，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F ．小环和物块以速度v 向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P 后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g ．下列说法正确的是( )
【导学号：17214051】
图3­18
A ．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B ．小环碰到钉子P 时，绳中的张力大于2F
C ．物块上升的最大高度为2v
2
g
D ．速度v 不能超过
F －Mg L
M
D [物块受到的摩擦力小于最大静摩擦力，即Mg ＜2F ．
A 错：物块向右匀速运动时，物块处于平衡状态，绳子中的张力T ＝Mg ≤2F ．
B 错：小环碰到钉子时，物块做圆周运动，根据牛顿第二定律和向心力公式有：T －Mg
＝Mv 2L ，T ＝Mg ＋Mv 2
L
，所以绳子中的张力与2F 大小关系不确定． C 错：若物块做圆周运动到达的高度低于P 点，根据动能定理有－Mgh ＝0－12
Mv 2
则最大高度h ＝v 2
2g
若物块做圆周运动到达的高度高于P 点，则根据动能定理有－Mgh ＝12Mv ′2
－12
Mv 2
则最大高度h ＜v 2
2g
．
D 对：环碰到钉子后，物块做圆周运动，在最低点，物块与夹子间的静摩擦力达到最大值，由牛顿第二定律知：
2F －Mg ＝Mv 2
L
故最大速度v ＝F －Mg L
M
．]
1．水平面内圆周运动临界问题
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态．
(2)常见临界条件：绳的临界：张力F T ＝0；接触面滑动的临界：F ＝f ；接触面分离的临界：F N ＝0．
2．竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)对于竖直平面内的圆周运动要注意区分“轻绳模型”和“轻杆模型”，明确两种模型过最高点时的临界条件．
(2)解决竖直平面内的圆周运动的基本思路是“两点一过程”．“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对物体进行受力分析，确定向心力，根据牛顿第二定律列方程；“一过程”即从最高点到最低点，往往由动能定理将这两点联系起来．
●考向1 水平面内的圆周运动
10．(多选)(2017·无锡一模)如图3­19所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，设物体间最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，下列说法正确的是( )
【导学号：17214052】
图3­19
A．B的向心力是A的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A有沿半径向外滑动的趋势，B有沿半径向内滑动的趋势
D．增大圆盘转速，发现A、B一起相对圆盘滑动，则A、B之间的动摩擦因数μA大于B 与盘之间的动摩擦因数μB
BD [A、B两物体一起做匀速圆周运动，质量相等，角速度相等，转动的半径相等，可知A、B的向心力相等，故A错误．对A分析，有：f A＝mrω2，对A、B整体分析，f B＝2m·rω2，可知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，故B正确．A所受的摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的摩擦力指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C错误．增大圆盘转速，发现A、B一起相对圆盘滑动，则B与圆盘之间达到最大静摩擦力时，A与B之间还未达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律知，A、B之间的动摩擦因数μA大于B与盘之间的动摩擦因数μB，故D正确．] 11．(多选)(2017·南京四模)如图3­20所示，光滑的轻杆OA可绕竖直轴OO′旋转，且OA 与OO′轴间夹角θ始终保持不变，质量为m的小球套在OA杆上，可在杆适当位置处随杆做水平面内的匀速圆周运动，下列说法正确的有( )
图3­20
A．小球在任何两位置随杆在水平面内做匀速圆周运动的加速度大小都相等
B．杆的转速越大，小球随杆做水平面内匀速圆周运动的位置越高
C．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，只要受到微小的扰动，就会远离该位置D．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，若杆转速突然增大，由于杆对球的弹力垂直于杆，杆不会对小球做功
AC [根据牛顿第二定律得：mg
tan θ＝ma，解得：a＝
g
tan θ
，可知小球在任何位置随杆
在水平面内做匀速圆周运动的加速度大小都相等，故A正确．根据牛顿第二定律得：
mg
tan θ
＝mr(2πn)2，转速增大，由于合力大小不变，则r减小，即小球随杆在水平面内做匀速圆周运动的位置越低，故B错误．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，只
要受到微小的扰动，速度增大或减小，根据
mg
tan θ
＝m
v2
r
知，合力大小不变，则r增大或
减小，即远离该位置，故C正确．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，若杆转速突然增大，由B选项知，小球随杆在水平面内做匀速圆周运动的位置越低，做圆周运动的半径减小，则线速度变小，根据动能定理知，重力做正功，动能减小，则杆对球的弹力做负功，故D错误．]
●考向2 竖直平面的圆周运动
12．(2017·南通模拟)如图3­21甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断中正确的是( )
【导学号：17214053】
甲乙
图3­21
A ．b 可以等于0
B ．可求出重力加速度g
C ．绳长不变，用质量不同的球做实验，得到的图线斜率不变
D ．绳长不变，用质量较大的球做实验，图线b 点的位置将往右移
B [小球在竖直面内做圆周运动，在最高点的最小速度v ＝gl ，故b 不可能为零，故A
错误；当F ＝0时，根据表达式有：mg ＝m v 2l ，解得g ＝v 2l ＝b l ，故B 正确；根据F ＝m v 2
l －
mg 知，图线的斜率k ＝m
l
，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率变小，故C 错误；
当F ＝0时，g ＝b l
，可知b 点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b 点的位置不变，故D 错误．]
热点模型解读| 竖直轨道运动模型
(对应学生用书第16页)
1．模型展示
圆周运动与超重、失重
[典例] (多选)(2017·湖北黄石三模)如图3­22所示，竖直面内有个光滑的3/4圆形轨道固定在一水平地面上，半径为R ．一个质量为m 的小球从距水平地面正上方h 高处的P 点由静止开始自由下落，恰好从N 点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是( )
【导学号：17214054】
图3­22
A ．适当调整高度h ，可使小球从轨道最高点M 飞出后，恰好落在轨道右端口N 处
B ．若h ＝2R ，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg
C ．只有h 大于等于2．5R 时，小球才能到达圆轨道的最高点M
D ．若h ＝R ，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R 的位置，该过程重力做功为mgR 【解题指导】 小球到达圆形轨道最高点的最小速度为v ＝gR ，水平抛出后，竖直方向R ＝12gt 2
，水平方向x ＝vt ，解得水平距离x ＝2R ＞R ，选项A 错误；若h ＝2R ，小球
到达最低点速度为v 1，则mgh ＝12mv 21，F N －mg ＝mv 2
1
R ，解得F N ＝5mg ，由牛顿第三定律可知，
选项B 正确；由机械能守恒定律mg (h min －2R )＝12
mv 2
，解得h min ＝2．5R ，选项C 正确；若
h ＝R ，该过程重力做功为零，选项D 错误．
【答案】 BC
[拓展应用] (2017·江西名校联考)如图3­23甲所示，质量m ＝1 kg 的物体以v 0＝4 m/s 的初速度从水平面的某点向右运动并冲上半径R ＝0．1 m 的竖直光滑半圆环．物体与水平面间有摩擦．。