容斥原理文稿
容斥原理讲解
容斥原理讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠容斥原理。
你说这容斥原理啊，就像是一场奇妙的拼图游戏。
咱就打个比方吧，比如说你有一堆各种各样的糖果，有巧克力糖、水果糖、奶糖。
然后呢，你想知道总共有多少颗糖，但是这里面有些糖果它既是巧克力味又是水果味的呀，还有些可能既是奶糖又是巧克力糖。
这时候容斥原理就派上用场啦！它能帮你理清这些重复的部分，准确算出糖果的总数。
你想想看，在生活中不也经常会遇到这样类似的情况嘛。
比如说你参加了好几个兴趣小组，篮球小组、绘画小组、音乐小组。
那在统计参与人数的时候，可不能简单地把各个小组的人数一加就完事儿了，因为有些人可能同时参加了好几个小组呀，这就需要用容斥原理来好好算一算啦！再比如说班级里评选优秀学生，有的同学学习好，有的同学品德好，还有的同学文体好。
但也有同学是好几方面都好呀，那在统计优秀学生人数的时候，不就得考虑到这些重叠的部分嘛，不然可就不准确啦。
容斥原理不就是这样嘛，它让我们能更清楚、更准确地去理解和处理那些有重叠、有交叉的情况。
就像我们在生活中处理各种关系一样，朋友之间可能有共同的爱好，工作中可能有交叉的任务，都需要我们用智慧去分辨和处理呀。
它不是那种死板的理论，而是非常实用的工具呢！它能让我们在面对复杂的情况时不慌乱，能有条理地去分析和解决问题。
你说这容斥原理是不是很神奇呢？它就像是一把钥匙，能打开我们理解复杂世界的大门。
让我们能更清晰地看到各种事物之间的关系，避免重复计算或者遗漏重要信息。
所以啊，大家可别小瞧了这容斥原理，它在很多地方都能派上大用场呢！无论是在数学领域，还是在我们的日常生活中，它都能给我们带来很多帮助和启示。
我们要好好去理解它、运用它，让它为我们的生活增添更多的精彩和便利呀！这容斥原理，真的是很有意思的东西呢，大家难道不这么觉得吗？。
高二数学容斥原理
竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合A的元素个数)。
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。
原理二：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：第一步求|A|+|B|+|C|；第二步减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步加上|A∩B∩C|。
例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人？例3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。
参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。
同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。
问参加棋类比赛的共有多少人？例4边长分别为6，5，2的三个正方形，如图8—5所示放在桌面上。
问它们盖住的面积是多大？例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？练习题1. 某班共有48名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有28人，问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少．2.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？3. 不超过110且与110互质的自然数有几个？4.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。
4章 容斥原理
第四章 容斥原理容斥原理又称为“入与出原理”、“包含排斥原理”或“交互分类原理”。
它是组合学中的一个基本计数理论。
用加法法则解决一些集合的计数问题时，一般要求将计数的集合划分为若干个互不相交的子集，且这些子集都比较容易计数。
然而，实际中又有很多计数问题要找到容易计数而又两两不相交的子集并非易事。
但往往能够知道某一集合的若干相交子集的计数，进而把所要求的集合中的元素个数计算出来。
这一计数方法就是下面所要介绍的容斥原理。
§4.1 引 言（一） 研究内容（1）实例求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数的个数。
①不超过20 的正整数中是2的倍数的数有⎥⎦⎥⎢⎣⎢220＝10个，即2,4,6,8,10,12,14,16,18,20； ②是3的倍数的数有⎥⎦⎥⎢⎣⎢320＝6个，即3,6,9,12.15,18；③二者相加为16个。
