2014届高考理科学数学第一轮复习导学案2

第2章函数
学案4函数及其表示
导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．
(2)函数的三要素
________、________和__________．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________.
(4)函数相等
如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．
2．映射的概念
(1)映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．
(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测
1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．
2．(2010·湖北改编)函数y ＝1
log 0.5(4x －3)
的定义域为________．
3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (1
9))＝
________.
4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．
①y ＝x 2
x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .
5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．
探究点一 函数与映射的概念
例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；
(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；
(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．
变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．
探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：
(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0
lg (2－x )
；
(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．
变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)
1＋lg (x ＋1)
的定义域是___________________．
探究点三 求函数的解析式
例3 (1)已知f (2
x ＋1)＝lg x ，求f (x )；
(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；
(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1
x )＝3x ，求f (x )．
变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．
探究点四 分段函数的应用
例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋bx ＋c ， x ≤0，
2， x >0.
若f (－4)＝f (0)，f (－
2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．
变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，
1， x <0，
则满足
不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．
1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立
问题来解决．
2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．
①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3
，y 2＝x －5；
②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；
④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3
x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.
2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2(x ≤－1)，x 2
(－1<x <2)，
2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则
x 的值为________．
4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)
－x 2
－3x ＋4
的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．
6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函
数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2， x ≥0，
－x 2，x <0
的图象是抛物线．其中正确的命题个数为
________．
7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x 2
(x ≤1)
2 (x >1)，则f [g (3)]＝
________，g [f (－1
2)]＝________.
8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，
则实数a ＝______.
二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；
(3)若函数f (x )＝x
ax ＋b
，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )
的表达式．
10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．
11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－0.4x 2
＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？
答案 自主梳理
1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义
域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射
自我检测 1．③
解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；
对于题图②：M 中属于(4
3，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．
2．(3
4，1) 3.14 4．③
5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；
②当a ≠0时，应有⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a <0， ∴0<a <4.
综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区
例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
答案 (2)
解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1 (1，＋∞)
解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．
例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？
解 (1)要使函数有意义，
应有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，
x －1≠0，2－x >0，
2－x ≠1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥－1，x ≠1，x <2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x <2，
x ≠1.
所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，
∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．
变式迁移2 (－1，－910)∪(－9
10，2] 解析
由⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0
得－1<x ≤2且x ≠－9
10.
即定义域为(－1，－910)∪(－9
10，2]．
点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－9
10是错误的．
例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现
其他未知量，如f (－x )、f (1
x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2
t －1
，
∴f (t )＝lg 2
t －1，
∴f (x )＝lg 2
x －1
，x ∈(1，＋∞)．
(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)
则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b
＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.
(3)2f (x )＋f (1
x )＝3x ，①
把①中的x 换成1
x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3
x ，②
①×2－②，得3f (x )＝6x －3
x ，
∴f (x )＝2x －1
x (x ≠0)．
变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.
则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1. 又f (0)＝3，∴
c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.
例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．
②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．
③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．
答案 3
解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
(－4)2
＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2
＋b ·
(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.
当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；
当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．
方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．
变式迁移4 (－1，2－1)
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，
1， x <0的图象如图所示：
f (1－x 2
)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2
>2x
1－x 2
>0
， 解得－1<x <2－1.
课后练习区 1．④
解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．
2．0或1
解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．
3. 3
解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.
4．(－1,1) 5．∅或{1}
解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，
故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1
解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
7．7 3116 8．2
9．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)
即有⎩⎪⎨⎪⎧
2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1
，
解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x
3＋1.……………………………………………………(8分)
(3)由f (2)＝1得2
2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；
由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1
ax ＋b
－1)＝0，解此方程得x ＝
0或x ＝1－b
a ，…(10分)
又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2x
x ＋2
.……………………………………………………………………………(12分)
10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；
当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .
…………………………………………
…………(8分)
图象如图所示．
………………………………………………………………………
……………………(14分)
11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)
(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.
当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，
得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)
当x >5时，有8.2－x >0，
得x <8.2，所以5<x <8.2.
综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)
(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.
故当x ＝4时，f (x )有最大值
3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝
3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品
售价为R(4)
4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/
台)．…………………………………………………………………………（16分）。