平面直角坐标系中的伸缩变换

高中数学：平面直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，
y ′＝13y 后的图形．
(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.
解：伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，
y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝3y ′， (1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，
所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．
(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，
则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．
1.伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧
x ＝x ′λ，y ＝y ′μ
代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程． 提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换
后的坐标(x ′，y ′)． 2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．
(1)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．
解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎨⎧ x ＝x ′3，y ＝2y ′，
代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，
即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，
因此曲线C ′的焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)．
(2)求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．
解：由⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝y ′.① 将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，
即x ′2＋y ′2＝1.
因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.。