高数讲义上册总复习

a
0
若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例1：求
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
例2：求 2 ( x 3 sin 2 x ) cos 2 x d x
（特别关注）
4.已知函数 f (x) 满足:
1
0
f
(ux)d u
1 2
f
(x) 1,
1
0 f ( x)d x
1,
求 f (x) .
答案： f ( x) 2(1 x).
2。二阶常系数非齐次微分方程的通解
（非齐项为 e x Pm ( x) 类型）
重点： y py qy e x Pm ( x)
六、综合证明题
（1）用单调性证明不等式
（2）利用积分中值定理和罗尔定理 证明含有中值的等式
（3）零点定理（熟练掌握函数的构造方法）
所确定,
求
d2 dx
y
2
.
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的 设
4. 函数的单调性判别，极值 5. 求曲线的凹凸区间及拐点, 例如:
例1 设 y 1 arctan 1 x2 1 ln 1 x2 1 ,
2
4 1 x2 1
求 y.
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例3：求曲线
y x2, 2
y
1 1 x
2
与直线
x
3
x 3 所围成的图形的面积。
（2）旋转体的体积
例：求曲线 x2 y2 1 与 y2 3 x 所围成的
2
两个图形中较小的一块分别绕 x 轴和 y 轴旋 转产生的旋转体的体积。
x
(t)dt
0
0
求 (x)
（3）线性微分方程的通解结构
例1：求具有特解 y1 e x , y2 2xex , y3 3e x
的三阶常系数齐次线性微分方程。
例2：设 y e x (C1 sin x C2 cos x) 为某二阶常系数齐次
线性微分方程的通解，求其微分方程。
（4）求可分离变量微分方程的通解
3
1 | 2 x |d x
sin 3 x sin 5 x d x 0
2 max ( 1,
x
2
)
d
x
0
（3）积分上限函数求导
例：求由方程
y e t dt
x
cos t d t 0
0
0
所决定的隐函数 y 对 x 的导数 d y
dx
（4）定积分的换元法和分部积分法
例1：设 f (x) 有一个原函数 sin x ，求
例1：设 f ( x) e x , 求
f '( ln x) d x x
（2）有理函数的不定积分
例2：求
(1
2x
1 ) (1
x
2)
d
x
例3：求
x
x5 2 6x
13
d
x
（3）不定积分和 定积分的性质
四、定积分的计算
重点： （1）对称性在定积分计算中的应用
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f (x) ] d x
2
例3 计算 1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
（2）分段函数的积分
例1：设
f (x)
1 x2 ex
x0 ,求
x0
3
f ( x 2) d x
1
例2：设
1
f
(x)
1 x 1
1 e x
x0 x0
求
2
f ( x1) dx
0
类似地有被积函数为绝对值或开根号，例如
0, 不是特征根, y* xkexQm ( x) , k 1, 是单特征根,
2, 是重特征根.
例1 求方程 y 6 y 9 y e3x 的通解.
例2 求方程 y 3 y 2 y ( x2 1)e x 的通解.
例3 设函数 ( x)连续，且满足
( x) e x
x
t (t)dt x
六、微分方程
（1）一阶线性微分方程的通解
例1 已知函数 f (x) 满足:
t
f
(t)
1
t
0
s2
f
(s)d
s,
求 f (x) .
例2：已知函数 f (x) 满足:
f
(
x)
e
0
x
f (lnt )d t
eex
求 f (x) .
例3：解微分方程 y d x ( x y 3 ) d y 0 ( y 0 )
例2：设 y (1 x2 )arctan x , 求 d y
例3 设 y f (ln x)e f ( x) , 其中 f ( x) 可微, 求 dy . dx
例4：已知
y f (3x2) , 3x2
f '( x) arctan x 2 ,
求 dy d x x0
三、不定积分
重点： （1）凑微分法与分部积分法
x
x f '(x)d x 2
3
e4
例2 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
例3
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
（5）反常积分的计算
(a 0)
五、定积分的应用
（1）平面图形的面积
例1：设曲线 L1 : y a x2 (a 0) 将圆 L2 : x2 y2 8 分为两部分，两部分面积之比为 1 : 3 ， 试确定 a 的值
高数复习重点（上）
一、函数、极限与连续 1. 求极限问题 重点：（1）重要极限，如
（2）等价无穷小替换，如
（3）无穷小比较
（4） 洛必达法则
例：求极限
1 e t 2 d t
lim cos x
x 0
x2
求极限 lim(sin 2 cos 1 )x
x
x
x
( 0 型) 0
一、函数、极限与连续
2. 函数的连续性 重点： （1）由分段函数在分段点的连续性
例 讨论函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在 x 0处连续.
e x , x 0,
（2）间断点（包括类型）的判别
二、导数、微分及导数的应用
1. 导数的几何意义 重点: 曲线的切线和法线方程 2. 隐函数或参数方程的二阶求导
例如:函数方程
设函数y f ( x)由方程x y y x( x 0, y 0)