2024年人教版七年数学下册教案(全册)第9章 不等式与不等式组不等式

9.1.1不等式及其解集
课时目标
1.能够从实际问题中抽象出不等式,了解不等式和不等式解的意义,会根据给
定条件列不等式.能在实际问题中体会用数学符号语言表达的好处,同时渗透建模、类比的思想方法.
2.通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,理解不等式的解集,并能在数轴上表示出解集.
3.经历对不等式、不等式的解与解集的探究过程,体会问题解决、获得成功体验的快乐,建立学习自信心.
学习重点
不等式的概念.
学习难点
建立不等关系.
课时活动设计
某同学带了20元钱到文具店购买一些自动铅笔和尺子,铅笔一共花费12元,每把尺子2元,现刚好将所带的钱用完,请问购买了多少把尺子?
问题1:我们该如何解决这个问题呢?
问题2:若条件不变,该同学所花费的金额超过20元,我们又该如何解决这个
问题呢?
问题3:若该同学所花费的金额不足20元呢?
设计意图:让学生切实经历不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.贴近生活的实例也有助于学生感受到数学来源
于生活,服务于生活.
引导学生思考:(1)12+2x=20;(2)12+2x>20;(3)12+2x<20.
这三个式子有什么不同点?
引导学生回忆等式的概念,类比得出不等式的概念.
学生根据式子的特点得出不等式的概念:像(2)和(3)这样,用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫做不等式.
例1用不等式表示下列关系:
(1)x与2的和小于7;
(2)a的4倍不等于8;
(3)a与1的差是正数;
(4)x与3的差的10%不大于5.
解:(1)x+2<7;
(2)4a≠8;
(3)a-1>0;
(4)(x-3)×10%≤5.
引导学生发现列出的不等式是将文字表达转化为数学符号表达.
设计意图:通过以上探索,学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义,本节重点和难点都得到了初步突破.
设计以下几个问题,引导学生探索不等式的解和解集的概念.
问题1:当x=4时,12+2x=20成立.
问题2:当x>4时,12+2x>20成立.
x的值 12+2x的值比较12+2x与20的大
小
12+2x>20是否成立
1 14 12+2x<20 不成立
2 16 12+2x<20 不成立
4 20 12+2x=20 不成立
5 22 12+2x>20 成立
7 26 12+2x>20 成立
8 28 12+2x>20 成立…………
通过方程的解即可得出不等式的解和解集的概念.
学生进行总结归纳:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.
设计意图:表格是为了让学生更加清晰地发现不等式的解的特点,并从中引出不等式的解集.
解集还可以在数轴上表示.
(1)怎样在数轴上将x=5表示出来?
(2)怎样在数轴上将x>5表示出来?
(3)怎样在数轴上将x<4表示出来?
分析:画数轴,定界点,定方向.
例2直接写出不等式2x<8的解集,并在数轴上表示解集.
解:2x<8的解集为x<4.在数轴上的表示如图所示.
你能一眼看出1
3x-5(x-3)
x
>3
5
(2x+1)-5的解集吗?
解不等式的概念:求不等式解集的过程叫做解不等式.
设计意图:让学生学会在数轴上表示解集.通过解方程类比学习,从上面不等式引出解不等式的概念,也为下节内容做好铺垫.
课堂8分钟.
1.教材第115,116页练习第1,2,3题.
2.七彩作业.
9.1.1不等式及其解集
一、不等式的相关概念.
1.不等式.
2.不等式的解.
3.不等式的解集.
4.解不等式.
二、用数轴表示不等式的解集.
教学反思
9.1.2不等式的性质
第1课时不等式的性质
课时目标
1.通过观察、猜想、类比和归纳,探究出不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别与联系.
2.掌握不等式的基本性质并熟练运用.
学习重点
掌握不等式的三条基本性质.
学习难点
正确运用不等式的三条基本性质进行不等式变形.
课时活动设计
复习回顾
等式的性质.
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍然成立.
即如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,等式仍然成立.
即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么a
c =b
c
(c≠0).
设计意图:复习等式的基本性质,为不等式的基本性质学习做准备,激发学生学习的兴趣.
一起探究
用“>”或“<”完成下面填空:
(1)5>3,5+2>3+2,5-2>3-2;
问题1:观察上面的不等式,它们之间有什么不同点和相同点?用自己的语言表述你发现的规律.
(2)-1<3,-1+2<3+2,-1-3<3-3;
问题2:观察上面的不等式,你又发现了什么规律?综合(1)(2),类比等式的性质1,猜想不等式的性质,并换一些其他的数,验证这个猜想.
不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用字母表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
如果a<b呢?
(3)6>2,6×5>2×5,6÷5>2÷5;
问题3:观察上面的不等式,类比等式的性质2,猜想不等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,不等号的方向不变.这句话严谨吗?请举例验证一下.
(4)-2<3,(-2)×(-6)>3×(-6),(-2)÷(-6)>3÷(-6).
问题4:怎么叙述才严谨?换一些其他的数验证这个猜想.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用字母表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a
c >b c ).
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用字母表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a
c <b c ).
问题5:比较不等式的性质2与3有什么区别?
解:性质2的两边乘或除以的是一个正数,不等号的方向没有变;而性质3的两边乘或除以的是一个负数,不等号的方向改变了.
问题6:比较等式的性质与不等式的性质有什么异同?
解:等式的性质与不等式的性质1,2,除了一个是“等式仍然成立”,一个是“不等号的方向不变”的说法不同外,其余都一样;而不等式的性质3“不等号的方向改变”,这与等式的性质说法不同.
