重庆市育才中学2020届高三数学下学期入学考试试题理[含答案]
重庆育才中学2019-2020学年高2020级高三下学期3月月考数学理科试题及答案word
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．[0，2]C．{0，2}D．（0，2）2．已知复数z＝，则（）A．z的虚部为﹣1B．z的实部为1C．|z|＝2D．z的共轭复数为1+i3．已知向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．4．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知某个几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+8πB．60πC．288+72πD．288+36π6．某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝（）A．7B．6C．5D．47．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝168．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③9．数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝，则a1a2a3…a10＝（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．11．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．＝．14．已知，设，则a1+a2+…+a n＝．15．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．三、解答题：共7小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc．（1）若tan B＝，求；（2）若B＝，b＝2，求BC边上的中线长．18．某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是，且每次投篮的结果互不影响．（1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥PD；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围；21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝aln（x+1）+2e x﹣（a+2）x﹣2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在以O 为极点．x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐b标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x+a|，（a∈R）（1）若f（1）＞3，求实数a的取值范围；（2）求证：f（﹣m）+f（）≥6．（m∈R）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．[0，2]C．{0，2}D．（0，2）【分析】由集合的交集的定义，即由两集合的公共元素构成的集合，即可得到所求集合．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，可得A∩B＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}．故选：A．2．已知复数z＝，则（）A．z的虚部为﹣1B．z的实部为1C．|z|＝2D．z的共轭复数为1+i【分析】化简已知复数可得其虚部，可得答案．解：化简可得z＝＝＝＝﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1，故选：A．3．已知向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】设向量和的夹角为θ，由条件求出的坐标，由cosθ＝求出cosθ的值，再由θ的范围求出θ的值．解：设向量和的夹角为θ，∵，，∴＝（4，2）﹣2（1，1）＝（2，0）．cosθ＝＝＝，再由0≤θ≤π，可得θ＝，故选：C．4．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．5．已知某个几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+8πB．60πC．288+72πD．288+36π【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，再由柱体体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，∴该几何体的体积是V＝，故选：D．6．某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝（）A．7B．6C．5D．4【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S＝，k＝5时，由题意此时应该满足条件，退出循环输出S的值，则可求a的值．解：初始条件S＝1，k＝1；运行第一次，S＝1+＝，k＝2；运行第二次，S＝+＝，k＝3；运行第三次，S＝+＝，k＝4；运行第四次，S＝+＝，k＝5，要输出的值是，必须条件满足，停止运行，所以k＞4？，可求a的值为4．故选：D．7．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：D．9．数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝，则a1a2a3…a10＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件，再写一式，两式相减，确定数列的通项，即可求a1a2a3…a10的值．解：n＝1时，a1＝∵∴n≥2时，两式相减可得2n﹣1a n＝∴a n＝n＝1时，也满足∴a1a2a3…a10＝＝＝故选：A．10．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得g（x）的解析式，再利用用三角函数的周期性，得出结论．解：根据函数的部分图象，可得A＝1，由图知．点是五点作图的第二个点，则，∴f（x）＝cos（2x﹣），∴，易知y＝g（x）与的最小正周期相同，均为，故选：A．11．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据条件和面积公式得出a，c的关系，从而得出离心率的范围．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝•|PF1|•r，＝•|PF2|•r，＝•|F1F2|•r，∵有成立，∴|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|，由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴a≤c，即，∴双曲线的离心率的范围是：．故选：B．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k＝﹣，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．解：∵函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，∴设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），∴2e﹣kx＝2lnx+2e，∴k＝﹣，，由k′＝0，得x＝e，∵≤x≤e2，∴x∈[，e）时，k′＜0，k＝﹣是减函数；x∈（e，e2]时，k′＞0，是增函数，∴x＝e时，k＝﹣；x＝e2时，k＝﹣＝﹣；x＝时，k＝﹣，∴k min＝﹣，k max＝﹣＝2e．∴实数k的取值范围是[﹣，2e]．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．＝2π．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）＝的几何意义，计算即可．解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．14．已知，设，则a1+a2+…+a n＝1023．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n＝10，再分别令x＝1、x＝2，可得a1+a2+…+a n的值．解：∵已知，∴n＝10，∵，即（3x﹣4）10＝a0+a1（x ﹣1）+a2（x﹣1）2+…a10（x﹣1）10，令x＝1，可得a0＝1；再令x＝2，可得1+a1+a2+…+a n＝210，∴a1+a2+…+a n＝210﹣1＝1023，故答案为：1023．15．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，分别求出每一种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32＝9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32＝9种选法，则一共有9+9＝18种选法；故答案为：1816．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值解：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，三、解答题：共7小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc．（1）若tan B＝，求；（2）若B＝，b＝2，求BC边上的中线长．【分析】（1）求出sin A，sin B，利用＝，得出结论；（2）求出BC，利用余弦定理可得结论．解：（1）由余弦定理可得cos A＝＝，∴sin A＝，∵tan B＝，∴sin B＝，∴＝＝；（2）B＝，b＝2，A＝，∴BC＝2，∴BC边上的中线长＝＝．18．某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是，且每次投篮的结果互不影响．（1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）根据二项分布求出即可；（2）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，求出概率，列出分布列，求出期望．【解答】解（1）设X为队员在5次投篮中投中的次数，则X～B（5，），在5次投篮中，恰有2次投中的概率P（X＝2）＝；（2）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6P（ξ＝0）＝；P（ξ＝1）＝3；P（ξ＝2）＝；P（ξ＝3）＝；P（ξ＝6）＝；ξ的分布列为：ξ01236PEξ＝＝19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥PD；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥PD．（2）设F（a，b，c），由BF⊥AC，求出F（），求出平面ABF的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），＝（0，1，1），＝（0，2，﹣2），＝0+2﹣2＝0，∴BE⊥PD．解：（2）∵F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，∴设F（a，b，c），＝，λ∈[0，1]，则（a，b，c﹣2）＝（2λ，2λ，﹣2λ），∴F（2λ，2λ，2﹣2λ），∴＝（2λ﹣1，2λ，2﹣2λ），＝（2，2，0），∵BF⊥AC，∴＝2（2λ﹣1）+2•2λ＝0，解得，∴F（），＝（1，0，0），＝（），设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣3，1），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设二面角F﹣AB﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角F﹣AB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围；【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，即可求出；（2）讨论①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设出直线AB的方程，可得CD的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围．解：（1）由题意：c＝1，＝，∴a＝，b＝c＝1，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时，S＝|AB|•|CD|＝×2×＝2②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），将其带入椭圆方程整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1﹣x2|＝同理，|CD|＝，则S＝|AB|•|CD|＝××＝＝＝2﹣∈[，2），当k＝±1时，S＝综上所述四边形面积范围是[，2]．21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝aln（x+1）+2e x﹣（a+2）x﹣2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断出函数的单调区间，结合g（x）≥0恒成立，确定a的范围即可．解：（1）由题知f′（x）＝（x＞0），①当a≤0时，恒有f′（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝，在上，有f′（x）＞0，f（x）单调递增；在上，有f′（x）＜0，f（x）单调递减．（2）由题知g′（x）＝（x≥0），由x≥0时，恒有e x≥x+1≥1，知g′（x）≥，①当﹣1≤0，即a≤2时，g′（x）≥0恒成立，即g（x）在x≥0上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0（合题意）；②当﹣1≤0时，即a＞2时，此时导函数有正有负，且有g′（0）＝0，由g′（x）＝﹣a﹣2，得g″（x）＝﹣，且g″（x）在x≥0上单调递增，当a＞2时，﹣1＞0，＝1，g''（0）＝2﹣a＜0，﹣1＞0，故g′（x）在上存在唯一的零点x0，当x∈[0，x0）时，g''（x）＜0，即g′（x）在x∈（0，x0）上递减，此时g′（x）≤g′（0）＝0，知g（x）在x∈（0，x0）上递减，此时g（x）＜g（0）＝0与已知矛盾（不合题意）；综合上述：满足条件的实数a的取值范围a≤2．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在以O 为极点．x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐b标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）将方程（α为参数），消去参数α得x2+y2﹣4x﹣12＝0，∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得：ρ2﹣4ρcosθ＝12，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣12＝0．（2）设A，B两点的极坐标分别为，，由，消去θ得，根据题意可得ρ1，ρ2是方程的两根，∴，ρ1ρ2＝﹣12，∴，∵直线l的普通方程为，∴圆C的圆心（2，0）到直线l的距离为，圆C的半径为r＝4，∴．23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x+a|，（a∈R）（1）若f（1）＞3，求实数a的取值范围；（2）求证：f（﹣m）+f（）≥6．（m∈R）【分析】（1）对a分3种情况去绝对值，解不等式再相并；（2）利用绝对值不等式可基本不等式可证．解：（1）不等式f（1）＞3即为|a+1|+|a+2|＞3．当a＜﹣2时，﹣2a﹣3＞3，得a＜﹣3；当﹣2≤a≤﹣1时，1＞3，无解；当a＞﹣1时，2a+3＞3，得a＞0．所以不等式f（1）＞3的解集为{a|a＜﹣3或a＞0}．（2）证明：f（﹣m）+f（）＝|﹣m+a|+|﹣2m+a|+|+a|+|+a|＝（|﹣m+a|+|+a|）+（|﹣2m+a|+|+a|）|≥|m+|+|2m+|≥2+4＝6．。
重庆育才中学初2020级2019—2020学年(下)模拟测试数学试题答案
∵ 2k1 1， 2k2 1 ， 2k3 12kn 1 为奇数
∴ (2k1 1)(2k2 1)(2k3 1) (2k n 1) 为奇数
∴任意一个的完全平方数的约数个数为奇数. ……………………………10 分
23. 解（1）由图表知：当 x 4 时， y 0
∴ 4a 2 0 ，解得 a 1 ……………………………………………………1 分 2
= 3x 7.........................................5分
（2）解：原式= a2 4 6a 13
a2
...............................3分
a2
2(a 3)(a 3)
= (a 3)2 (a 2) ...................................4分 (a 2) 2(a 3)(a 3)
则设一个完全平方数
a
可以表示为：
p 2k1 1
p 2k2 2
p 2k3 3
p 2kn n
（
p1
，
p2 ， p3 … pn 为互不相等的质数，
且 k1, k2 , k3 kn 为自然数）………………………………6 分
∴完全平方数 a 的约数个数为 (2k1 1)(2k2 1)(2k3 1) (2k n 1) 个……………7 分
②因为八年级的优秀率比七年级高………………………10 分（言之有理，酌情给分）
22. 解（1）∵ 3000 3103 3 (2 5)3 3 23 53 …………………………2 分
∴ 3000 的约数个数共有 2 4 4 32 个………………………………5 分
（2）由于一个完全平方数可以写成正整数的偶次方，
重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习(二)