但实际上满足条件的数只有13个：即2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20；原因在于把既是2的倍数，又是3的倍数的数重复算了一次，这样的数恰好有⎥⎦⎥⎢⎣⎢⨯3220＝3个，即6,12,18。
④正确的统计方法应为：16＋6－3＝13个。
（2）内容容斥原理所要研究的就是若干个有限集合的交或并的计数问题。
（二） 集合运算由于讨论过程中要涉及到有关集合的概念及性质。
故这里不加证明地给出集合论中一些简单的结果。
用大写字母表示一个集合，如A 、B 、C 、S 等，用小写字母表示集合的元素，如a 、b 、c 、x 、y 、z 等。
元素a 属于集合A ，记为A a ∈，不属于A ，记为A a ∉ . 空集记为φ。
关于集合的运算，有（1） 并（和）：记为B A 或A ＋B ； （2） 交（积）：记为B A 或AB ； （3） 差：记为A －B ，A －B ＝B A ⋅＝A －AB （4） 对立集（非）：即A ＝S －A（三） 优先级类似于数字的四则运算，我们这里规定在混合算式中的优先级为：先取非，次为交，再次为并或差。
5年级-14-容斥原理-难版
第14讲容斥问题知识梳理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A 类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C典型例题容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
简单的容斥原理
简单的容斥原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：容斥原理，又称为容斥原理（principle of inclusion-exclusion），是一种常用于组合数学和概率论中的计数方法。
它的基本思想是通过包含和排除不同集合元素的方法来计算某一事件的概率或组合的个数。
容斥原理的应用范围很广，可以解决各种复杂的计数问题，为数学领域提供了一种简单而有效的工具。
容斥原理最早由法国数学家法拉吉（Polignac）于1831年提出，并在之后由蒲加乌（Pólya）进一步发展和推广。
容斥原理的基本形式可以总结为以下公式：设A_1, A_2, ..., A_n为n个事件（集合），则这n个事件的并集的概率（或组合数）为：P(A_1∪A_2∪...∪A_n) = ΣP(A_i) - ΣP(A_i∩A_j) +ΣP(A_i∩A_j∩A_k) - ... +(-1)^{n+1}P(A_1∩A_2∩...∩A_n)其中Σ表示对所有可能的事件组合进行求和，P表示概率（或组合的个数），A_i表示第i个事件（集合），A_i∩A_j表示第i个和第j个事件的交集，以此类推。
假设有三个事件A、B、C，容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)容斥原理的基本原理就是通过对同一事件的不同性质进行分析，通过适当的相加和相减来避免重复计数，从而得到最终的结果。
这种方法在解决组合数学和概率问题时非常有用，可以高效地解决各种复杂的计数问题。
容斥原理的应用举例包括生日悖论、骰子的概率问题、皇后问题、洗牌问题等。
以下以一个简单的生日悖论为例来说明容斥原理的应用。
假设有n个人，每个人的生日在365天中随机分布。
现在要计算至少有两个人生日相同的概率。
根据容斥原理，可以将事件A_i定义为第i个人与其他人生日不同的事件。
则至少有两个人生日相同的概率为1-P(A_1∩A_2∩...∩A_n)。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
五年级奥数-容斥原理(一)
容斥原理（一）
森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。
其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍。
它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语。
那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人。
在1至2011的自然数中，
⑴能被3或5或7整除的数有个；
⑵能同时被3，5，7整除的有个；
⑶能被3整除，但不能被5和7整除的有个；
⑷能被5和7整除，但不能被3整除的有个。
体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3， (60)
然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。
中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？。
简单的容斥原理
简单的容斥原理容斥原理是数学中的一个基本原理，它涉及到集合的计数问题。
这个原理在日常生活和数学问题中都有广泛的应用。
下面我们将通过一个简单的例子来解释容斥原理。
