第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布
热力学和统计物理的关系：
热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：
设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：
1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε
用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：
① 一维谐振子
在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙
=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2
ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2
ε=ω+ ② 转子
在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.
与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙
θϕ=θ=θϕ
质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ
在量子力学中，转子的能量是：2
M 2I
ε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=
③ 自由粒子
在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2m
ε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为
x x x 2p n ,n 0,1,2,L π=
=±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π=
=±± z z z 2p n ,n 0,1,2,L
π==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为
22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L
++πε=++=
态密度：
在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为23
4V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为
312232V D()d (2m)d h
πεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

全同粒子和近独立粒子：
全同粒子组成的系统是由具有完全相同的内禀属性（相同的质量，电荷，自旋等等）的同类粒子组成的系统。

近独立粒子组成的系统，是指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而忽略粒子之间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。

微观粒子全同性原理：
全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全通粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。

量子粒子的分类：
①费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。

如：电子，质子，中子等。

②波色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。

如：光子， 介子等。

泡利不相容原理：
由费米子组陈的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理：在含有多个全同近独立粒子的系统中，一个个体量子态最多容纳一个费米子。

注意波色子处在同一个体量子态的数目是不受限制的。

波尔兹曼系统，波色系统，费米系统：
波尔兹曼系统是由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

波色系统是由不可分辨的全同近独立的波色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

费米系统是由不可分辨的全同近独立的费米子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统。

等概率原理：
对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

分布和微观状态：
设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N ，能量E 和体积V 。

以l (l 1,2,)ε= 表示粒子的能级，l ω表示能级l ε的简并度。

N 个粒子在各能级的分布如下： 能 级：12l ,,,,εεε
简并度：12l ,,,,ωωω
粒子数：12l a ,a ,,a ,
对于一个有确定的N,E,V 系统，分布{}
l a 必须满足条件： l l a N ∑=,l l l
a E ∑ε=.
三种统计的微观状态数：
① 波尔兹曼系统 微观状态数：l a M.B.l l l l N!a !Ω=
ω∏∏ 最概然分布：l l l a e
-α-βε=ω 粒子数：l l l l l N a e -α-βε=
=ω∑∑ 能量：l l l l E e -α-βε=
εω∑ ② 波色系统 微观状态数：M.B.B.E.N!
ΩΩ= 最概然分布：l l
l a e 1
α+βεω=- 粒子数：l l
l
N e 1
α+βεω=-∑ 能量： l
l l l E e 1α+βεεω=
-∑ ③ 费米系统
微观状态数：M.B.F.D.N!
ΩΩ= 最概然分布：l l l a e 1
α+βεω=+ 粒子数：l l l N e 1
α+βεω=+∑ 能量：l
l l l E e 1α+βεεω=
+∑ 三种分布的关系：
经典极限条件（非简并性条件）：l l
a 1ω ，也可以写成e 1α ，在经典极限条件下，定域系统和波色（费米）系统虽然遵从同样的分布，但是微观状态数不相同。