重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习（二）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．37．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>8．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．09．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-10．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 11．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市育才中学2020届高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
重庆育才中学高2020级高三下3月月考数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. []0,2C. {}0,2D. ()0,2【答案】A 【解析】因为{}{|12},0,1,2,3A x x B =-≤≤=，所以{0,1,2}A B ⋂=，应选答案A． 2.已知复数21iz =-+，则（ ） A. 2z = B. z 的实部为1C. z 的虚部为1-D. z 的共轭复数为1i +【答案】C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--．则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1zi =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量()1,1a =r ，()24,2a b +=r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A.3π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出向量b r的坐标，然后代入向量夹角公式cos a b a bθ⋅=r r r r 即可得解. 【详解】因为()24,2a b +=r r ，()1,1a =r，所以()()()()4,224,22,22,0b a =-=-=r r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2θ==， 因为0θπ≤≤， 所以4πθ=，所以向量a r ，b r的夹角为4π， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题. 4.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．． ．A. 288+36B. 60C. 288+72D. 288+8【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21V 38866362882ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可． 6.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D 【解析】 【分析】本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可. 【详解】初始条件1S =,1K =；运行第一次，131122S =+=⨯，2K =； 运行第二次，3152233S =+=⨯，3K =； 运行第三次，5173344S =+=⨯,4K =； 运行第四次，7194455S=+=⨯，5K =，要输出的值是95，必须条件满足，停止运行，所以判断框填4?K >， 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题.7.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ） A. 22(2)(2)16x y ++-= B. 22221)6()(x y -+-= C. 22(2)(2)16x y -++= D. 22(2)(2)16x y +++=【答案】A 【解析】由()()21120m x m y m ++++=有()()220x y m x y ++++=，所以直线过定点()2,2-，则所求圆的方程为()()222216x y ++-=，故选择A.8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（ ） A. ②③ B. ③④C. ①④D. ①②【答案】A 【解析】对于命题①，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题④，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的，应选答案A ．9.数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=（ ） A. 551()2B. 1011()2-C. 911()2-D. 601()2【答案】A 【解析】 【分析】由题,当2n ≥时,得到22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,与题目中式子相减,即可得到12n n a =,进而求解【详解】解：n =1时,a 1=12, ∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=, ∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=, 两式相减可得2n -1a n =12, ∴12n na =, n =1时，也满足∴12310a a a a =L 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭L L , 故选A【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 10.函数()cos()(0,)2f x x πωϕωω=+><的部分图象如图所示，则函数3()()g x f x ϕπ=-的最小正周期为A. πB. 2πC. 4πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象求周期得ω，再根据点坐标求ϕ，最后根据()g x 图象确定周期.【详解】由图知7πππ2ππ241234T T ωω=-=⇒==⇒=，点π03⎛⎫⎪⎝⎭，是五点作图的第二个点，则πππ2326ϕϕ⨯+=⇒=-，∴()()3π1cos 2π62g x f x x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，由图象知()y g x =与π1cos 262y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期相同，均为2ππ2T ==，故选A.【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应特殊点求ϕ.11.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. (B. )+∞C. (D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a ，c 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设12PF F ∆的内切圆半径为r ， 则111=2IPF S PF r ∆⋅，221=2IPF S PF r ∆⋅，12121=2IF F S F F r ∆⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤，所以1212PF PF F -≤， 由双曲线的定义可知12=2PF PF a -，12=2F F c ，的所以2a ≤，即ca≥ 故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,a b c 的齐次式，再化简转化成关于e 的不等式即可得解，本题属于较难题.12.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D. 24[,)e-+∞ 【答案】B 【解析】 分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnxk x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.【二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.2-⎰=______.【答案】2π 【解析】 【分析】根据被积函数y =22x ≤≤）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数y =（22x ≤≤）表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，所以221=2=22ππ-⋅⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.14.已知46n n C C =，设()()()()201234111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则12n a a a +++=L _____． 【答案】1023 【解析】 【分析】根据组合数公式性质可得10n =；分别代入1x =和2x =求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+，作差即可得到结果.【详解】46n n C C =Q 10n ∴=即：()()()()2012101034111n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+- 代入1x =可得：()100341a -==代入2x =可得：()1010012642n a a a a -==+++⋅⋅⋅+1012211023n a a a ∴++⋅⋅⋅+=-=本题正确结果：1023【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________． 【答案】18 【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C C C C +=故答案为18.16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=， 所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan BC BPC PB ∠===. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅=⋅=221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅=当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan 2θ=时，取等号.故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222b c a +-=. （1）若tan B =a b ；（2）若23B π=,b =BC 边上的中线长. 【答案】（1）52；（2【解析】 【分析】（1）由222b c a +-=求出cos A ，从而求出sin A，再由tan 12B =得出sin B ，再根据正弦定理即可得解；（2）通过三角形内角和求出角6C A B ππ=--=，再利用正弦定理得出2c =，在ABD ∆中利用余弦定理，即可得解.【详解】（1）由222b c a +-=得cos A =6A π∴=,tan 12B =Q ，1sin 5B ∴=. 由正弦定理得，sin sin a b A B=，则1sin 251sin 52b B a A ===，∴52a b =（2）6A π=Q ,6C A B ππ=--=，AB BC ∴=，由sin sin c bC B=得2c =，取BC 中点D ，在ABD ∆中，2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，AD ∴=，即BC【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，为投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后总的分数，求ξ的分布列及期望.【答案】（1）45512；（2）分布列见解析，24364. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及二项分布的定义可知，投中的次数服从二项分布，即X B :35,4⎛⎫⎪⎝⎭即可得解；（2）首先求出ξ的所有可能取值，再求出所有可能取值的概率，列出分布列，利用期望公式即可得解. 【详解】（1）设X 为队员在5次投篮中投中的次数，则X B :35,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 在5次投篮中，恰有2次投中的概率为：()2325332144P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=45512或0.0879 （2）由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6()3110464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭()2139134464P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()3139244464P ξ==⨯⨯= ()22311393444432P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的()33276464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ ξ的分布列为：24364E ξ=【点睛】本题考查了二项分布，以及求概率和期望， 考查了计算能力，属于较难题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥； （2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.的∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0）， (0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r，∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点()10F ，，过F 作两条互相垂直的弦AB CD ，，设AB CD ，中点分别为M N ，． (1) 求椭圆的标准方程；(2)求以A B C D ，，，为顶点的四边形的面积的取值范围；【答案】(1)2212x y += (2) 1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率c a =1c ，=求出a 、b ，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且设直线AB 的方程为y=k （x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB ，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【详解】解：(1) 由题意：12cc a ==，．∴1a b c ===．则椭圆的方程为2212x y +=(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时， 11·222S AB CD ==⨯= ②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB 方程为()()()11221y k x A x y B x y =-，，，， 将其带入椭圆方程整理得：()2222124220kxk x k +-+-=221212224221212k k x x x x k k-+==++，)2122112kAB xk+-=+同理，)2212kCDk+=+))()222222224214114111···=221222+2+5121kk k k kS AB CDk k k kkk⎛⎫+⎪+++⎝⎭===++⎛⎫++⎪⎝⎭22162,29121kk⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫++⎪⎝⎭，当1k=±时，169S=综上所述四边形面积范围是1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．21.已知函数()ln2f x a x x=-，()()()2ln1222xg x x e a x=++-+-.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0x≥时，()0g x≥恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2a≤.【解析】【分析】（1）对()ln2f x a x x=-求导可得：()()'220a x af x xx x-+=-=>，对a进行分类讨论即可求出单调性；（2）由题可得：()()()()()'212122011xxe x a x aag x e a xx x+-+++=+--=≥++，通过切线放缩可得：()'2121ax xg xx⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥+，再分2a≤，2a>两种情况讨论即可得出a的取值范围.【详解】（1）由题知()()'220a x af x xx x-+=-=>①当0a≤时，恒有()'0f x<，得()f x在()0,∞+上单调递减；②当0a >时，由()'0fx =，得2a x =，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有()'0f x >，()f x 单调递增； 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，有()'0f x <，()f x 单调递减. （2）由题知()()()()()'212122011x x e x a x a a g x e a x x x +-+++=+--=≥++，由0x ≥时，恒有11x e x ≥+≥，知()()()()2'212121211a x x x a x a g x x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥+-+++⎝⎭⎣⎦≥=++ ①当102a-≤，即2a ≤时，()'0g x ≥恒成立，即()g x 在0x ≥上单调递增， ()()00g x g \?