假设有一个班级里有30名学生，现在我们要计算班级里有多少个学生是戴眼镜的，多少个学生是戴隐形眼镜的，以及多少个学生既不戴眼镜也不戴隐形眼镜。
我们可以将戴眼镜的学生记为集合A，戴隐形眼镜的学生记为集合B，既不戴眼镜也不戴隐形眼镜的学生记为集合C。
根据容斥原理，我们可以得到以下关系：1. 班级总人数= 集合A的人数+ 集合B的人数+ 集合C的人数。
2. 集合A和集合B的交集（即同时戴眼镜和隐形眼镜的学生）的人数= 集合A 的人数+ 集合B的人数- 总人数。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理在处理集合计数问题时的重要作用。
这个原理可以广泛应用于各种不同的场景，帮助我们更准确地理解和解决各种数学问题。
当然，容斥原理的应用远不止于此。
以下是一些更复杂的例子，它们展示了容斥原理在数学和实际问题中的广泛应用：1. 错排问题：错排问题是组合数学中的一个重要问题，它涉及到排列和组合的计数。
容斥原理在这里的应用可以帮助我们更准确地计算错排的数量。
2. 图形计数问题：在图形计数问题中，我们经常需要计算满足某些条件的子图的数量。
通过使用容斥原理，我们可以更准确地计算出这些数量。
3. 概率论：在概率论中，容斥原理可以用来计算多个事件同时发生的概率。
通过将各个事件的概率相加，然后减去重叠部分的概率，我们可以得到最终的结果。
4. 计算机科学：在计算机科学中，容斥原理可以用来优化数据结构和算法。
例如，在数据库查询中，我们可以通过使用容斥原理来优化索引和查询性能。
总的来说，容斥原理是一种强大的数学工具，它可以用来解决各种计数和优化问题。
通过理解和掌握这个原理，我们可以更好地理解和解决各种数学和实际问题。
小学数学竞赛第八讲 容斥原理
第八讲容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步从上面的和中减去交集的元素个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
例1 求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。
分析与解：设I=｛1，2，3，…，19，20｝，A=｛I中2的倍数｝，B=｛I 中3的倍数｝。
显然，题目要求计算并集|A∪B|的元素个数，即求|A∪B|。
易知，A=｛2，4，6，…，18，20｝，共有10个元素，即|A|=10，B=｛3，6，9，12，15，18｝，共有6个元素，即|B|=6。
A∩B=｛I中既是2的倍数又是3的倍数｝=｛6，12，18｝共有3个元素，即|A∩B|=3，所以|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=10+6-3=13答：所求的数共有13个。
此题可直观地图示如下：图8-1中，A表示不超过20的正整数中2的倍数的集合。
B表示不超过20的正整数中3的倍数的集合。
在不超过20的正整数中既是2的倍数又是3的倍数的数有6，12，18，即A∩B中的数。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上有38人。
问两科都在90分以上的有多少人？（1985年初一迎春杯数学竞赛试题）解：设A=｛数学成绩90分以上的学生），B=｛语文成绩90分以上的学生｝。
容斥原理
IIO 中 CM 讲稿第三章 容斥原理大家知道加法原理是一种用途极广的重要计数原理，但是在使用加法原理进行计数时，必须要首先对集合作有效的划分，即要找出集合B 的一族满足以下条件的子集B 1，B 2，……，B k 来：（ⅰ）B B i k=∑1;（ⅱ）Φ=⋂j i B B ，1≤i<j ≤n ， 以便分而算之，这种划分要称“剖分”。
（ⅲ）称为互不相容或互斥.要计算的若干情况下，计算i k B ∑1时，其中这些集合未必两两之交为空，这样即使∑=i B B ，而B i ……B k ，并不是B 的一个剖分，故不能用加法原理计算。
这种只满足（ⅰ）而不满足（ⅱ）的解B i 称为B 的一个“不完全划分”，为了计算这种场合下B 的元素数目，我们需要使用所求的容斥原理。
我们已不知不觉用过它了。
容斥原理与加法原理一样都是重要计数原理。
例1 有m 个人排成一排，规定甲不排在左端，乙不排在右端，有多种不同的排法。
解： m 人排一排共有m p m m =!,其中甲在左端的排法有)1(11-=--m p m m ！，乙在右端也有)1(11-=--m p m m ！种，但这两者中都包含有“甲在左，乙在右”的排法22--m m p 种，所以符合要求的排法有22122+---+-m m m m m m P P p 种。
（可用Venn 图表示） 212121B B B B B B -+=（在所有排法B 1+B 2中，21B B 减去二次）推广到n 个，n n n n n n n n B B B B B B B B B B B B B B B B B 1112321211221)1(----++++---++=以上可用数归法证之。
