江西省南昌二中2017-2018学年度高二上学期期末考试数学(文)试题

江西省南昌二中2020-2021学年度高二上学期期末考试数学
（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“x R a R ∀∈∃∈，，使得12n x x >---”的否定形式是（ ） A ．x R a R ∃∈∃∈，，使得12n x x ≤---
B ．x R a R ∀∈∀∈，，使得12n x x ≤---
C ．x R a R ∀∈∃∈，，使得12n x x ≤---
D ．x R a R ∃∈∀∈，，使得12n x x ≤---
2．在复平面内，复数201812z i i =
++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
由上表可得回归方程为ˆˆ10.2y
x a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）
A ．118.2万元
B ．111.2万元
C ．108.8万元
D ．101.2万元 4．经过点(2,4)-且与双曲线2
212
y x -=有同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22
184y x -= B ．22184x y -= C ．22148x y -= D ．22148y x -= 5．宜春九中为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度支持与不支持的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算27.069K =，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（ ）
附：
A ．0.1%
B ．1%
C ．99%
D ．99.9%
6． 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ( )
A ．56
B ．23
C ．45
D ．12
7．在下列结论中，正确的结论为（ ）
（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件
（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件
（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件
（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（4）
D ．（3）（4）
8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足2()ln (1)f x x x f =+'，则(1)f '=（ ）
A ．e -
B ．e
C ．1-
D ．1
9．若关于x 的不等式24x x a -++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(6,2)- C ．(,6)(2,)-∞-⋃-+∞ D ．(6,2)--
10．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y
++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13
)的最小值为( )
A ．5
B ．15
C ．25
D ．2
11．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32
(,)53 B ．32
(,]53 C ．3
(,1)5 D ．3
(,1]5
12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且
1x ≠ 时， ()()
2'01f x xf x x +>-，
若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则 ()1f =（ ）
A ．12-
B ．0
C ．12
D ．1
二、填空题
13．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若21a i bi +=-，则复数z a bi =+的模||z =__________；
14．已知函数()3
3f x x x =-，若过点()3,M t 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数t 的取值范围是__________
15．点
00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d =，通过类比
的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则12e e 的最小值为______________；
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα
=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
()6R π
θρ=∈．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值．
18．已知函数()2f x x a a =-+.
（1）若不等式()6f x ≤的解集{}
23x x -≤≤，求实数a 的值.
（2）在（1）的条件下，若存在实数x 使()()f x x m +-≤成立，求实数m 的取值范围. 19．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如下图所示．
（1）求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）填写下面的22⨯列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
参考公式和数据：2
2
()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，2F MN ∆
的周长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于P 、Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1123
F NQ F MP S S ∆∆=，求直线l 的斜率． 21．已知函数()e sin 1x f x x =⋅-，
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（Ⅱ）求()f x 在区间[]0,π上零点个数．
22．已知函数()()()212221ln 2
f x x a x a x =-+++. （1）求()f x 的单调区间；
（2）对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， []12,1,2x x ∈，恒有()()121211
||f x f x x x λ-≤-，求正实数λ的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
因为否定全称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词二是要否定结论， 所以命题“x R a R ∀∈∃∈，，使得12n x x >---”的否定形式是“x R a R ∃∈∀∈，，使得12n x x ≤---”.
2．C
【解析】 因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i
=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i
=
++对应的点位于第三象限,故选C. 3．B
【解析】 分析：平均数公式可求出x 与y 的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出a ，再将10x =代入回归方程得出结论.
详解：由表格中数据可得，4,50x y ==， 50410.2ˆa
∴=⨯+，解得9.2a =， ∴回归方程为10.2.2ˆ9y
x =+， ∴当10x =时，10.2109.21ˆ11.2y
=⨯+=， 即预测广告费为10万元时销售额约为111.2，故选B.
点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
4．A
【解析】
双曲线与双曲线22
12y x -=有共同的渐近线，∴可设双曲线的标准方程为2
22y x λ-=，把()2,4-代入可得，484,λ=-=-∴双曲线的标准方程为22
42y x -=-，22
184y x -=，故选A.
5．C
【分析】
把观测值同临界值进行比较即可得到结论．
【详解】
27.069 6.635K =>
∴对照表格可得有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查独立性检验的知识，属于基础题.
