新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（ ）
A ．BD EF =
B ．AD BD =
C ．BE AC ⊥
D ．B
E 平分ABC ∠ 2．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45
F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．231+
D ．232+ 3．如图，在ABC 中，D ，
E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，
F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
4．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）
A ．::a b CD BC =
B ．D ∠的度数为α
C ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABC
D 面积的一半
D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433
a b + 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A ．当A
B B
C =时，四边形ABC
D 是菱形
B ．当A
C B
D ⊥时，四边形ABCD 是菱形
C ．当90ABC ∠=时，四边形ABC
D 是矩形
D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形
6．下列命题中，错误的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是梯形；
B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
C ．对角线相等的平行四边形是矩形；
D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．
7．下列命题中，正确的命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分且相等
B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（ ）
A ．4
B ．8
C 13
D ．6
9．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③ 10．如图，已知在正方形ABCD 中，
E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到D
F ，延长EF 交AB 于点
G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
12．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）
A ．12a
B ．25a
C 3
D 3 二、填空题
13．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．
14．如图，在菱形ABCD 中，13cm AB =，24cm AC =，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为________cm ．
15．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是对角线BD 上一动点（点O 与端点B ，D 不重合），OM ⊥AD 于点M ，ON ⊥AB 于点N ，连接MN ，则MN 长的最小值为_____．
16．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 17．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．
18．如图，点E 是长方形纸片DC 上的中点，将C ∠过E 点折起一个角，折痕为EF ，再将D ∠过点E 折起，折痕为GE ，且C ，D 均落在GF 上的一点H 处．若1649'∠=︒，则CEF ∠=_______．
19．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．
20．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．
三、解答题
21．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．
（1）求证：PBE QDE ≅△△；
（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．
22．（1）如图，已知线段a ，c ，求作Rt ABC ，使得90C ∠=︒，BC a =，AB c =；
（2）在Rt ABC 中，斜边AB 边上的中线长为5，7BC =，试比较AC ，BC 的大小． 23．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．
（1）求证：AE DF =；
（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
24．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是AC 上的两点，并且
AE CF =，连接DE ，BF ．
（1）求证：△≌△DOE BOF ；
（2）若BD EF =，连接EB ，DF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由． 25．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．
（1）求证：AE CF =；
（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．
26．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．
（1）求证：四边形
CMAN 是平行四边形； （2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．
【详解】
解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，
理由：∵DE ∥BC ，
∴∠DEB=∠EBC ，
∵∠EBC=∠EBD ，
∴∠EBD=∠DEB ，
∴BD=DE ，
∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴四边形DBFE 是平行四边形，
∵BD=DE ，
∴四边形DBFE 是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．D
解析：D
【分析】
连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2
中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，
根据勾股定理，可得：1GI =，3HI
，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．
【详解】
解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，
∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．
∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，
则有：90EFH
，45EHF HEF ∵
45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,
又∵GI HF ，2MN =，
∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI
， 则有1FI
GI ， ∴31EF HF HI FI ， ∴正方形的对角线2231232AC
EF ，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE ，根据题意求出EF ，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12
BC=6， ∵DE=3DF ，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E 是AC 的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出
30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE =
=，
DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形
ABCD 的周长2())AB AD a b =+=
+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，
ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，
180D C ∴∠+∠=︒，
AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，
360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，
B D EAF α∴∠=∠=∠=；
平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，
BC a CD b ∴⨯=⨯，
::a b CD BC ∴=；若60α=︒，
则60B D ∠=∠=︒，
30BAE DAF ∴∠=∠=︒，
BE AE ∴==，DF =，
2AB BE ∴==，2AD DF ==，
∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；
ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积
21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积
BC AE a =⨯=
⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当=时，它是菱形，故本选项不符合题意；
AB BC
⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD
形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90
∠=时，四边形ABCD是
ABC
矩形，故本选项不符合题意；
=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD
形，故本选项符合题意；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
6．A
解析：A
【分析】
根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．
7．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是
解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中
线性质得出OH＝1
2
AB，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝1
2
BD，
∵菱形ABCD的面积＝1
2×AC×BD＝
1
2
×12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝1
2
BD＝4；
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜
边上的中线性质求得OH=1
2 BD．
9．D
解析：D
【分析】
①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE；
③由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=1
2 AC；
④可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB 的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积+△BNE的面积；
【详解】
解：①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，
∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．
∴∠DBM=∠CDE，故①正确；
②由①得∠DBM=∠CDE ，如果BN=DN ，则∠DBM=∠BDN ，
∴∠BDN=∠CDE ，
∴DE 为∠BDC 的平分线，
∴△BDE ≌△FDE ，
∴EB ⊥DB ，已知条件∠ABC=90°，
∴②错误的；
③在△BDM 和△DEF 中，
DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDM ≌△DEF （AAS ），
∴BM=DF ，
∵∠ABC=90°，M 是AC 的中点，
∴BM=
12AC ， ∴DF=12
AC ， 即AC=2DF ；故③正确．
④由③知△BDM ≌△DEF （AAS ）
∴S △BDM =S △DEF ，
∴S △BDM -S △DMN =S △DEF -S △DMN ，即S △DBN =S 四边形MNEF ．
∴S △DBN +S △BNE =S 四边形MNEF +S △BNE ，
∴S △BDE =S 四边形BMFE ，故④错误；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S △BDE =S 四边形BMFE 是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=1
2
（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
11．D
解析：D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于24
5
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不
是同一条，可得正确的为D选项．
【详解】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，
∴2222
8610
AB AC BC
+=+=，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，∠BCD=90°，
由翻折不变性可知：BC=BO，
∴BC=OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠EBC=∠EBO=30°，
∴BE=2CE
根据勾股定理得：
3
a，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三
角形．
二、填空题
13．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB再以E为圆心EA为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD中∠AEB=105°∵点P在正
解析：60°或90°或150°
【分析】
首先根据题意作出正方形以及∠AEB，再以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，分类讨论即可．
【详解】
如图所示，在正方形ABCD中，∠AEB=105°，
∵点P在正方形的边上，且AE=EP，
∴可以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，
①当P在AD上时，如图，AE=EP1，
∵∠EBA=45°，
∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP1=60°，△EAP1为等边三角形，
∴此时∠AEP1=60°；
②当P在CD上时，如图，AE=EP2，AE=EP3，
由①可知∠DEP1=180°-105°-60°=15°，
∴此时∠DEP1=∠DEP2=15°，∠CEP2=∠AEP1=60°，
∴此时∠AEP2=60°+15°+15°=90°；∠AEP3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，
故答案为：60°或90°或150°．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．
14．10【分析】连接对角线BD交AC于点O证四边形BDEG是平行四边形得EG＝BD利用勾股定理求出OD的长BD＝2OD即可求出EG【详解】解：连接BD 交AC于点O如图：∵菱形ABCD的边长为13cm∴A
解析：10
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【详解】
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm，
∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ EF//BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝1
AC＝12cm，OB＝OD，
2
又∵AB//CD，EF//BD，
∴DE//BG，BD//EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，
∴OB＝OD22
-=cm，
13125
∴BD＝2OD＝10cm，
∴EG＝BD＝10cm；
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
15．1【分析】连接AO可证四边形AMON是矩形可得AO＝MN当AO⊥BD时AO有最小值即MN有最小值由等腰直角三角形的性质可求解【详解】解：如图连接AO∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BD＝AB＝
解析：1.
【分析】
连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得AO＝MN，当AO⊥BD时，AO有最小值，即MN有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD2BD2＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝1
BD＝1，
2
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，利用矩形的对角线相等，把线段MN的最小值转化为线段AO的最小值是解题的关键. 16．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半
解析：9
【分析】
根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．
【详解】
解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．
故答案为9．
【点睛】
主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．17．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG分别是的中点∴∵分别是BEBC的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析：5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF、GH的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】
F ，
G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142
GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132
GH CE =
=， ∵∠FGH =90°，
∴由勾股定理得，
5FH ===，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1∠HEF=∠CEF 从而可求出∠DEH ∠CEF 的度数【详解】解：
∵∠GEH=∠1∴∠GEH=∴∠DEH=+=∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=故答案为：【 解析：2551'︒
【分析】
根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF ，从而可求出∠DEH ，∠CEF 的度数．
【详解】
解：∵1649'∠=︒，∠GEH=∠1，
∴∠GEH=649'︒，
∴∠DEH =649'︒+649'︒=12818'︒，
∴∠HEF=∠CEF=12
×(180°-12818'︒)=2551'︒， 故答案为：2551'︒．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键． 19．【分析】取AB 的中点E 则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB 的中点E 连接OEDE ∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE 中根据勾股定理得DE==
1
【分析】
取AB 的中点E ，则OE=1，.