（合题意）；②当102a->，即2a >时，此时导函数有正有负，且有()'00g =， 由()'221x a g x e a x =+--+，得()()''221x a g x e x =-++，且()''g x 在0x ≥上单调递增， 当2a >10>，101e >=，()''020g a =-<，)''11210g-=->故()'g x在()1-上存在唯一的零点0x ，当[)00,x x ∈时，()''0g x <，即()'g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=，知()g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=与已知矛盾（不合题意）；综合所述：满足条件的实数a 的取值范围2a ≤【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，在解题过程中用到了分类讨论和数形结合思想，还考查了函数的放缩以及虚设零点问题，需要较强的计算和思考能力，属于难题.22.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值. 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2） 【解析】【分析】．1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2．设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得12AB ρρ=-，又由题意得△P AB 中边AB 上最大的高为圆心C 到直线l 的距离加上半径，进而可得面积的最大值．【详解】（1）将方程424x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数α后可得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为24cos 120ρρθ--=． （2）设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫⎪⎝⎭，由2412π6cos ρρθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，消去θ整理得2120ρ--=， 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-，∴12AB ρρ=-==∵直线l 30y -=，∴圆C 的圆心()2,0到直线l 的距离为1d ==，又圆C 的半径为4r =， ∴ ()()()max 111422PAB S AB d r =+=⨯+=V ． 【点睛】．1．进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用．．2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解．另一种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解． 23.已知函数()2f x x a x a =+++（1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1()()6f m f m-+≥． 【答案】（1）{}|30a a a -或； （2）见解析. 【解析】 【分析】．1．()13f >即为123a a +++>分类讨论即可得到结果； ．2．利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1）()13f >即为123a a +++>．当2a <-时，233a --> ，得3a <-； 当21a -≤≤-时，13>，无解当1a >-时，233a +>，得0a >． 所以()13f >时，实数a 的取值范围为{}|30a a a -或． （2）证明：()1121222f m f m a m a a a m a a m a a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-+++++=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122246m m m m≥+++≥+= 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【数学】重庆育才中学校2021-2022学年高一入学考试数学试题含答案
A ． 2 3 = 12
B． 2+ 3= 5
C． 2× 3 = 6
D. 6¸ 3= 2
5. 点 P（－2，3）关于 y 轴对称点的坐标（ ▲ ）
A．（－2，3）
B．（2，3）
C. （2，－3）
D. （－2，－3）
6. 如图， CD 、 CE 是分别是⊙ O 的弦和直径，直径 AB 过 CD 的中点 M ，
HA 平分∠GHF，则 AP 的长度为
▲．
12题图
16题图
17题图
18． 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆 摊）三种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3 : 5 : 2 ．随着促进消费政 策的出台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 3 ，则
（ ）（结果精确到 1 米）．（参考数据： sin 37 3 ， tan 37 3 ， sin 48 7 ， tan 48 11 ）
5
4
10
10
A． 54
B． 58
C． 76
D． 85
11 ． 若 数
a
使关于
x
的不等式组
3x
12
7
x
4 7
有且仅有三个整数解，且使关于 y 的分式方程
3．考试结束后，将试题卷和答题卡统一交回．
参考公式：抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标为 ( b ，4ac b2 )，对称轴为 x b ．
2a 4a
2a
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
重庆市九龙坡区育才中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
重庆市九龙坡区育才中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3 2．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( ) A ．7B ．8C ．31D ．32 3．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）4．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．25．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6 B ．3 C ．4 D ．58．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ）A ．53πB ．2πC ．76πD ．π9．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）10．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．2311．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18- B ．63-C ．18D ．63 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届重庆育才中学高三下学期入学考试理科物理测试题
重庆育才中学高2020级2019-2020学年下学期入学考试理科物理测试题14．下列有关力及力和运动的关系说法正确的是（ ）A ．洛伦兹力的方向可以不垂直于带电粒子的运动方向B ．滑动摩擦力的方向总是和物体运动方向相反C ．若物体合外力恒定，且不为零，物体一定做匀变速运动D ．做曲线运动的物体，其合外力一定不断变化15．在t=0时，将一乒乓球以某一初速度竖直向上抛出，一段时间后落回抛出点。
已知乒乓球运动过程中受到的空气阻力大小与速度大小关系为kv f =（k 为大于零的常数）。
规定竖直向上为正方向，如15题图是定性描述上述过程中乒乓球的加速度a 、速度v 随时间t 变化规律的图像，可能正确的是（ ）16．如16题图所示，A 、B 两物体质量分别为m 和2m ，用轻绳悬挂于天花板上的O 点，OA 绳竖直，AB 绳水平，OB 与竖直方向夹角︒=60θ，在B 上作用一个未知力F ,使A 、B 保持静止，则该未知力的大小可能为（ ）A ．2mgB ．mgC ．mg 21D ．mg 2317．如17题图所示，宇航员在月球上将一小球由倾角为︒=60θ的斜面上某点以v 0水平抛出，t 时间后，落到斜面上；已知月球的半径为R ，万有引力常量为G ，若该宇航员想让该小球成为一个绕月球做匀速圆周运动的卫星，则小球的初速度至少为（ ）A ．t R v 3320 B ．tRv 032 C ．tRv 02 D ．t R v 0t aAt vCt aBvDt15题图16题图17题图18．如18题图所示，一个半径为L 的转盘，盘面与水平面夹角为︒=30θ.在盘边缘放上一个质量为m 的物体，然后让其随转盘一起绕转盘中心以垂直于圆面的轴做匀速圆周运动，运动过程中物体和圆盘始终保持相对静止，物体和转盘间动摩擦因数为23=μ，且认为滑动摩擦等于最大静摩擦力。
则下列说法正确的有（ ）A ．物体由A 到B 过程，机械能守恒 B ．物体由A 到B 过程，摩擦力做功为23mgL C ．物体到B 点的最小速度为gL 21 D ．转盘最大的角速度为Lg21 19．用甲、乙两种单色光照射同一金属做光电效应实验，发现光电流与电压的关系如19题图所示，遏止电压均为U c 。
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】C【解析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选：C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的一个必要不充分条件是( ) A ．11a -≤≤B ．01a <<C ．11a -<<D ．1a <-或1a >【解析】先求得命题的充要条件,再根据其必要不充分条件关于a 的范围应为充要条件关于a 的范围的子集,进而选择即可 【详解】由题,若关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R ,则()2240a ∆=--<,即11a -<<,则关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的充要条件为11a -<<, 所以它的必要不充分条件关于a 的范围应为集合{}|11a a -<<的子集, 故选:B 【点睛】本题考查判断必要不充分条件,考查一元二次不等式恒成立问题4．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.5．函数y x =的最大值是( ) A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】利用换元法,()0t t =≥,则22x t =-,代回可得2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质解得最值即可【详解】()0t t =≥,则22x t =-,所以2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 则当0t =时,max 2y =, 故选:D 【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围 6．某程序框图如图所示,若输出的结果是62,则判断框中可以是( )A ．4?i >B ．5?i >C ．3?i >D ．6?i >【答案】B【解析】根据程序框图,逐步执行,直到62S =,结束循环,即可得出判断条件 【详解】由图,0,1S i ==；1022,112S i =+==+=； 2226S =+=,213i =+=； 36214S =+=,314i =+=； 414230S =+=,415i =+=；530262S =+=,516i =+=,此时输出,所以对于判断条件,5i =不满足,6i =满足, 故选:B 【点睛】本题考查利用输出结果补全程序框图,属于基础题 7．函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】设t= x 2-4x+3，则y=lnt ，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt 的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题. 【详解】设t=x 2-4x+3，则y=ln （x 2﹣4x+3）=lnt ，则t=x 2-4x+3＞0，求得x ＜1，或x ＞3，故函数的定义域为{x|x ＜1或x ＞3}， 易知y=lnt ，在t>0单调递增；易知 t=x 2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，根据复合函数的单调性规律，可知y=ln （x 2﹣4x+3）在（-∞，1 ）上为减函数，故选D 【点睛】复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解． 8．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B【解析】由题意可知'(1)0f =，这样可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点. 【详解】()()()()3'2222()2(131)133f x f x x a x a a x a x a a x =++-=++-+-⇒+-，由题意可知'(1)0f =，()'2(1)1(1)303a a a f a =++-⇒+-=⇒=或2a =-当3a =时，()2'22389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-， 当1,9x x ><-时，'()0f x >，函数单调递增；当91x -<<时，'()0f x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()'2222()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.9．已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】先求导可得()221ax x f x x--+'=,则可转化问题为2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,进而求解即可 【详解】由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=, 因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立, 设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==, 所以22a >,即1a >, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想10．设函数()(()2ln 22f x x x =-<<,则使得()()210f x f x +->成立的x 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】先由解析式可判定()f x 是奇函数,且单调递增,再利用奇函数的性质将问题转化为()()21f x f x >-,进而利用函数的单调性求解即可 【详解】由题,()()((()222ln 2ln 2ln 10f x f x x x x x-+=-+=+-=,所以()f x 是奇函数, 当02x ≤<时,y =,所以()f x 单调递增,所以根据奇函数的性质可得()f x 在()2,2-上单调递增, 因为()()210f x f x +->,所以()()()211f x f x f x >--=-,所以21222212x x x x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得113x <<,故选:C 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,考查利用奇偶性和单调性解抽象函数不等式 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( ) A ．2 B．C ．4D ．3【答案】A【解析】由椭圆与双曲线的定义可得1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,则112=+PF a a ,212=-PF a a ,且122F F c =,再由122F PF π∠=,根据勾股定理2221212PF PF F F +=,代入整理即可【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =,因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1a e c=,所以2212112e e +=, 故选:A 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义的应用,考查椭圆与双曲线的离心率12．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C ．133133,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡∈---⎢⎣，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵3322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[x ∈时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题13．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________. 【答案】x-y-1=0【解析】由题意可得：()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 则()'1ln111f =+=，且()10f =， 据此可得切线方程为：()011y x -=⨯-， 即：x-y-1=0.14．)121x dx -=⎰______.