6．A
【解析】
从4只球中一次随机摸出2只，共有6种方法，其中两只球颜色不同的摸法有5种，由古典概型概率公式可得其概率为
56
．选A 。

7．B
【解析】
解：且命题一假即假，或命题一真即真．因此命题1中，p,Q 都真，因此是充分不必要条件，
那么命题2中P,Q 至少一个为假，因此是既不充分也不必要条件，错误，命题3中，q,p 至少一个为真，结论同上，错误，而命题4显然成立．
8．C
【解析】
函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln 1f x x x f =+'，()0x >，
()()1'2'1f x f x x
∴=+
，把1x =代入()'f x 可得()()'12'11f f =+，解得()'11f =-，故选C.
9．A
【解析】 由于2x x a -++表示数轴上的x 对应点到2和a -的距离之和，它的最小值等于2a +，由题意可得，关于x 的不等式24x x a -++>的解集为R ，所以24a +>，解得2a >或6a <-，即实数a 的取值范围为()(),62,-∞-⋃+∞，故选A.
10．C
【解析】
由题意可得f (x )＝3413x x +-＝2232313x x +-≥()232313x
x ++-＝25， 当且仅当
33x ＝213x -，即x ＝15时取等号，故最小值为25. 故选：C
11．B
【解析】
本题可用排除法，当1k =时，解得1x >有无数个整数解，排除D ，当34x =
时，不等式化为()2291620x x -->，得887x <<有5数个整数解，排除C ，当23
x =时，不等式化为()224920x x -->，得665
x <<，恰有4数个整数解，排除A ，故选B. 【 方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.
12．C
【解析】
曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()
2'01f x xf x x +>-，可得1x >时，()()2'0,10f x xf x x +>>>时，
()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,
g x x f x x =∈+∞()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，
可得1x >时，()'0,10g x x >>>时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值，()()'12(1)'10,g f f ∴=+=，
()()111'122
f f ∴=-⨯=，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义以及构造函数的应用, 属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
13【解析】
因为21a i bi +=-，所以1a =，
且22b b -==-，，所以复数12z a bi i =+=-, z =
=14．()9,18-
【解析】
设切点坐标为()3000,3x x x -，由()33f x x x =-，得()2
00'33f x x =-，所以切线方程为()
()320000333y x x x x x -+=--，将()3,t 代入切线方程，得()32000299t x x h x =-+-=，()2000'618h x x x =-+，
()h x 在()(),0,3,-∞+∞上递减，在()0,3上递增，()h x 极小值为()09h =-，极大值为()318h =，有3条切线，∴方程()0t h x =有三个不同的解，y t = 与()0y h x =的图象
有三个不同的交点， 918t ∴-<<，故答案为()9,18-.
【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义以及方程的根与函数图像之间的关系，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点
()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点
()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点,
设出切点()()
00,,A x f x 利用()()()10010
f x f x k f x x x -'=
=-求解.本题是根据(1)求出切线
方程后，再方程的根与函数图象之间的关系求解. 15
【解析】
类比点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =
，可知在空间中，点
()0,1,3到平面2330x y z +++=
的距离为d =
=
.
16．
4
5
【解析】
设双曲线的半实轴，半虚轴、半焦距为,,a b c ，共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，
2e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2
倍，则椭圆的半长轴、半距轴、半焦距为
,b c ，
12e e ∴=
2
=
=
，14
554=
≥
=，即12e e 的最小值为45，故答案为4
5
. 17．（1）2
4cos 120ρρθ--=；（2
）||AB =【分析】
（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6
π
θ=
代入
24cos 12ρρθ-=
，可得2120ρ--=，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则12,ρρ
是方程2120ρ--=的两根，利用12||AB ρρ=-求解
即可． 【详解】 （1）将方程4cos 24sin x a y a
=+⎧⎨
=⎩消去参数a 得22
4120x y x +--=，
∴曲线C 的普通方程为2
2
4120x y x +--=，
将222,
cos x y x ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=，
∴曲线C 的极坐标方程为：2
4cos 12ρρθ-=． （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,
,,66
ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
, 由24cos 12
6ρρθπθ⎧-=⎪⎨=
⎪⎩
消去θ
得2120ρ--=， 根据题意可得12,ρρ
是方程2120ρ--=的两根，
∴121212ρρρρ+==-， ∴
12||AB ρρ=-==．
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，弦长公式，属于中档题. 18．（1）1a = （2）[
)4,+∞ 【分析】
（1）由()6f x ≤根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式()6f x ≤的解集，求得a 的值.
