华东师大版九年级数学上册第24章《解直角三角形》PPT课件

关系
A 34°
C
D
E
实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高
度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．
我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定 理），那么它的边与角又有什么关系？
当堂练习
某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用 涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡 住的E处停止行走； ④测得DE的长就是河宽AB． 请你证明他们做法的正确性．
D
B
C
二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
例
Rt△ABC中，∠ACB=90 °，∠A=30°，求证：BC=
1 2
AB.
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD=
1 2
AB.
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） A
∵ ∠A=30°，
∴ ∠B=60°，
对此，你
能得出什
D
课堂小结
利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻， 物高与影长成比例. 利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角 相等.
第24章 解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
学习目标
1.理解直角三角形及在实际生活中的应用；（重点） 2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会
华东师大版九年级数学上册第24 章《解直角三角形》PPT课件
24.1 测量
学习目标
1.能够借助刻度尺等工具进行测量；（重点） 2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度； (重点) 3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点）
观察与思考 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时， 你也许很想知道，操场旗杆有多高？
【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全 等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的 正确性． 【解答】证明：如图，由做法知： 在Rt△ABC和Rt△EDC中，
ABC EDC 90，
BC DC，
ACB ECD，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）， ∴AB=ED， 即他们的做法是正确的．
1
∴CD＝AD＝BD＝ 2 AB.
B
D
A
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD=
1
2 AB.
思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.
【证明】延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
∵ CD是斜边AB的中线，
A
∴ AD=BD.
课堂小结
性质1 直角三角形两个锐角互余
性质2 直角三角形的勾股定理
性质3 性质4
直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半
直角三角形30⁰角所对直角边等 于斜边的一半
第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数 第1课时
学习目标
1.理解锐角三角函数的定义；（重点） 2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点）
探究过程中的乐趣.（难点）
观察与思考 问题1 什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
A
直角三角形可表示为：Rt△ABC
直
角
斜边
边
C
直角边
B
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之 间有什么关系？
问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？ （1）直角三角形的两个锐角___互__余____； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和__等__于__斜边的
A a 2 c
b 2 c
a2 b2 c2
பைடு நூலகம்
c2 c2
1
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
探究归纳
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻 边比值也是唯一确定的吗？
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
探究归纳
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是 否也确定了呢？为什么？
斜边c
B 对边a
A
邻边b C
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝
3.量出测倾器的高度AD=1.5米.
B′
A′
C′
你知道计
算的方法
吗？
A 34°
B
BC AC BC AC
C
D
E
1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；
3.量出测倾器的高度AD=1.5米. (精确到0.1米)
B
本章主要探 究的内容就 是直角三角 形中的边角
于1吗？
B
┌
A
C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1.
对于锐角∠A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定
的值与它对应.
当堂练习
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB
可由哪两条线段比求得.
解：在Rt△ABC中，sin
B
AC AB
C
在Rt△BCD中，sin
B
A
C
探究归纳
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较
中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角
形试一试，你的发现相同吗？
B
我们来验证一下！
D
A
C
直角三角形的性质之一 ➢在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言表述为： C
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
E
又∵ DE=CD，
∴ 四边形ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90⁰，
D
∴ ACBE是矩形，
∴ CE=AB.
CD 1 CE 1 AB
B
∟
C
22
练一练 1.已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为 __5_c_m__.
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=__5_0_°_ ，∠B=__4_0_°_.
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=___8___.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，则 BC= 5 ，理由是30°所对直角边是斜边的一半 .
锐角三角函数定义及三角函数之间的关系
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝
平方.
下面我们探索直角三角形的其 他性质
一 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
问题引导
1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º，那么
B
△ABC是直角三角形吗？
是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
有什么关系？
AB2=AC2+BC2
A
C
所以BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k sin A BC 8k 8 ,
AB 17k 17 tan A BC 8k 8
AC 15k 15
4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空.
(1) tanA = B
(BC) = CD
AC
( AD)
你可能会想到利用相 似三角形的知识来解
决这个问题．
你能设计出一种测 量的方案吗？
用不同的方案进行测量
要求 ：（1）画出测量图形； （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量 的数据)； （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.
影长法
A E
B
C DF
比例式:
AB BC ED DF
旗杆影长
又∵ AC AB 2 BC 2 102 62 8 A
cos A AC 4 , tan A BC 3
AB 5
AC 4
B 10
6
C
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ 15 ，求sinA、
17
tanA的值．
B
解：∵ cos A AC 15 AB 17
设AC=15k，则AB=17k
标杆影长
平面镜法
比例式: AB AE CD CE
人 平面镜
标杆法 标杆
A H
E
F
G
B
C
D
比例式: HF GF AE GE
∴AB=AE+EB 人
你能利用
测倾器法
B
这些数据
算出旗杆
的高度吗？
A 34°
C
D
E
1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；
如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α， 问： BC 与 B′C′ 有什么关系？
AC A′C′
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽
Rt△A′B′C′，
所以
BC
AC ＝
B′C′ A′C′
即 BC
B′C′ ＝
AC A′C′
在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
归纳
A的对边记作a, B的对边记作b, C的对边记作c.
如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫
做∠A的 正切，记作 tanA.
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
一个角的正切 表示定值、比 值、正值.
延伸
思考：锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大
∠A'＝α，那么 BC与 B'C'有什么关系．能解释一下吗？
AB A' B'
B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB BC B'C' B' C' A' B' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值．
D
A
C (2) tanB=
(AC) = CD
BC
( BD)
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ， 4
求：sinA、cosB的值．
解：tan A BC 3
B
AC 4
AC 8
BC 3 AC 3 8 6
4
4
C
8
A
AB AC 2 BC2 82 62 10
∴ △CDB是等边三角形， 么结论？
∴ BC=BD= 1 AB.
2
B
C
当堂练习
1.如图，在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC， AD⊥AC 于点A，BD=3，则BC=__9____.
A
B
D
C
2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E， 交BC边于点D，BD=16cm，则AC的长为___8_cm__.
引出定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把 锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦
斜边 c
B a 对边
（sine），记作sinA 即
A bC
sin
A
A的对边 斜边
a c
例如，当∠A＝30°时，我们有 sin A sin 30 1 2
当∠A＝45°时，我们有 sin A sin 45 2 2
CD BC
因为∠B=∠ACD，所以 A
D
B
sin B sin ACD AD AC
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为
求和它相等角的正弦值.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， 求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵sin A BC AB
sin A BC 6 3 AB 10 5
∠B'＝α，那么
AC与
AB
A' A'
C' 有什么关系．能解释一下吗？
B'
B'
B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B'C' A' B'
BC B'C' AB A' B'
归纳
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值．
引出定义：
当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的，
我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作
cosB，即
cos B
B的邻边 斜边
a c
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
sin
A
A的对边 斜边
=
a c
余弦
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
sin2
A cos2
A E
B
D
C
3.如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的
中点，试说明：MN⊥DE.
解：连结EM、DM.
A
∵BD、CE是高，M是BC中点，
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
1
1
EM = BC ， DM = BC ，
N E
D
2 ∴EM=DM.
2
B
M
C
又∵N是ED的中点，
∴MN⊥ED