【答案】223π+【解析】由题,)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,利用几何法求得1-⎰利用微积分定理求得121x dx -⎰,进而求解即可【详解】)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,设y 则()2210x y y +=≥,所以1-⎰,以1为半径的圆的面积的一半,即()121122ππ-=⨯⨯=⎰；又()113233111112113333x dx x --==⨯-⨯-=⎰,所以)121223x dx π-=+⎰,故答案为:223π+【点睛】本题考查微积分定理的应用,考查几何法求定积分15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由()()22f x f x -=-+可得()f x 关于()2,0中心对称,由奇函数可得()()22f x f x -=+,即周期为4,分别画出()y f x =与3log y x =的图像,由图像得到交点个数即为零点个数 【详解】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+, 所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+, 所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4, 画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个, 故答案为:5 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的应用,考查零点的个数问题,考查数形结合思想16．已知()()ln 0f x a x x a =+>对于区间11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意两个相异实数1x ,2x ,恒有()()121211f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】利用导函数易得()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <,由此可得()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+,所以设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,即()0g x '≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,进而求解即可 【详解】因为0a >,所以()10a a xf x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <, 因为()()121211f x f x x x -<-, 所以()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+, 设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以()()222110x ax g x f x x x+-''=-=≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,则max 1a x x ⎡⎤≥-+⎢⎥⎣⎦, 因为y x =-在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,1y x =在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以1y x x =-+在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以当14x =时,1x x -+取得最大值为154,故a 的范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为: 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想三、解答题17．在ABC ∆中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知sin sin 3c A a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角C 的大小;(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫=+⎪⎝⎭,即sin sin 3C C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅,整理后可得224ab a b =+-,利用均值定理求得ab 的最大值,进而求得面积的最大值 【详解】（1）Q sin sin 3c A a C π⎛⎫=+⎪⎝⎭, sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,Q 在ABC V 中sin 0A >,sin sin 3C C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,3C C ππ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭,3C π∴=（2）由（1）,则2222cos c a b ab C =+-⋅,即224a b ab =+-,22424ab a b ab ∴=+-≥-,4ab ∴≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,则ab 的最大值为4,此时ABC V 面积的最大值为:11sin 4222S ab C =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查三角形面积的最值,考查余弦定理的应用,考查均值定理求最值18．2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:(1)现从16间教室随机抽取3个,求至多有1个优秀的概率;(2)以这16间教室评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3个,记X 表示抽到优秀的教室个数,求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）121140；（2）见解析 【解析】（1）由表格可知有4个教室优秀,从16间教室随机抽取3个,至多有1个优秀的情况分别是没有优秀的和只有一个优秀的,由此求解即可； （2）由样本估计总体可知优秀的概率为14,则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,进而根据二项分布求解即可 【详解】（1）设i A 表示所抽取的3间教室中有i 个教室优秀,设抽取3间教室中至多有1个优秀为事件A ,则()()()3211212401331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （2）由表格数据可知,从16间教室中任选1个优秀的概率为41164=, 由题可知X 的可能取值为0,1,2,3,则()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()2131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为X0 1 2 3P2764 2764 964 164所以()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查用样本估计总体,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力 19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）77. 【解析】（1）若AB ⊥CD ，得AB ⊥面ACD ，由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD 体积最大时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 ,设面ACD 的法向量为n r＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n r＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n u u r r OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC 于点N ,设动点N 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T 【解析】（1）由题可得圆心C 为()1,0,由MN FN =可推出N 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；（2）设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时显然成立,当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立直线方程和椭圆方程,可得()()22224384120k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由OTP OTQ ∠=∠可知0TP TQ k k +=,利用斜率公式整理求解即可 【详解】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆, 所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y +=（2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意； 当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=,所以12120y yx t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=,则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=,所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意, 所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠ 【点睛】本题考查定义法求轨迹方程,考查椭圆的方程,考查椭圆中的定点问题,考查运算能力 21．已知函数()()22ln f x x a x a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,证明:12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导可得()()()()2122x a x a f x x a x x++'=+++=,令()0f x '=解得11x =-,22a x =-,由()f x 的定义域为()0,∞+,分别讨论02a -≤与02a->时的情况即可；（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =时,0a <, 设()()()g x f x f a x =---,利用导函数可判断当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--,设设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,将1x 代入可得()()11f x f a x >--,由()()12f x f x =可得()()21f x f a x >--,根据()f x 的单调性可得21x a x >--,则120x x a ++>,利用其即可证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【详解】（1）由题,函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==, 令()0f x '=,即()()210x a x ++=,解得11x =-,22a x =-, 当02a-≤,即0a ≥时,在()0,∞+上()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a ->,即0a <时,在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>,所以()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 （2）证明:由（1）,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增,则不存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,所以0a <,设()()()()42ln ln g x f x f a x x a a x a x a =---=++---,则()()()()2222444x a a a x ax ax a ax g x x x a x x a x x a ++++-'=+-==+++, 令()0g x '=,解得2ax =-, 所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min 02a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x >, 即当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--, 由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 不妨设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭, 所以()()11f x f a x >--,又因为()()12f x f x =,所以()()21f x f a x >--, 因为1,2a a x ⎛⎫--∈-+∞ ⎪⎝⎭,所以21x a x >--,即120x x a ++>, 因为()()1212121222x x x x a x x f x x +++++⎛⎫'=⎪+⎝⎭,1>0x ,20x >, 所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导数处理函数中的双变量问题,考查分类讨论思想和推理论证能力22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 12sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,P 为曲线C 上的一动点,求AB . 【答案】（1）22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（2）【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程即可； （2）将4πθ=代入曲线C 的极坐标方程中,利用韦达定理求解即可【详解】（1）由题,曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=,即222220x y x y ++--=,因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以曲线C 的极坐标方程为:22cos 2sin 20ρρθρθ+--=（2）由题,将4πθ=代入22cos 2sin 20ρρθρθ+--=中,所以220ρ+--=,即220ρ-=, 所以120ρρ+=,122ρρ=-, 所以12AB ρρ=-===【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查曲线内的弦长问题23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()3f x <的解集; (2)若()2f x ≥的解集为R ,求a 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）3a ≤-或1a ≥ 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式,分类讨论求解即可；（2）由()11f x x x a a ++-≥=+,转化问题为12a +≥,进而求解即可 【详解】（1）当1a =时,()11f x x x =++-,则()112,1112,11112,1x x x x f x x x x x x x x --+-=-<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪++-=≥⎩,所以当1x <-时,23x -<,解得32x >-,则312x -<<-； 当11x -≤<时,23<； 当1x ≥时,23x <,解得32x <,则312x ≤<,综上,解集为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ （2）因为()()()111x x x a x x a a f =≥+--+=-++,第 21 页 共 21 页 则由()2f x ≥的解集为R 可得12a +≥,解得3a ≤-或1a ≥【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想。
育才中学2020届高三数学下学期入学考试试题理含解析
A。 －15B. －9C。 1D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域,平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3)时,取得最小值。
【详解】作出不等式组表示的可行域，
结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6，－3)处取得最小值
2.已知数列 为等差数列， 为其前 项和， ,则 （ ）
A。 B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于 的方程，由此解得 的值，利用等差数列前 项和的性质，求得 的值.
【详解】 ，解得:
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题。
【详解】因为复数 ，
又因为复数 是纯虚数，
所以 ，
解得 ，
所以 的值为 。
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力,属于基础题。
14.在 中，角 所对的边分别为 ，已知 则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，利用正弦定理得到 ，从而 ，代入 ,求得角B,从而求得边b，再由余弦定理求解.
(2）由(1）易得 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】(1）因为 ，
当 时, ，
当 时，由 ①
得： ②
① ②可得 ，
又 ,
所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以其通项公式为 .
（2)由(1）知： ，
所以 .