例2 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成多少个比20000大，并是百位数不是数字3没有重复数字的五位数？这是1985年高考题之一。
分析：它可等价地陈述为：用1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个万位数不是1，并且百位数不是3的及有重复数字的五位数？解： 设万位数为1的所有数字为B 1，百位数为3所有数字为B 2，那么21B B 恰为要排除的数，故答案为7862421202334455=+⨯-=+-P P PB=120!555==P 24!44421====P B B 6!321==B B 。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
完整word版小学奥数 容斥原理教师版
容斥原理“我有森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有翅膀，我应该是属于鸟类的。
种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象80”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问：”高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
了仙鹤和大象的统计结果，这个统计正确吗？”这个故事说明了一个同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。
数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部：当两个计数分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
1容斥原理属+ A类元素个数两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于、如果被计数的事物有AB B类的元素个数。
类元素个数—既是于BA类又是B B = A+B - A∩即A∪2容斥原理类元素个A类和B类和C类元素个数总和= 、如果被计数的事物有AB、C三类，那么，A类的元素B类的元素个数—既是A类又是C类元素个数数+ B+C类元素个数—既是A类又是类的元素个数。
类而且是C+个数—既是B类又是C类的元素个数既是A类又是B CC - C∩A + A ∩B∩B - BB即A∪∪C = A+B+C - A∩∩1容斥原理人语、人语文得满分，并且有4人数学得满分，有】【例1★一次期末考试，某班有1512数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？类元素”，【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类的元素”，BA类元素”，“语、数都是满分”称为“既是类又是“语文得满分”称为“B 类元素个数”的总和。
竞赛讲座(容斥原理)
竞赛讲座(容斥原理)一、 知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。
它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A容斥原理可以用一个直观的图形来解释。
如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
二、 例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。
解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816.所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633.例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
第二十讲 容斥原理
第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。
有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。
[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。
[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。
[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。
容斥原理的定义
容斥原理的定义“哎呀，我的笔怎么又不见了！”我一边在书包里翻找着一边嘟囔着。
这一天，我正在教室里收拾书包准备回家。