【详解】
如图，取AB 的中点E ，
连接OE ，DE ，
∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线，AB=2，
∴OE=1，
在直角三角形DAE 中，
根据勾股定理，得DE=22DA AE +=2，
∴当O ，D ，E 三点共线时，DO 最大， 且最大值为2+1，
故应该填21+.
【点睛】 本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 20．【分析】由题意和图示可知将两个边长为1的正方形沿对角线剪开将所得的四个三角形拼成一个大正方形大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长根据正方形的性质利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可【详解】∵如 2
【分析】
由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．
【详解】
∵如图是两个边长为1的小正方形，
∴其对角线的长度22112=+=
，
∴2
2
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和勾股定理，熟练运用和掌握以上两个知识点是解题的关键． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
EB ED ∴=，//AB CD ，
EBP EDQ ∴∠=∠，
在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()PBE QDE ASA ∴≅△△；
（2）证明：如图所示：
PBE QDE ≅△△，
EP EQ ∴=，
同理可得EM EN =，
∴四边形PMQN 是平行四边形，
PQ MN ⊥，
∴四边形PMQN 是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）BC ＜AC
【分析】
（1）画射线BD ，以B 为端点取BC=a ，过点C 作BD 的垂线，再以点B 为圆心，c 为半径画弧，与该垂线交于点A 即可；
（2）根据直角三角形的性质得到AB ，利用勾股定理求出AC ，再比较大小即可．
【详解】
解：（1）如图，△ABC 即为所作；
（2）如图，直角三角形ABC中，
∠C=90°，D为AB中点，
则CD=5，BC=7，
∴AB=10，
∴AC=22
=51，
107
∵7=49＜51，
∴BC＜AC．
【点睛】
本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，勾股定理，实数的大小比较，解题的关键是依据题意作出图形．
23．（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可证得四边形AEDF是平行四边形，即可证得结论；
（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易证得△ADE是等腰三角形，又由四边形AEDF是平行四边形，即可证得四边形AEDF是菱形．
【详解】
（1）证明：∵DE∥AC，DF∥ AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF；
（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE ，
∴AE=DE ，
∵四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是菱形．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．
24．（1）见解析；（2）矩形，见解析
【分析】
（1）已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA ＝OC ，OB ＝OD ，由AE ＝CF 即可得OE ＝OF ，利用SAS 即可证明△BOE ≌△DOF ；
（2）四边形BEDF 是矩形．由（1）得OD ＝OB ，OE ＝OF ， 根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF 是平行四边形， 再由BD ＝EF ，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD 是矩形．
【详解】
（1）证明：
四边形ABCD 是平行四边形， OB OD ∴=，OA OC =． 又AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，
在DOE △和BOF 中，OE OF DOE BOF OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△≌△DOE BOF ．
（2）四边形EBFD 是矩形，理由如下： BD ，EF 相交于点O ，OD OB =，OE OF =，
∴四边形EBFD 是平行四边形．
又BD EF =，
∴四边形EBFD 是矩形．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键．
25．（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析
【分析】
（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；
（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
BE DF =，
OB BE OD DF ∴-=-，
即OE OF =，
又
AOE COF ∠=∠，
AOE COF ∴≌，
AE CF ∴=． （2）四边形AGCH 是菱形．
理由：AOE COF ≌，
EAO FCO ∴∠=∠，
//AG CH ∴，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
∴四边形AGCH 是平行四边形，
//AD BC ，
HAC ACB ∠∠∴=，
AC 平分HAG ∠，
HAC GAC ∠∠∴=，
∴GAC ACB ∠=∠，
GA GC ∴=，
∴平行四边形AGCH 是菱形．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）只要证明CM ∥AN ，AM ∥CN 即可．
（2）先证明△DEM ≌△BFN 得BN ＝DM ，再在Rt △DEM 中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ∥AB ，
∵AM ⊥BD ，CN ⊥BD ，
∴AM ∥CN ，
∴CM ∥AN ，AM ∥CN ，
∴四边形AMCN 是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN 是平行四边形，
∴CM ＝AN ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，
∴DM ＝BN ，∠MDE ＝∠NBF ，
在△MDE 和△NBF 中，
MDE NBF DEM NFB DM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MDE ≌△NBF （AAS ），
∴ME ＝NF ＝3，
在Rt △DME 中，∵∠DEM ＝90°，DE ＝4，ME ＝3，
∴DM ＝
222234DE ME +=+＝5，
∴BN ＝DM ＝5．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。