【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2020年重庆市育才中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年重庆市育才中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|0<x<2}，则A∩B=()A. {x|−1≤x<0}B. {x|0<x≤1}C. {x|0≤x≤2}D. {x|0≤x≤1}2.若复数z满足(3−4i)⋅z=|4+3i|，则z的虚部为()A. 45B. 45i C. −45D. −45i3.若|b⃗ |=√2|a⃗|，且a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为()A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°4.“x<2”是“x(x−1)<0”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. 83cm3 B. 43cm3 C. 23cm3 D. 13cm36.阅读程序框图，该程序运行后输出的k的值为()A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知直线l 的方程为：(m +2)x +3y +2m +1=0，圆C ：x 2+y 2=6，则直线l 与圆C 的位置关系一定是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α//β的一个充分条件是A. m//α，n ⊥β，m ⊥nB. m//α，n ⊥β，m//nC. m//α，n//β，m//nD. m ⊥α，n ⊥β，m//n9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 10=( )A. 1024B. 1023C. 2048D. 204710. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则函数f(x)( )A. 在(0,π2)上单调递减 B. 在(π4,3π4)单调递减 C. 在(0,π2)上单调递增D. 在(π4,3π4)单调递增11. 已知点P 是双曲线x 216−y 29=1右支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若成立，则m 的值是( )A. 45B. 53C. 13D. √3312. 设直线x =t 与函数f(x)=2x 2，g(x)=2lnx 的图象分别交于点M ，N ，则|MN|的最小值为( )A. 12+12ln2B. 12+ln2C. 1+ln2D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫√16−x 20−4dx = ______ ．14. 设(1−ax)2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018，若a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a(a ≠0)，则实数a =______．15. 某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有______.(用数字填写答案) 16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC =2，BB 1=3，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF =________时，CF ⊥平面B 1DF ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，t=ab +ba．(1)若t=√6，B=5π6，求sin A；(2)若t=4，S△ABC=√312c2，求C．18.某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为45，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，投中的概率为23，投中得3分，不中得0分．该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上3次投篮．(1)求该同学恰有2次投中的概率；(2)求该同学所得分X的分布列和数学期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．(Ⅰ)证明：BD⊥平面PEF；(Ⅱ)若∠BAD=60°，求二面角B−PD−A的余弦值．20.设椭圆C：x2a2+y2b2(a>b>0)的离心率为√22，若椭圆的左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为1的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长．21.已知函数f(x)=aln(x+1)−x−1(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性(2)令函数g(x)=f(x)+e x ，若x ∈[0,+∞)时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =acosθy =1+asinθ (θ为参数，a ≠0)，以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R). (1)写出C 1的普通方程与C 2的直角坐标方程；(2)若在C 1上至少存在一点P 到C 2的距离为1，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(Ⅰ)求不等式f(x)>4−|x +1|的解集；(Ⅱ)设a,b ∈(0,12)，若f(1a )+f(2b )=6，求证：a +b2≥25．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|−1≤x≤1}，B={x|0<x<2}，∴A∩B={x|0<x≤1}，故选：B．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题考查了复数的四则运算，复数的模长，共轭复数的概念.由条件得到z=35−45i，从而得到其虚部．解：∵(3−4i)⋅z=|4+3i|，∴z=53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)，=5(3+4i)25=35+45i，∴z=35−45i，∴z的虚部是−45．故选C．3.答案：A解析：本题考查向量的夹角计算，属于较易题．利用向量夹角公式即可求出答案．解：由题意，|b⃗ |=√2|a⃗|，且a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，则a⃗·b⃗ =a⃗2，从而向量a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值为，又，所以向量a⃗,b⃗ 的夹角为45°，故选A.4.答案：B解析：解：由x(x−1)<0得0<x<1，则“x<2”是“x(x−1)<0”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5.答案：B解析：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算．解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2．∴棱锥的体积V=13×12×2×2×2=43(cm3).故选B．6.答案：D解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，S=0，S<5？，是；S=0+1=1，k=2，S<5？，是；S =1+2=3，k =3，S <5？，是； S =3+3=6，k =4，S <5，否； 输出k =4． 故选：D ．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．7.答案：C解析：解：因为直线l 的方程可化为：(x +2)m +2x +3y +1=0， 由{x +2=02x +3y +1=0得{x =−2y =1，所以直线l 过定点(−2,1)， 又(−2)2+12=5<6，即定点(−2,1)在圆x 2+y 2=8内， 所以直线l 与圆C 一定相交． 故选：C ．先求出直线l 过定点(−2,1)，再判断定点在圆内，可得直线与圆相交． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．8.答案：D解析：本题考查面面位置关系中面面平行的条件，示例典型，能起到训练答题者加深理解面面平行判定定理的目的，正确命题加以论证，不正确命题举出反例，即可得出结论． 解：A.可推得α与β可能相交，也可能平行，故A 选项错误； B . 可推得α⊥β，故B 选项错误；C . 可推得α与β可能相交，也可能平行，故C 选项错误；D . 由m ⊥α，m//n ，得n ⊥α，而n ⊥β，所以α//β，故D 选项正确； 故选D ．9.答案：B解析：本题考查数列的基本知识，由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出；解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+(a2−a1)+⋯+(a n−a n−1)=1+21+22+⋯+2n−1=2n−12−1=2n−1.(n∈N∗).∴a10=210−1=1023；故选B．10.答案：A解析：函数的解析式可化为f(x)=√2sin(ωx+φ+π4)，因为T=2πω=π，所以ω=2.因为该函数为偶函数，所以φ+π4=kπ+π2(k∈Z)，又|φ|<π2，故φ=π4，所以f(x)=√2cos2x，故函数f(x)在区间(0,π2)上单调递减．11.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，属于中档题．由点M为△PF1F2的内心得到点到PF1，PF2，F1F2的距离相等，以及，得|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，用定义即可求解．解：因为M为△PF1F2的内心，所以M到PF1、PF2、F1F2的距离相等．又，所以|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，即2a=2mc，所以m=ac =45．故选A．12.答案：C解析：解：设函数y=f(x)−g(x)=2(x2−lnx)(x>0)，则y′=2(2x−1x )=2⋅2x2−1x，令y′=0得，x=√22，所以当0<x<√22时，y′<0，函数在(0,√22)上为单调减函数，当x>√22时，y′>0，函数在(√22,+∞)上为单调增函数，所以当x =√22时，函数取得唯一的极小值， 即最小值为2⋅(12−ln √22)=1+ln2， 故选：C ．根据题意构造函数y =f(x)−g(x)，利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x 的值，即可得到结论．本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．13.答案：4π解析：解：∫√16−x 20−4dx 的几何意义为以原点为圆心，以4为半径的14圆的面积，∴∫√16−x 20−4dx =14⋅π⋅42=4π．故答案为：4π．直接由定积分的几何意义，可知∫√16−x 20−4dx 表示以原点为圆心，以4为半径的14圆的面积． 本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础题． 14.答案：2解析：本题考查二项式定理的应用及导数的计算，属于基础题．把已知等式两边同时对x 求导，再令x =1，求得a 的值．解：将(1−ax)2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018两边同时对x 求导，可得2018(1−ax)2017(−a)=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+2018a 2018x 2017，令x =1得，−2018a(1−a)2017=a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a ，又因为a ≠0，所以(1−a)2017=−1，1−a =−1，故a =2，故答案为：2．15.答案：16解析：本题主要考查排列组合的应用，利用分类讨论思想是解决本题的关键，比较基础．讨论化学和生物是否选，进行讨论计算即可．解：若选化学，不选生物有C42=6种，选生物不选化学，有C42=6种，化学和生物都选，则有C41=4种，则共有6+6+4=16种，故答案为：16．16.答案：1或2解析：本题考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CF⊥DF.设AF=x(0<x<3)，根据勾股定理，求出x 即可．解：∵三棱柱的底面为等腰三角形，且D为A1C1中点，∴B1D⊥A1C1，易得B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF=x(0<x<3)，则CF2=x2+4，DF2=1+(3−x)2，又CD2=1+32=10，∴10=x2+4+1+(3−x)2，解得x=1或2．故答案为：1或2．17.答案：解：(1)因为B=5π6，t=ab+ba=a2+b2ab，a2+b2=tab，所以a2+b2=√6ab，结合正弦定理得4sin2A−2√6sin A+1=0，解得sin A=√6±√24，因为0<A<π6，所以sin A<12，取sin A=√6−√24；(2)由(1)知，a2+b2=tab=4ab，因为S△ABC=12absin C=√312c2，所以12absin C=√312(a2+b2−2abcos C)=√312(4ab−2abcos C)，即√3sin C+cos C=2，即sin(C+π6)=1，又π6<C+π6<7π6，所以C=π3．解析：本题考查了正余弦定理以及三角形的面积公式，以及三角恒等变形中正弦和差公式，属于基础题．(1)由条件得到a2+b2=√6ab，由正弦定理化为角的正弦，即可解出sin A；(2)利用三角形面积公式化简，可得到sin(C+π6)=1，求出角C．18.答案：解：(1)总共有3次投篮，每次投不中记0，共23=8，中情形，其中只有2次中的情形，(1,1，0)，(1,0，1)(0，1，1)3种，其发生的概率为P=45×45×(1−23)+45×15×23+15×45×23=3275；(2)得分共有6种情形，X=0，2，3，4，5，7，得分X=0，的情形(0,0，0)，P=15×15×13=175，得分X=2，的情形(1,0，0)，(0,1，0)，P=2×45×15×13=875，得分X=3，的情形(0,0，1)，P=15×15×23=275，得分X=4，的情形(1,1，0)，P=45×45×13=1675，得分X=5，的情形(1,0，1)，(0,1，1)，P=2×15×45×23=1675，得分X=7，的情形(1,1，1)，P=45×45×23=3275，∴X的分布列为：E(X)=265．解析：本题考查了离散型的概率分布，数学期望的求解，注意分清随机变量的取值，准确求解相应的概率的数值，属于中档题．(1)确定共23=8，中情形，得出其中只有2次中的情形，(1,1，0)，(1,0，1)(0，1，1)3种，根据概率公式求解即可．(2)根据题意得出随机变量的值：X 得分共有6种情形，X =0，2，3，4，5，7，利用给出的数据得出相应的概率，列出分布列，求解数学期望即可．19.答案：证明：(Ⅰ)连接AC ，∵PA =PD ，且E 是AD 的中点，∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PE ，又ABCD 为菱形，且E ，F 为棱的中点，∴EF//AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥EF ，又BD ⊥PE ，PE ∩EF =E ，PE ，EF ⊂平面PEF ，∴BD ⊥平面PEF ．解：(Ⅱ)∵四边形ABCD 是菱形，且∠BAD =60°，∴EB ⊥AD ，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =1，则D(−12,0,0)，B(0,√32,0)，P(0,0，√32)， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,√32)， 设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{12x +√3y 2=012x +√3z 2=0，取x =√3， 得n ⃗ =(√3,−1,−1)，平面APD的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)，∴cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=5=−√55，由图得二面角B−PD−A的平面角是锐角，∴二面角B−PD−A的余弦值为√55．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)连接AC，则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，BD⊥PE，EF//AC，BD⊥AC，从而BD⊥EF，BD⊥PE，由此能证明BD⊥平面PEF．(Ⅱ)推导出EB⊥AD，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B−PD−A的余弦值．20.答案：解：(1)由左焦点F(−2,0)，即c=2，又e=ca =√22，即有a=2√2，又b2=a2−c2=4，即有椭圆C的标准方程为x28+y24=1；(2)设直线L与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线L的斜率为1且过右焦点(2,0)，即有直线方程为y=x−2，将直线y=x−2代入x28+y24=1得3x2−8x=0，x1+x2=83，x1x2=0，即有|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√2×649=8√23．解析：(1)由题意可得c=2，再由离心率公式可得a，再由a，b，c关系可得b，进而得到椭圆方程；(2)求得直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到弦长AB．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是(−1,+∞)，由f′(x )=a x+1−1=−x−(a−1)x+1，①当a −1≤−1时，a ≤0，f′(x )<0，可得函数f(x)的减区间为(−1,+∞)，没有增区间；②当a −1>−1时，a >0，f′(x )>0，可得函数f(x)的减区间为(a −1,+∞)，增区间为(−1,a −1)． (2)由题意有．①当a ≥0时，令ℎ(x )=e x −x −1(x ≥0)，有ℎ′(x )=e x −1≥0，则ℎ(x)为增函数，故e x −x −1≥e 0−0−1=0．则g(x)≥0．②当a <0时，g′(x )=a x+1+e x −1可知函数为增函数．由g′(0)=a <0，由①知x ≥0,e x −1≥x,g ′(x )≥a x+1+x =a+x 2+x x+1>x+ax+1， 当x >−a 时，g′(x )>0．故存在x 0∈(0,−a )，使得g′(x 0)=0，故函数g(x)的减区间为(−1,x 0)，增区间为(x 0,+∞)．g(0)=0．可得当x ∈(0,x 0)时，g(x)<0，不符合题意．由上知所求实数a 的取值范围为[0,+∞).解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，讨论a 的情况求出函数的单调区间；(2)由题意有通过求导数确定出a 的范围．22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =acosθy =1+asinθ(θ为参数，a ≠0)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=a 2，以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为y =√3x ．(2)由于圆的方程是以(0,1)为圆心，|a|为半径，且圆心到直线y =√3x 的距离d =|0−1|2=12， 由于在C 1上至少存在一点P 到C 2的距离为1，所以必须满足|a|+12≥1，解得a ≥12或a ≤−12．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和绝对值不等式的解法的应用求出结果． 23.答案：解：(Ⅰ)f(x)>4−|x +1|可化为|x −2|>4−|x +1|，即|x +1|+|x −2|>4， 当x ≤−1时，−(x +1)−(x −2)>4，解得x <−32；当−1<x <2时，x +1−(x −2)>4，无解；当x ≥2时，x +1+x −2>4，解得x >52．综上可得x <−32或x >52，故不等式f(x)>4−|x +1|的解集为(−∞,−32)⋃(52,+∞)．(Ⅱ)因为a ，b ∈(0,12)，所以f(1a )+f(2b )=1a −2+2b −2=6，即1a +2b =10，所以(a +b 2)(1a +2b )=2+b 2a+2a b ≥2+2√b 2a ⋅2a b =4， 当且仅当b 2a =2a b ，即a =15，b =25时取等号， 所以10(a +b 2)≥4，即a +b 2≥25．解析：本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)去绝对值求解不等式即可；(Ⅱ)利用基本不等式求解即可．。