教室里同学们也都在叽叽喳喳地说着话，有的在讨论今天的作业，有的在约着放学后一起玩。
我呢，就只顾着找我那不知道藏到哪里去的笔。
同桌小明看到我着急的样子，笑着说：“哈哈，你又在找东西啦！”我白了他一眼，说：“还笑呢，快帮我找找呀！”旁边的小红也凑过来说：“别急别急，慢慢找嘛。
”我心里那个郁闷呀，这支笔到底跑哪儿去了呢？突然，我灵机一动，想到了一个办法。
我把书包里的东西一股脑儿地倒在了桌子上，然后一样一样地开始检查。
小明惊讶地说：“哇，你这是要大扫荡呀！”我没好气地说：“哼，我就不信找不到！”就在这时，我看到那支笔正静静地躺在一本本子下面。
我高兴地叫起来：“找到了找到了！”小红笑着说：“看吧，这不是找到了嘛。
”我看着桌子上这一堆乱七八糟的东西，突然想到，这找笔的过程不就像容斥原理嘛！就好像在一个大集合里找一个小元素，有时候要把其他相关的东西都弄清楚了，才能准确地找到目标呀！哎呀呀，我可真是个小机灵鬼！容斥原理不就是这样嘛，它就像是我们在生活中解决各种问题的一个好帮手。
比如说，我们要统计班级里喜欢语文或者喜欢数学的同学人数，那就得先把喜欢语文的同学找出来，再把喜欢数学的同学找出来，但是这里面可能有既喜欢语文又喜欢数学的同学呀，这部分同学就不能重复计算，这不就和我找笔一样嘛，得把那些重复的、干扰的因素都排除掉，才能得到最准确的结果呀！大家想想看，生活中很多事情不都是这样嘛！我们不能简单地把各种情况直接加起来，而要考虑到其中的重叠部分，要把那些多余的部分去掉。
这容斥原理可真是太有用啦！所以呀，我们可得好好理解和运用它，让它帮助我们更好地解决问题呢！。
容斥原理方法范文
容斥原理方法范文容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，用于解决多个集合的交、并、差等操作的计数问题。
它的核心思想是通过对集合的重叠部分进行适当的加减来计算集合的总数。
我们先来看一个简单的例子，假设有两个集合A和B，求包含在A或B中的元素总数。
根据集合的并操作，我们可以得到A∪B=A+B-A∩B，其中A∩B表示A与B的交集。
如果直接将集合A和B的元素个数相加，那么交集部分的元素就会被重复计算，因此要减去交集的元素个数，从而避免重复计算。
同样的思想可以推广到更多个集合的情况。
假设我们有n个集合A1，A2，…，An，求它们的并集的元素总数。
我们可以定义一个函数f(S)，表示对于n个集合，交集为S的子集合个数。
那么根据容斥原理，我们可以得到：A1∪A2∪…∪An，=∑(−1)^，S，*f(S)其中S表示这n个集合的一个交集的子集，S，表示S中元素的个数。
也就是说，我们要对所有交集非空的子集进行求和，并根据子集的大小加减交集中元素的个数。
再举一个例子，假设有三个集合A，B，C，求它们的交集的元素总数。
根据容斥原理，我们可以得到：A∩B∩C，=，A，+，B，+，C，−，A∪B，−，A∪C，−，B∪C，+，A∪B∪C这个式子的计算过程比较直观，我们先计算每个集合的元素个数，然后计算两两集合的并集，然后再计算三个集合的并集。
最后将计算结果带入上式即可得到交集的元素个数。
容斥原理还可以用于处理更复杂的问题，比如求多个集合的交集或并集的元素个数。
对于求多个集合的交集，我们可以先求出各个集合的并集，然后再减去它们的补集的并集。
对于求多个集合的并集，我们可以先求出各个集合的并集，然后再加上它们的交集的补集的并集。
总结起来，容斥原理方法是一种通过加减交集部分的元素个数来计算集合总数的方法。
它的核心思想是将集合的重叠部分进行适当的加减，从而避免了重复计算。
容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域都有广泛的应用，是解决多个集合操作计数问题的重要工具。
容斥原理(打印)
贡献法与容斥原理例1、（1）12,,X n A A X =⊂，求得集合12A A 的元素个数，证明：所有求得的个数之和为14n n -（2）,X n =子集12,A A X ⊂，且12A A ≠，求得集合12A A 的元素个数，则所有求得的个数之和为()1142n n n ---例2、（1）有两类卡片，每类卡片都有无穷多张，从这些卡片中挑选n 张组成有序组，试证：每类卡片至少包含有一张的有序组有()1221n -- 个；（2）由数字1,2,3组成n 位数，且在n 位数中，1,2,3的每一个至少出现一次，这样的n 位数有多少个？例3、在小于1000的正整数中，既不能被5整除又不能被7整除的数有几个？例4、某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写好收信人地址的信封，问有多少种装信笺的方法，每个信封装一张信笺，并使得每张信笺与信封上的收信人不同？例5、设集合{}1,2,,10S = ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件： （1）5i A =；（2）2,1i j A A i j n ≤≤<≤ ；求这样一组子集的个数n 的最小值例6、设()122,,,n x x x 是{}1,2,,2n 的一个排列，其中n 是一个正整数。
