三年级思维拓展-格点与面积

格点与面积
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学学习中，为了更好的解决问题，聪明的人类也创造了一种“工具”。

就是我们这一讲主要学习的内容——格点与面积，它主要是教会我们利用格点来求出几何图形的面积。

首先来介绍什么是“格点”。

如下图：
这是一张水平线和垂直线两两相交组成的方格纸，我们把其中的交点称为“格点”，每个正方形格点称为“面积单位”。

图中阴影部分就是一个“面积单位”。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小，利用格点来求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；而是将某些图形转化成为我们所学过的基本图形来求面积。

当然，两种方法也可以相结合使用。

精选例题
【例1】：求下面各图形的面积。

☝思路点拨：
先仔细观察图形中的每个图形，选择适合的方法。

显然一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位。

而二、四、五图不好数，可以采用扩展或是割补成长方形，再通过长方形的面积来求。

当然，这些都是一些规则的图形，可以直接根据面积公式来求。

☝标准答案：
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6.（2）方法①：将图形平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积单位为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积为3×2=6.
方法②：可以直接由平行四边形的面积=底×高，即3×2=6.
（3）方法①：将图形中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来就是2个面积单位，所以它的面积是2 。

方法②：三角形的面积=底×高÷2，即图中三角形的面积等于
2×2÷2=2。

（4）方法①：图中可以将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形的面积为长方形的一半，所以它的面积为2。

方法②：利用面积公式，三角形的面积就为3×2÷2=3。

（5）方法①：将图中梯形补上一个和原来梯形方向颠倒的图形，形成一个大的长方形长方形的面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积是长方形的一半。

所以梯形的面积为18÷2=9。

方法②：利用图形的面积=（上底+下底）×高÷2，即（2+4)×3÷2=9。

（6）同（5）一样。

将其拼成较大的长方形或直接求面积，梯形的面积为（2+4）×2÷2=6。

✌活学巧用
1. 求下面各图形的面积。

2. 求下面各图形的面积。

3. 求下面各图形的面积。

4. 求下面图形的面积。

【例2】：求下面图形的面积。

☝思路点拨：
这个图形如果直接数格点并不好数，方法一是将其分割成2个三角形来求，这样就可以计算出图形的面积；方法二是将其拼凑为我们所学过的基本图形，如下图：
☝标准答案：
方法一：图中图形的面积为4×3÷2=6，6×2=12。

方法二：将图形切分成一个长方形BDEF，长方形的面积刚好等于图中所求面积，即4×3=12。

活学巧用
1. 求下面图形的面积。

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2. 求下面图形的面积。

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3. 求下面图形的面积。

4. 求下面图形的面积。

【例3】：求下面图形的面积。

☝思路点拨：
这个三角形中利用面积公式求面积，底和高都不好找，而且切割或是移动都较困难，最好的方法是将其想办法变成一个长方形。

再用长方形的面积减去多出的三个三角形的面积即可。

☝标准答案：
长方形的面积为6×4=24；
直角三角形Ⅰ的面积为6×2÷2=6；
直角三角形Ⅱ的面积为4×2÷2=4；
直角三角形Ⅲ的面积为2×4÷2=4。

所以所求三角形面积为24－6－4－4=10。

✌活学巧用
1. 求下面图形的面积。

2. 求下面图形的面积。

3. 求下面图形的面积。

4. 求下面图形的面积。

【例4】：求下面图形的面积。

☝思路点拨：
看到这样一个不规则的图形，我们首先想到的是将它分成我们学过的几个规则的图形。

这样，上图就可以分成一个三角形、一个正方形以及一个长方形，再来分别计算它们的面积，最后全部加起来即可。

☝标准答案：
图中三角形ABK的面积为2×3÷2=3；
正方形BCHK的面积为2×2=4；
长方形DEGF的面积为4×1=4；
则所求组合图形的面积为3+4+4=11。

✌活学巧用
1. 求下面图形面积。

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2. 求下面图形的面积。

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3. 求下面图形的面积。

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4. 求下面图形的面积。

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【例5】：求下面小猫图的面积。

思路点拨：
这个小猫图不管是割补还是平移，都不太好做。

根据皮克定理的面积公式，边界上的点数÷2+内部的点数－1。

该图形边界上的点数为20个，内部的点数为2个，所以小猫图形的面积为20÷2+2－1=11。

☝标准答案：
所求小猫图形的面积为 20÷2+2－1=11。

✌活学巧用
1.求下面图形的面积。

2. 求下面图形的面积。

3. 求下面图形的面积。

4. 求下面图形的面积。