重庆市育才中学2020届高三数学下学期入学考试试题 理
重庆市育才中学2020届高三数学下学期入学考试试题 理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。
3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效. 4。
做选考题时，按要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|230A x x x =--≤,{}|21xB y y ==+，则A B = A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞2. 已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S = A ．2 B ．7 C ．14 D ．283。
设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．－15B ．－9C ．1D ．94. 若命题“0,x R ∃∈使得2002+50x mx m ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[10,6]- B ．(6,2]- C ．[2,10]- D ．(2,10)- 5. 函数2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．6。
已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立,若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么πcos(θ)2=πsin(θ-)2+A ．43-B ．43- C ．34 D ．348。
重庆市育才中学校高2023届高三开学考试地理试题附答案
重庆市育才中学校高2023届高三开学考试地理试题附答案本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100 分，考试时间 75 分钟。
注意事项： 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案填写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共 15 小题，每小题 3 分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。
“山高峡深一线天，九山微水一分田”。
这是地处秦巴山区的巫溪县自然环境的真实写照。
“巫溪洋芋”口感酥软、细腻、微糯，淡香，在巫溪有悠久的种植传统。
近年来，巫溪县充分利用当地富钾紫色土、充足的光照、较大的昼夜温差等优势，建立马铃薯脱毒繁育基地为薯农提供良种，引进比利时ARAH 马铃薯晚疫病预测预报模型，建立苗情监测点指导大田生产，使传统的“土豆豆”变成了增收致富的额“金豆豆”。
2020 年9 月14 日，“巫溪洋芋”以优良品质，成功入选首批100 个中欧互认证的中国地标农产品。
据此完成1~2 题。
1.结合所学知识判断，优质的“巫溪洋芋”宜种植在A.高山的山顶附近B.长江的河谷地带C.海拔较高的缓坡D.人造的温室大棚2.与“巫溪洋芋”成为优质的中国地标农产品直接关系最小的是A.国家政策的大力支持B.先进的土豆种植技术C.当地工矿企业布局少D.当地独特的自效环境“秋淋”是指在8 月中旬以后发生在陕西关中、陕南地区的持续性阴雨天气，最晚持续至10 月底，是该地区主要气象灾害之一。
一次连阴雨过程降水量≥50mm，连续降水日数≥7 天（允许间隔1 天）或两次连阴雨过程降水量≥100mm，两次过程间隔2 天，则为“秋淋”天气。
根据降水强度分为弱秋淋、中等秋淋、强秋淋三种。
下图为关中某地区9~10 月降水量及“秋淋”天数统计图，据此完成3~5 题。
3.下列年份中，最可能出现“强秋淋”天气的是A.1963 年B.1976 年C.1983 年D.2009 年4.1973 年 9~10 月的天气最可能是A.大风天气多，易干旱B.日照时数短，光照弱C.雨日多，低温时间长D.降水历时短，强度大5.“秋淋”天气持续时间过长，对农业生产的影响是A.冬小麦播种期提前B.秋收作物延迟成熟C.苹果汁多品质优良D.利于缓解棉田旱情广东省21 世纪以来常住人口和户籍人口分别增加2349 万人和666 万人，年均增长率高达1.51%和1.26%，但期间有7 个县级市发生常住人口收缩、2 个地级市出现户籍人口收缩，呈现“核心增长—边缘收缩”的分布规律。
重庆市学校2023-2024学年高三下学期入学适应性考试数学试题含答案
重庆高2024届高三（下）入学适应性考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,6,7A B ==，记全集I A B = ，则I A =ð（）A.{}1,2,3 B.{}4,5 C.{}6,7 D.{}4,5,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求I A B = ，再求I A ð.【详解】全集{}1,2,3,4,5,6,7== I A B ，则{}6,7=I A ð.故选：C.2.若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数=a （）A.1B.1-C.1± D.0【答案】B 【解析】【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.【详解】由()()22i 1i 11i z a a a a =+-+=-+-，根据题意可知210110a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩.故选：B3.函数()2e 2xf x x =+-的零点有（）A.4个B.2个C.1个D.0个【答案】B 【解析】【分析】结合函数e x y =与22y x =-的图象可得正确的选项.【详解】令()2e 20xf x x =+-=，即2e 2x x =-，可知函数()f x 的零点个数即为e x y =与22y x =-的交点个数，结合函数的图像，可知e x y =与22y x =-的函数图像有两个交点，所以函数有两个零点，即函数()2e 2xf x x =+-的零点有2个.故选：C.4.设集合(){}{},,,,1,0,1A x y z x y z =∈-∣，那么集合A 满足条件“2x y z ++=”的元素个数为（）A.4B.6C.9D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意对,,x y z 谁取0分类讨论即可求解.【详解】若0x =，则{},1,1y z ∈-，即有序数对(),y z 有4种取法，同理若0y =，则{},1,1x z ∈-，即有序数对(),x z 有4种取法，若0z =，则{},1,1x y ∈-，即有序数对(),x y 有4种取法，综上所述，集合A 满足条件“2x y z ++=”的元素个数为44412++=.故选：D.5.已知函数()()log ,1214,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+≤⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.【详解】由题意可得：01210610a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，解得1162a ≤<，所以实数a 的取值范围是11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.6.已知,a b 为正实数，且,,4a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +的值等于（）A.6B.8C.10D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可知仅有,4,a b -或,4,b a -构成等比数列，且,,4a b -或4,,b a -构成等差数列，或,,4b a -或4,,a b -构成等差数列，结合等差、等比中项列式求解即可.【详解】因为,a b 为正实数，且,,4a b -可适当排序后成等比数列，可知仅有,4,a b -或,4,b a -构成等比数列，可得16ab =，又因为,,4a b -这三个数可适当排序后成等差数列，则有：若,,4a b -或4,,b a -构成等差数列，可得24b a =-，即1624ab b a =⎧⎨=-⎩，解得82a b =⎧⎨=⎩或44a b =-⎧⎨=-⎩（舍去），可得10a b +=；若,,4b a -或4,,a b -构成等差数列，可得24a b =-，即1624ab a b =⎧⎨=-⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩或44a b =-⎧⎨=-⎩（舍去），可得10a b +=；综上所述：10a b +=.故选：C.7.已知球O的直径为PC A B =、是球面上两点，且π3PA PB APB ==∠=，则三棱锥-P ABC 的体积（）A.2B.C.62D.【答案】C 【解析】【分析】利用球体的性质先计算球心到平面APB 的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.【详解】由题意可知APB △为正三角形，设其外接圆圆心为M ，半径为r ，则21πsin 3PAr PM r =⇒==，且OM ⊥平面APB ，所以OM ==C 到平面APB的距离为，所以三棱锥-P ABC的体积为21342⨯⨯=.故选：C8.设F 为抛物线2:2C x y =的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若30FPT ∠= ，则直线NF 的斜率为（）A.－2B. C.12-D.3-【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定FPT △为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知210,,22x F y y x ⎛⎫=⇒⎪⎭'= ⎝，设2,2a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C 在点P 处的切线方程为()2222a a y a x a y ax =-+⇒=-，所以2,0,0,22a a N T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知2122a PF FT =+=，即FPT △为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN PT ⊥，即30FNO FPT ∠=∠= ，所以直线NF 的斜率为()tan 180303-=- .故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定FPT △为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错得0分）．9.已知A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P BA =∣ B.()()P BA PB A =∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件相互独立的充要条件()()()P AB P A P B =判断.【详解】对于A ，由()(|)P B P B A =，得()()()P AB P B P A =即()()()P AB P A P B =，所以,A B 相互独立，故A 正确;对于B ，由()()()P BA P BA P A =∣，()(|()P BA PB A P A =得()()()()P BA P BA P A P A =，又()(()P AB P AB P B +=，所以()()()()1()P BA P B P BA P A P A -=-，得()()()()()()()P BA P A P BA P A P B P A P BA -=-即()()()P BA P A P B =，所以B,A 相互独立，所以,A B 相互独立，故B 正确;对于C ，由()()()P A P B P A B +=⋃，()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()0P AB =，由()()01,01P A P B <<<<得()()0≠P A P B ，故()()()P AB P A P B ≠，所以事件A ，B 相互独立错误，故C 错误;对于D ，由()()(|)P AB P AB P B A +=，得()(|)P B P B A =，又()(|)()P AB P B A P A =，所以()()()P AB P A P B =，所以,A B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，则下列关于函数()f x 的说法，正确的是（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图象关于π2x =对称C.()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的值域为2⎤⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A 、B ，再根据A 、B 结论及三角函数的图象与性质可判定C 、D.【详解】对于A ，根据诱导公式可知：πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，故()f x 的一个周期为π2，即A 正确；对于B ，根据诱导公式可知：()()()()()πsin πcos πsin πcos πf x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，所以()f x 的图象关于π2x =对称，即B 正确；对于C ，易知()()()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，即()f x 为偶函数，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，故C 错误；由B 结论可知ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个周期，此区间上()()()max min π02,4f x f f x f ⎛⎫===±= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，12AA=，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[]1,0,1CQ mCC m =∈，则（）A.当12m =时，1A P PQ +B.当14m =时，存在点P ，使1A PQ ∠为直角C.当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BDD.当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为π4【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用对称性得到1A P PQ +；B 选项，设(),,0P s t ，表达出22211,,A P PQ A Q ，利用22211A P PQ A Q +=得到()()2222110s t s t -+++-=，方程无解，B 错误；C 选项，设(),,0P s t ，表达出11102A Q D P s t ⋅=-++= ，得到轨迹，由线线平行得到线面平行，C 正确；D 选项，设(),,0P s t ，表达出22111224s t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到轨迹为圆，求出面积.