如果1i i x x n +-=对至少{}1,2,,21n - 中的一个i 成立就说这个排列()122,,,n x x x 具有性质p 。
试证明对于任意的n ，具有性质p 的排列都比不具有的多。
例7、（1）大厅中有100位客人，每人都至少与其余99人中的67人认识，证明：从这100人中可以找到两两认识的四个人（2）大厅中有100位客人，每人都至少与其余99人中的66人认识，证明：有可能出现这种情况，这100人中任意四个人中一定有两人互不认识例8、一次会议有1990位数学家参加，其中每人至少有1327个合作者，证明：可以找到四位数学家，他们中每两人都合作过例9、平面上有()4n n ≥个点，其中任意三点不共线，又设自然数k n <，证明： （1）若12k n >，且每个点都至少与其他k 个点用线段连接，则必定有某三条线段围成一个三角形； （2）若12k n ≤，则可以让每个点都至少与其他k 个点用线段连接，但任意三条线段都不能围成一个三角形例10、（1）空间中有2m 个点，2m ≥，其中任意四点不共面，证明：如果这2m 个点之间至少连有21m +条线段，则这些线段中至少有三条围成一个三角形（2）空间中有2m 个点，2m ≥，其中任意四点不共面，证明：如果这2m 个点之间至少连有21m +条线段，则这些线段至少能围成m 个三角形例11、（1）空间中有2m 个点，2m ≥，其中任意三点不共线，设M 是21m +条以给定点为端点的线段集合，证明：如存在一个三角形，其顶点为给定的点，其边都属于M（2）证明：如果集合M 的元素不超过2m ，则这样的三角形未必存在例12、集合{}1,2,,280S = ，求最小的自然数n ，使S 的每个n 元子集中都含有5个两两互素的数容斥原理与贡献法（1）1、设正整数,,a b c 为三角形三边长，*,,11a b n n N c n +=∈≤≤-，求这样的三角形个数2、集合{}1,2,,1990S = ,考查S 的31元子集，如果子集中的31个元素之和可被5整除，则称为是好的，求S 的好子集的个数3、求不大于610而至少能被3,5,7之一整除的自然数的个数4、空间中有2m 个点，2m ≥，其中任意四点不共面，证明：如果这2m 个点之间至少连有21m +条线段，则这些线段中至少有三条围成一个三角形5、在不大于1000的自然数中，既不能被5整除也不能被7整除的数有多少个？6、设()122,,,n x x x 是{}1,2,,2n 的一个排列，其中n 是一个正整数。
容容斥原理
容容斥原理《挤挤挨挨，神奇的“容容斥斥”原理大揭秘》在我们生活的三维世界里，有一种看似平常却又深藏玄机的数学法则，这就是今天我们要热烈探讨的主角——"容容斥斥"原理（即包含排斥原理），它就像一个看不见的魔术师，悄无声息地影响着万物的布局与秩序。
想象一下，你正在摆弄一盘五彩斑斓的弹珠，每颗弹珠都自带磁力，既想亲近伙伴，又拒绝过于拥挤。
这恰恰就是"容容斥斥"原理的生动写照。
这个原理，其实源于量子力学的世界，它的核心思想是，在同一量子态下，两个全同粒子不能同时占据同一个状态，就如同满座的电影院，再有观众到来也只能选择尚未被占据的座位。
这个原理用咱们老百姓的话讲，就是“一个萝卜一个坑”，或者“锅里没那么多勺子”。
在微观粒子层面，电子们遵循这一原则，各自占据不同的能级轨道，绝不越雷池一步，这就形成了元素周期表上的稳定结构，进而构建了丰富多彩的物质世界。
试想，若无这神奇的“容容斥斥”原理，原子核中的质子和中子怕是要挤成一团，那我们的世界可能就不存在稳定的分子结构，何谈生命的存在呢！真是让人感叹：“哎呀妈呀，这原理可真是个生活大管家，管天管地还管微观粒子的‘邻里关系’。
”再看宏观世界，我们日常生活中也处处可见其影子。
比如，人潮涌动的地铁车厢里，大家尽可能找空隙站立，避免互相挤压；又如晶莹剔透的雪花，每一片都有独特的六角形结构，正是由于水分子间的“容容斥斥”相互作用，才造就了大自然鬼斧神工的艺术品。
所以说，“容容斥斥”原理不仅揭示了宇宙间微观粒子的规律，更渗透在我们生活的点滴之中。
从微观到宏观，从物理现象到社会行为，这一原理都在默默发挥着它的影响力。
这也让我们不得不感慨：自然界的法则，精妙绝伦，而又通俗易懂，仿佛在告诉我们，无论身处何方，都应该尊重彼此的空间，保持适当的距离，既能亲密无间，又能和谐共生，这才是真正的生活智慧！总而言之，“容容斥斥”原理像一面镜子，映射出自然界秩序井然、和谐平衡的美，也启示我们在人际交往中，如何把握好亲疏分寸，实现个体与群体的和谐共处。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1节“容斥原理”及其应用
【想一想】(Think about it)
我们通常把集合A所包含的元素个数（基数）记为｜A｜。
如图，A={1,2,3,4,5,6}，B={1,4,7,8,9}，则｜A｜
=6，｜B｜=5，思考｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜成立吗？
