高中数学 第二章《平面向量》导学案 新人教A版必修4

第二章《平面向量》导学案（复习课）
【学习目标】
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.
4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.
6.向量的坐标概念和坐标表示法.
7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.
8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.
【导入新课】
向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.
新授课阶段
例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为4
3π
，则k 的值为_______.
解析：
例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：
例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，
且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：
例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b
2
③a ⊥(b －c )，
则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）
A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：
例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r
，
（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：
例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：
课堂小结
本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.
作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题
1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===
（ ）
A ．)35(2121e e +
B ．)35(2121e e -
C ．)53(2
1
12e e - D ．
)35(2
1
12e e - 2．化简)]24()82(2
1
[31--+的结果是（ ）
A ．b a -2
B ．a b -2
C ．a b -
D ．b a -
3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：
①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u r
u u u r
u u u r
其中正确的个数为 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）
A ．=+
B ．=-
C ．=-
D ．=-
5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）
A ．（1，5）或（5，－5）
B ．（1，5）或（－3，－5）
C ．（5，－5）或（－3，－5）
D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）
7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③
)3,2(1-=e )4
3
,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
A ．①
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）
A ．)5,1312
(
B ．)135
,1312(--
C ．)135,1312(或)13
5,1312(--
D ．)13
5,1312(±±
9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为
（ ）
A ．103
B ．－103
C ．102
D ．10
10．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4
π
得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)2
23,2
2(--
B ．)2
23,22(
C ．)2
2
,223(-
D ．)2
2,2
23(-
11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4
π
，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，
D 为BC 的中点，则||AD uuu r
为（ ）
．
A ．
2
15
B ．215
C ．7
D ．18
二、填空题
12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .
14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π3
2，则e a 在方向上的投影为 .
三、解答题
16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.
17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.
参考答案 例1
解析：如图1，设a OA =，4
3π
=∠AOC ，
直线l 的方程为5=y ，
设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2
证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；
(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜
a +
b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设
|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.
例3
解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.
例4
解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5
解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，
∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r
， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r
，
而AB u u u r 与BC uuu
r 不平行，
x
y A
B
O
C
a
b
图1
即31m m -≠--，得12
m ≠， ∴实数1
2
m ≠
时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r
，
而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r
，
∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74
m =． 例6
解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u r
u u u r
u u u r
Q
0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u r
Q 为
2313
130.k k k ±⇒-+-=⇒=
拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A
B
C
B
C
D
A
C
A
B
A
11．提示：A 11()(6)22
AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r u
r r ，
∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g
22115
36(22)12223cos 3242
π=
⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：
12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()(
)
2
2b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ
2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r
,a b r r
Q 又为非零向量,
.a b ∴⊥r r
17．()
121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r
Q
若A ，B ，D 三点共线，则与共线，
,AB BD λ∴=u u u r u u u r
设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.
e e ke e λλ==-u r u r
u u r u u r
故2,8.k λ==-。