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()11,0,2,0,1,1A Q ，则点Q 关于平面ABCD 的对称点为()0,1,1Q '-，连接1A Q '，与平面ABCD 的交点即为使得1A P PQ +取最小值的点P ，此时11A P PQ AQ +==='A 正确；B 选项，当14m =时，()111,0,2,0,1,2A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()222114A P s t =-++，()222114PQ s t =+-+，22111711224A Q ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，令22211A P PQ A Q +=，即()()222211714144s t s t -++++-+=，故()()2222110s t s t -+++-=，则需满足10,0,0,10s s t t -===-=，不合要求，故不存在点P ，使1A PQ ∠为直角，B 错误；C 选项，当78m =时，()()1171,0,2,0,1,,0,0,24A Q D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()()11710,1,1,0,21,1,,,,244A Q D P s t ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11111,1,,,2042A Q D P s t s t ⎛⎫⋅=--⋅-=-++= ⎪⎝⎭ ，在平面ABCD 中画出(),,0P s t 点的轨迹，如图所示，其轨迹为线段MN ，其中,M N 分别为,AD AB 的中点，其中//MN BD ，又BD ⊂平面1C BD ，MN ⊄平面1C BD ，故//MN 平面1C BD ，当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BD ，C正确；D 选项，当116m =时，()111,0,2,0,1,8A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()111,,2,,1,8A P s t PQ s t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ，则()221111,,2,1,084A P PQ s t s t s s t t ⎛⎫⋅=--⋅--=-+-+-= ⎪⎝⎭ ，即22111224s t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点P 的轨迹为以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，刚好与正方形ABCD 相切，故面积为211ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为1π4，D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示与解析几何的相关知识结合即可得解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.设向量()()2,0,,1a b m =-=，若()a b b +⊥ ，则+= a b ______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直列方程得参数，进一步由模长公式即可求解.【详解】由题意()()2,1,,1a b m b m +=-=，因为()a b b +⊥，所以()210m m -+=，解得1m =，所以()1,1a b +=-，从而a b +=.13.双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，O 为原点，,M N 为C 上关于原点对称的两点，若222NF MF =，则MO =______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质结合余弦定理计算即可.【详解】如图示，连接11,MF NF ，易知四边形12MF NF 平行四边形，124F F =，根据双曲线的性质及已知有21222224NF NF NF MF MF NF -=-==⇒=，根据余弦定理可知：222222122244244cos 2828OM F NF NF M +-+-∠=∠=⨯⨯，又222222122244244cos cos 02828OMF NF NF M OM +-+-∠=-∠⇒+⇒=⨯⨯.14.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()1212f x f x f x x =，且当0x >时，()0f x >．若()()33f f a ='=，则()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为______．（结果用含a 的表达式表示）【答案】920++=x ay 【解析】【分析】利用赋值法分别令13x =，1x =可得()1f ，13f ⎛⎫⎪⎝⎭，根据()f x 为偶函数得13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()()33af x f x =''，令1x =、13x =可得13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'，()f x 为偶函数求出13f ⎛-'⎫⎪⎝⎭，再由直线的点斜式方程可得答案.【详解】因为()3f a =，所以()()()33f f x f x =，即()()3af x f x =，令13x =，有()113a f f ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，令1x =，有()()13a f f a ⨯==，所以()11f =，113f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()f x 为偶函数，所以11133f f a⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()33af x f x =''，令1x =得()()1333af f a ''==，所以()13f '=，令13x =得()13193af f ⎛⎫== ⎪⎝⎭''，所以193f a⎛⎫= ⎪⎭'⎝，因为()f x 为偶函数，所以193f a⎛⎫-=-⎪⎭'⎝，所以()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为1913y x a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即920++=x ay .故答案为：920++=x ay .【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、()f x 为偶函数求出13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、13f ⎛-'⎫ ⎪⎝⎭，再由直线点斜式方程求解.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在()3,3μσμσ-+之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的10个产品中尺寸在()3,3μσμσ-+之外的产品数，求()1P X ≥②请说明上述监控生产过程方法的合理性．附：()100.99740.9743,330.9974P X μσμσ≈-<<+=【答案】（1）2100;159x S ==;（2）()10.0257P X ≥≈;说明见解析.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数与方差计算公式计算即可；（2）根据正态分布的定义及性质计算、分析即可.【小问1详解】由题意可知：x =（700.0025800.009900.0221000.0321100.024⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+1200.0081300.0025⨯+⨯）10100⨯=，=2S[()()()222701000.0025801000.009901000.022-⨯+-⨯+-⨯+()()221001000.0321101000.024-⨯+-⨯+()()221201000.0081301000.0025-⨯+-⨯]10159⨯=，【小问2详解】①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974，所以()10110.99740.0257P X ≥=-≈；②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有10.99740.0026-=，一天内抽取10个零件中，发现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有0.0257，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.16.已知四边形ABCD 的外接圆面积为7π3，且2,BD CD BAD ==∠为钝角，（1）求BCD ∠和BC ；（2）若21sin 7ABD ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3BCD ∠=，3BC =（2）【解析】【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =，再利用余弦定理求出3BC =；（2）求出2BCD S =，并利用正弦定理和余弦定理求出2AD =，1AB =，利用三角形面积公式求出ABD S ，相加后得到答案.【小问1详解】四边形ABCD 的外接圆面积为7π3,即BCD △的外接圆面积为7π3，设BCD △的外接圆半径为R ，则27ππ3R =，解得3R =，在BCD △中，2212sin 3BD R C ==，即7221sin 3C =，故3sin 2C =，因为BAD ∠为钝角，所以BCD ∠为锐角，故π3C =，由余弦定理得222cos 2BC CD BD C BC CD +-=⋅，即2π47cos 322BC BC +-=⋅，故232BC BC -=，解得3BC =，负值舍去，【小问2详解】11πsin 32sin 2232BCD S BC CD C =⋅=⨯⨯=，因为πA C +=，所以2π3A =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A=∠，又21sin 7ABD ∠=21372=，解得2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅，即247142AB AB +-=-，解得1AB =，故112πsin 12sin 2232ABD S AB AD A =⋅=⨯⨯=，四边形ABCD的面积为22BCD ABD S S +=+= 17.在圆221:4C x y +=上任取一点P ．过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为D ，点M 满足12DM DP =．（1）求M 的轨迹2C 的方程；（2）设()()2,0,2,0A B -，延长MD 交2C 于另一点N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，判断BDE △与 BDN 的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，定值为45【解析】【分析】（1）利用相关点法，设(),M x y ，由题意可得(),2P x y ，代入圆221:4C x y +=即可得结果；（2）设()000,,0M x y y ≠，则()()000,,,0N x y D x -，根据题意求点E 的纵坐标，进而可得结果.【小问1详解】设(),M x y ，因为点M 满足12DM DP =，即点M 为线段DP 的中点，可知(),2P x y ，且点P 在圆221:4C x y +=上，则2244x y +=，即2214x y +=，所以M 的轨迹2C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】设()000,,0M x y y ≠，则()()000,,,0N x y D x -，则直线AM 的斜率002AM y k x =+，可知直线DE 的斜率002DE x k y +=-，即直线DE 的方程为()0002x y x x y +=--，且直线BN 的方程为()0022y y x x =---，联立方程()()00000222x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪-⎩，消去x 解得()()200220044x y y y x -=--，且()00,M x y 在椭圆上，则220014x y +=，即220044x y -=-，可得()()()()220022220000444544xy y y y yy x y y --===-----，即点E 的纵坐标为045y -，所以014425152BDE BDNBD y S S BD y ⋅==⋅- （定值）..【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．18.在如图所示的几何体中，DA ⊥平面,ABC EB ⊥平面,2ABC AC BC BE ===，记M 为DC 中点，平面DAC 与平面EBC 的交线为l ．（1）求证：l ⊥平面ABC ；（2）若三棱锥M ABC -的体积1V 与几何体ABCDE 的体积2V 满足关系216,V V P =为l 上一点，求当2V 最大时，直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）5【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理及性质定理可证.（2）根据条件求出,AB AD 长度，建立空间直角坐标系，用向量法求出直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值，利用导数求出最大值.【小问1详解】因为DA ⊥平面,ABC EB ⊥平面ABC ，所以//DA BE ,又DA ⊄平面EBC ，BE ⊂平面EBC ，所以//DA 平面EBC ,又DA ⊂平面DAC ，且平面DAC 与平面EBC 的交线为l ，所以//DA l ，所以l⊥平面ABC .【小问2详解】设,2DA h AB x ==，取AB 的中点O ，因为AC BC =，所以CO AB ⊥，因为M 为DC 中点，所以M 到平面ABC 的距离为2h，因为DA ⊥平面ABC ，DA ⊂平面ABED ，所以平面ABC⊥平面ABED ，且平面ABC ⋂平面ABED AB =，CO ⊂平面ABC ，所以CO ⊥平面ABED ，1132ABC h V S ∆∴=⋅，213ABED V S CO =⋅，又216,V V =即()211126232322h h x CO x CO +⋅⋅⋅=⨯⨯⨯，解得1h =，()212112332ABED V S CO x x +=⋅=⨯⨯2=≤，当且仅当224x x -=，即x =时取等号，所以当2V最大时AB CO ==,如图建立空间直角坐标系，则())()(),,0,,A B C D,设()(),0P t t>，则()CD =，()),AB AP t ==，设平面PAB 的一个法向量()111,,n x y z =，因为n AB n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以11110tz ⎧=⎪++=，令1y =，则1120,x z t ==-，即2n t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设直线CD 与平面PAB 所成角为θ，所以sin cos ,5CD n θ===令()2212t y t +=+，则()()()()()()2222222212122222t t t tt t y tt++-+⋅-++='=++，令0'>y ，则220t t --<，所以12t -<<，函数y 在()0,2上为增函数，在()2,∞+上为减函数，所以当2t =时max 32y=，即()max sin 5θ=，故直线CD与平面PAB 所成角的正弦值的最大值5.19.如果函数()F x 的导数()()F x f x '=，可记为()()F x f x dx=⎰．若()0f x ≥，则()()()b af x dx F b F a =-⎰表示曲线()y f x =，直线,x a x b ==以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积．（1）若()1F x dx x =⎰，且()11F =，求()F x ；（2）已知π02α<<，证明：0cos cos a xdx ααα<<⎰，并解释其几何意义；（3）证明：1π2π3ππ221cos 1cos 1cos 1cos πn n n n n n 骣琪++++<琪桫 ，*n ∈N ．【答案】（1）()ln 1F x x =+（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.（2）先由定积分的预算得到cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，再分别构造函数()sin g x x x =-和()sin cos h x x x x =-，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.（3）先由二倍角公式化简得到ππ1cos22k k n n+=，再由定积分的意义得到2π2π3ππcos cos cos cos 2222n n n n ⎛⎫++++ ⎝⎭ 0π2cos 2x dx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，最后根据求导与定积分的运算得到()()10π2π2cos 10sin 2π2πx dx F F ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰，最后得证.【小问1详解】当0x >时，因为()1ln x x'=，所以设()1ln F x x C =+，又()11F =，代入上式可得()111ln111F C C =+=⇒=，所以，当0x >时，()ln 1F x x =+；当0x <时，设()()2ln F x x C =-+，同理可得21C =，综上，()ln 1F x x =+.【小问2详解】因为()cos sin F x xdx x C =⎰=+，所以0cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，设()πsin ,02g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x ='->恒成立，所以()g x 在π02x <<上单调递增，所以()()min 00g x g >=，故sin αα<，即0cos axdx a <ò；设()sin cos h x x x x =-，π02x <<，则()sin 0h x x x '=>恒成立，所以()h x 在π02x <<上单调递增，()()min 00h x h >=，所以0cos cos axdx a a <ò，综上，0cos cos axdx ααα<<⎰.几何意义：当π02x <<时，曲线cos y x =与直线0x =（y 轴），x α=以及x 轴围成的“曲边面积”大于直线0x =（y 轴），x α=以及x 轴，直线cos y α=围成的矩形面积，小于0x =（y 轴），x α=以及x 轴，直线1y =围成的矩形面积.【小问3详解】π,1,2,2k k n n=== ，所以1n +π2π3ππcos cos cos cos 2222n n n n ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭0πcos 2x dx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()2πsin π2F x x =，则()πcos 2F x x ='，所以()()10π2π2cos10sin 2π2πx dx F F ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰，故122πn +++< .【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果.。