设计意图:通过四组数据的计算比较,让学生通过观察有限个不等式的变化,发现并猜想出不等式的基本性质,再通过具体数值验算,最后总结归纳出性质,培养学生的抽象概括能力及合情推理能力.
典例精讲
例1若a>b,用“<”或“>”填空.
(1)a+2>b+2;(2)a-3>b-3;
(3)-4a<-4b; (4)a
2>b 2
;
(5)1-2a<1-2b; (6)3a-2>3b-2. 例2填空:
(1)∵3a>4a,∴a是负数;
(2)∵a
4>a
3
,∴a是负数;
(3)∵ax>a且x>1,∴a是正数.
设计意图:通过举例进一步巩固学生运用不等式的性质.
课堂8分钟.
1.教材第120页习题9.1第4,6题.
2.七彩作业.
教学反思
第2课时不等式的性质的应用
课时目标
1.理解“≤”“≥”的含义,并掌握“≤”“≥”与“<”“>”的区别.
2.学会运用类比思想来解不等式,掌握在数轴上表示不等式的解集,并能初步认识不等式的应用价值.
3.在分组活动和班级交流的过程中,积累数学活动经验并感受获得成功的喜悦,从而增强学习数学的兴趣.
学习重点
不等式性质的应用.
学习难点
不等式性质的应用.
课时活动设计
课堂引入
我们知道数学来源于生活,又服务于生活,在日常生活中就有这样的例子.
小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米,那么小明最晚上午几点从家里出发才能保证不迟到?
(1)如果设小明上午x 点从家里出发,那么x 应满足怎样的关系式? (2)怎样解(1)中的关系式? (3)(2)中的解集在数轴上怎样表示?
设计意图:从实际问题引入能激发学习兴趣.经历由具体的实例建立不等式模型的过程,既可以让学生感受不等式在实际生活中的应用,又非常自然地引入新课.
探究新知
分组探讨:对上述三个问题,你是如何考虑的?先独立思考,然后组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示师生共同归纳得出: 解:(1)x 应满足的关系式是x +1
3≤8.
(2)根据“不等式的性质1”,在不等式的两边减13,得x +13-13≤8-13,即x ≤23
3. (3)这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
我们在表示23
3的点上画实心圆点,表示取值范围包含这个数. 强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来.在运用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定“方向”.
(1)确定“边界点”:若边界点表示的数是不等式的解,则用实心圆点;若边界点表示的数不是不等式的解,则用空心圆圈;
(2)确定“方向”:对于边界点a 而言,x >a 或x ≥a 向右画,x <a 或x ≤a 向左画. 师生活动:学生共同讨论“≤”与“<”及“≥”与“>”的区别.
设计意图:培养学生合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力,强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.
应用新知
例1 利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)3x -1>4; (2)3x <5x -4; (3)2
3x +2≤1.
解:(1)根据不等式的性质1,两边同时加1,得3x -1+1>4+1. 整理,得3x >5.
根据不等式的性质2,两边同时除以3,得x >5
3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)根据不等式的性质1,两边同时减5x ,得-2x <-4. 根据不等式的性质3,两边同时除以-2,得x >2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(3)根据不等式的性质1,两边同时减2,得2
3x ≤-1. 根据不等式的性质2,两边同时乘3
2,得x ≤-32. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
师生活动:学生独立思考,并写出解答过程.
例2(教材第119页例2) 如图,某长方体形状的容器长5 cm,宽3 cm,高10 cm,容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V (单位:cm 3)表示新注入水的体积,写出V 的取值范围.
问题1:新注入水的体积V 与原有水的体积的和与容器的容积有什么关系? 解:新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积. 问题2:新注入水的体积V 可以是负数吗? 解:不可以是负数.
问题3:你能独立求出V的取值范围吗?
问题4:试将V的取值范围在数轴上表示出来.
解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积,
即V+3×5×3≤3×5×10,整理,得V+45≤150.解得V≤105.
又由于新注入水的体积V不能是负数,因此,V的取值范围是V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
师生活动:老师提出问题,引发学生思考,学生互相讨论,思考得出结论.
设计意图:使学生进一步巩固不等式的性质,为后面学习一元一次不等式的解法作铺垫.解决实际问题,容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情,同时学生能体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.
巩固训练
1.在数轴上表示不等式x-1<0的解集,正确的是(C)
2.当x取何值时,-1
x+2的值不小于0(B)
3
A.x<6
B.x≤6
C.x>6
D.x≥6
3.按商品质量规定:商店出售的标明500 g的袋装食盐,其实际克数与所标克数相差不能超过5 g,设实际克数是x g,则x应满足的不等式是
500-5≤x≤500+5.
4.用不等式表示下列语句,写出解集,并在数轴上表示解集:
(1)x的2倍大于或等于-4;
不小于-1.
(2)x的3
2
解:(1)列不等式为2x≥-4,解得x≥-2.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)列不等式为32x ≥-1,解得x ≥-23.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
设计意图:进一步加强对不等式的性质的应用,使学生能灵活运用不等式的性质解简单的不等式.通过在实际问题中列不等式,加强学生对含“≥”“≤”的不等式的理解,并可以检验学生对本节课知识的掌握程度和运用程度.
课堂8分钟.
1.教材第119页练习第1,2题,第120页习题9.1第7,8,9题.
2.七彩作业.
第2课时 不等式的性质的应用
1.含“≥”“≤”的不等式.
2.在数轴上表示不等式的解集{含等号用实心圆点
不含等号用空心圆圈
小于向左画,大于向右画
教学反思。