如果计算单个集合的元素个数时数一数就可以得到，但如果我们计数两个相交集合的并集的个数时怎么做比较好呢？知道两个集合元素个数时，有没有简单的方法去计算它们并集的元素个数？
【秀一秀】（Present it）
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
回到刚才的问题，容斥原理的含义就是说，先把每
个集合的元素个数计算出来，并加起来，再减去重复的元素个数。
｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜
如果是三个集合会怎么样？
请思考
如果被计数的集合有A、B、C三个，那么，集合A、集合B和集合C元素个数总和=集合A元素个数+集合B元素个数+集合C元素个数—既属于集合A又属于集合B的元素个数—既属于A集合又属于集合C 的元素个数—既属于集合B又属于集合C的元素个数+既属于集合A又属于集合B而且也属于集合C的元素个数。
即
｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜B∩C｜-｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜
【试一试】(Try it out)
【例题】1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
[分析]依题意，“数学得满分的学生”构成的集合记为A，“语文得满分的学生”构成的集合记为B，都得满分的同学个数为既属于集合A又属于集合B的元素个数，则“至少有一门得满分的同学”为集合A和集合B元素个数的总和。
[解]“数学得满分的学生”构成的集合记为A，“语文得满分的学生”构成的集合记为B，则｜A｜=15，｜B｜=12，｜A∩B｜=4，从而至少有一门得满分的同学数为
｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=15+12-4=23
【变式训练】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？
[解] 记集合A={看过2频道的人}，集合B={看过8频道的人}，集合C={两个频道都没看过的人}，则｜A｜=62，｜B｜=34，｜A∩B｜=11，从而至少看过一个频道的人数为｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=62+34-11=85
｜C｜=100-｜A∪B｜=15
B∩C｜-｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜=17+18+15-6-6-5+2=35 【变式训练】对某地100户农村家庭拥有电器情况调查如下：有电视机的有60户；有洗衣机的有55户；有电冰箱的有45户；有两种电器的总共有95户；三种电器都有的有20户，那么没有任何电器有多少户家庭？
[解]记集合A={有电视机的家庭}，集合B={有洗衣机的家庭}，集合C={有电冰箱的家庭}，则至少有一种电器的家庭数为｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜
B∩C｜-｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜=60+55+45-95+20=85
则没有任何一种电器的家庭数为：100-85=15
【练一练】(Assignment for thought)
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )
A、27人
B、25人
C、19人
D、10人
2、对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
3、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人?
附答案：
1、【答案】B
【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B
得A∩B=25，所以答案为B。
2、【答案】A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：
根据各区域含义及应用公式得到：
总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。
3、解：设A={数学成绩90分以上的学生}
B={语文成绩90分以上的学生}
那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，
∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38
现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。