重庆市育才中学2020届高三数学12月考前测试试题(无答案)
重庆育才中学12月高三测试题数学试题卷（理科）数学试题卷（理科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
特别提醒：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I （ ） A ．∅ B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,42.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6， 且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.3123．若非零向量a ，b 满足|a |22|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 4．已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝⌝∧ D ．p q ⌝∧ 5．二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．722S S k =+0,1S k ==1k k =+7题图6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为 A ．3k ≤ B ．4k ≤ C ．5k ≤ D ．6k ≤8．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、 生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课 不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻， 则不同排法的种数是A ．408B ．480C ．552D ．816 9．如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= . 12．圆22(1)5x y ++=上的点到直线290x y -+=的最大距离为 ．13．设常数1a >，实数,x y 满足log 2log log 3a x x x a y ++=-，若y 2，则x 的值为 ．考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 15．设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．16．设函数()12f x x x a =-+-，若关于x 的不等式21()14f x a ≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设函数21()cos()cos sin ()22f x x x x ππ=----． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ) 若32()110f α=-，且3(,)88ππα∈，求()8f πα-的值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .19．（本小题满分13分，（1）小问3分，（2）小问5分，（2）小问5分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N（1）请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线//MN 平面BDH （3）求二面角A EG M --的余弦值.20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26. （1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=(n N *∈)．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设2n n n S P a =，n T =13521n n n P P P P T T -⋅⋅⋅⋅⋅<．。
重庆市育才中学2020届高三下学期入学考试数学(文)试题
重庆育才中学高2020级2019-2020学年下学期入学考试文科数学试题（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{})2ln(-==x y x A ，{}|2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．()∞+，2D ．[)∞+，2 2．已知复数z 满足()i i z 221+=+（其中i 为虚数单位)，则复数z 的虛部为（ ） A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-3．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则“A b B a cos cos =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于20分钟的概率为（ ） A ．21B ．16C ．32 D ．31 5．已知P 是椭圆1222=+y x 上任一点，O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为（ ）A ．1222=+y xB ．1222=+y xC ．12422=+y xD ．14222=+y x6．已知()31cos -=+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin （ ） A ．91 B ．91-C ．97 D ．97-7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，，42763==S S 则9S 为（ ） A ．175B ．217C ．252D ．2948．若函数()⎩⎨⎧<-≥--=1,121,32x ax x a ax x x f 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-031， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，319．已知y x ,满足不等式组22020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则22y x z +=的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．52D ．410．已知过球面上三点C B A ,,的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABC ∆是边长为6的等边三角形，则球面面积为（ ） A ．π42B ．π48C ．π64D ．π6011．已知直线()()02:>+=k x k y l 与抛物线x y C 82=：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A ．33B ．3C ．32 D ．322 12．已知圆O 是边长为34的等边ABC ∆的外接圆，G 是ABC ∆所在平面内的动点，且1=OG ,则GC GA 2+ （ ）A ．10B ．8C ．6D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知两个单位向量,a b v va b a =，则向量a v 与b v的夹角为_____________.14．已知函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()01<-x f ，则x 的取值范围是_________.15．设点P 为椭圆：1244922=+y x 上一点，21F F ，分别是椭圆的左右焦点，G 为21F PF ∆的重心，且21PF PF ⊥，那么2GPF ∆的面积为___________. 16．设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[0,0.5),[0.5,1),...,[3,3.5]制作了频率分布直方图，（1）从频率分布直方图中估计该40位居民月均用水量的 众数，中位数； （2）在该样本中．．．．月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？18. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足()(sin sin sin )3sin a b c B C A b C +++-= (1) 求A ；(2) 若ABC ∆的面积为32，3a =ABC ∆的周长.19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2,AB CD CD AB AC =与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上，13AN AP =. (1)求证：//MN 平面PCD ； (2)若1,2,60AB AD DP PA PB BAD ︒=====∠=，求点N 到平面PCD 的距离.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222x y a bC:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为12F 、F ，左顶点为A ，且12=FF 4，2B(2,)是椭圆上一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线≠y=kx （k 0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE,AF 分别与y 轴交于点M,N ，求证：在x 轴上存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，以MN 为直径的圆都必过点P ，并求出点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数221()ln(1),()ln ln(1)2f x x ax x g x a x x ax x x=++-=--+-+， (1) 若函数()f x 在点(1))f (1，处的切线与直线220x y -+=3平行，求实数a 的值；(2)设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值点12,x x ，其中11(0,]x e∈，求 12()()h x h x -的最小值（注：其中e 为自然对数的底数）.四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρθθ=4cos +6sin . (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设曲线C 与直线l 交于点M,N ，点A 的坐标为(3,1),求11+AM AN.23. （本小题满分10分）已知函数()2-4+1f x x x =+，不等式()9f x ≤的解集为M . (1) 求M ；(2) 若m 为M 中的最大元素，正数,a b 满足12m a b +=,证明2142a b ab ++≥.重庆育才中学高2020级2019-2020学年下学期入学考试文科数学答案一、选择题：CBADC DBBAC DB二、填空题 13.3π 14.()∞+，1 15.8 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 17.(1)该40位居民月均用水量的众数2.25，中位数2；(2)由直方图可知：月均用水量在[)0,0.5的人数为：400.10.5=2⨯⨯人，记为:a,b ，月均用水量在[)0.51，的人数为：400.20.5=4⨯⨯人，记为：Ａ,B,C,D ……8分 从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共15种，其中月均用水量都在[)0.51，的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是P =615=25.18. (1)∵()()sin sin sin 3sin a b c B C A b C +++-=，∴根据正弦定理，知()()3a b c b c a bc +++-=，即222b c a bc +-=.∴由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==.又()0πA ∈，，所以3A π=.(2) 113sin sin 2232ABC S bc A bc π∆====Q bc ∴=由余弦定理得：()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-()(2223123b c a bc ∴+=+=+=+，解得：3b c +=ABC ∆∴的周长33L a b c =++=+=+19. (1)//AB CD Q , 111,=23313AN AM AB AM AM AN A MC CD AC A P AC P ∴===∴==Q ，又， //MN PC ∴,又,MN PCD PC PCD ⊄⊂平面平面,//MN ∴平面PCD ;(2) (2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ABCD ⊥平面 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，因为平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，所以ME ⊥平面PCD ． 又因为//MN 平面PCD ，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离．在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h =因为23MD MC BD AC ==，所以23ME h ==，即N 到平面PCD解法二、（1）同解法一．（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ． 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅V V ．因为122ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=V ，112PCD S PD CD =⋅=V ，1PD =，所以21923d ⨯=，解得3d =，即N 到平面PCD的距离为3． 20. （1）依题意椭圆方程为22184x y +=；（2）假设存在这样的点P ，设()0,0P x ，()11,E x y ，1>0x ，则()11,F x y --，联立22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221280kx+⋅-=，解得1x =1y =因为()A -，所以AE 所在直线方程为(),222112+⋅++=x k ky ，可得M ⎛⎫ ⎝，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以0PM x ⎛⎫=- ⎝u u u u r，0PN x ⎛⎫=- ⎝u u u r ， 则2040PM PN x ⋅=-=u u u u r u u u r ，解得02x =或02x =-，所以存在点P 且坐标为()2,0或()2,0-，使得无论非零实数k 怎么变化，以MN 为直径的圆都必过点P .21.(1) 依题意1a =;(2) ()1ln h x x a x x =-+，()222111a x ax h x x x x +='+=++由题意得方程210x ax ++=的两根分别为12,x x ，且1212,1x x a x x +=-= 所以211111,x a x x x ==--， 则()()()1211111111112ln h x h x h x h x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()112ln x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()()()22211121ln ln x x x x x x x ϕ-+⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭ 当10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 14x e e ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()12h x h x -的最小值为4e.22. ()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+， ∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==Q∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线3:12x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得221213⎛⎫⎫-+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∴(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∴点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,12121212121212121111+=+====88t t t t t t t t t t t AM AN t t t t t +=-===⋅+-∴⋅⋅ ..{212123()9,2-4+193395933924122124}x x x f x x x x x x x x x x x >-≤≤≤-⎧⎧⎧≤∴+≤⎨⎨⎨-≤-≤-+≤⎩⎩⎩∴<≤-≤≤-≤≤-∴-≤≤（1），即或或或或不等式的解集为(2)为中的最大元素，，（当且仅当时等号成立）即.。