（2）利用绝对值不等式，证得()()f x f x +-的最小值为4，由此求得m 的取值范围.
【详解】
（1）∵函数()2f x x a a =-+， 故不等式()6f x ≤，即216x a -≤-，
即60626a a x a a -≥⎧⎨-≤-≤-⎩
，
求得33a x -≤≤.
再根据不等式的解集为{}|23x x -≤≤. 可得32a -=-， ∴实数1a =.
（2）在（1）的条件下，()211f x x =-+，
∴存在实数x 使()()f x f x m +-≤成立，即21212x x m -+++≤， 由于()()212121212x x x x -++≥--+=， ∴2121x x -++的最小值为2， ∴4m ≥，
故实数m 的取值范围是[
)4,+∞. 【点睛】
本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．（1）0.025a =，69x =；（2）表见解析，有把握． 【解析】
试题分析：（1）利用频率和为1，求a 的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值x ；（2）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 试题解析：(1)1
[1(0.010.0150.030.0150.005)10]0.02510
a =
⨯-++++⨯=，450.1550.15650.25750.3850.15950.0569x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
(2)2×2列联表如下：
因为()2
220051153545 4.167 3.8414016050150
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.05的
前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”．
点睛：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；在频率分布直方图中，注意纵轴的意义及所有条形的面积和为1，对于独立性检验解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出22⨯列联表；（2）根据22⨯列联表中的数据，计算2K 的观测值k ；（3）通过观测值k 与临界值0k 比较，得出事件有关的可能性大小.
20．（1）2212x y +=；（2）. 【分析】
（1）由椭圆的定义得出2F MN ∆的周长为4a =可求出a 的值，又由直线1MF 的斜率得出
1b
c
=，可求出b 、c 的值，从而得出椭圆的标准方程； （2）将直线1MF 的方程与椭圆方程联立，求出点N 的坐标，设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意分析得出212y y =-，代入韦达定理可求出实数m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】
（1）根据题意，因为1F MN ∆的周长为4a =，即a =
由直线1MF 的斜率1，得
1b
c
=， 因为2
2
2
a b c =+，所以1b c ==，所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=；
（2）由题意可得直线1MF 方程为1y x =+，联立得22
112y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2340x x +=， 解得41,33N ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，所以
1113NF MF =，因为1123F NQ F MP S S ∆∆=， 即111111121sin sin 232NF QF MF P Q F F F N P M ⎛⎫
⋅∠=⋅∠ ⎪⎝⎭
，所以112QF PF =， 当直线l 的斜率为0时，不符合题意；
故设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ， 由点P 在点Q 的上方，且212y y =，则有212y y =-，
联立22
112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22
2210m y my +--=， 由韦达定理得12222m y y m +=
+，12
21
2
y y m =-+， 消去2y 得1221222122m y m y m -⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，所以()22228122m m m =++，得227m =
，7m ∴=±，
又由画图可知m =
m =，故直线l
的斜率为1m =． 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的三角形面积比的计算，解题时要结合已知条件将三角形的面积比转化为共线向量来处理，并结合韦达定理进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21．（Ⅰ）1y x =-（Ⅱ）见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）()()e sin cos x
f x x x =+'，由 ()01f '=可得切线斜率，由()01f =-可
得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性可得()f x 在3π0,4⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
上递增，在3π4π⎛⎤
⎥⎝⎦
，递减，结合零点存在定理可得()f x 在区间[]0,π上零点个数． 试题解析：（Ⅰ）()()e sin cos x
f x x x =+'，因为 ()01f '=， ()01f =-，
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1y x =-．
（Ⅱ）当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，sin cos 0x x +>，则()/0f x > 当3π4x π⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，时，sin cos 0x x +<，则()/0f x < (
)34
max
3104
2f x f e π
π⎛⎫==->
⎪
⎝⎭
，()()010f f π==-< ()f x 在区间[]0,π上恰有2个零点．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即
()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，
在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程
'00()()y y f x x x -=•-.
22．（1）见解析（2）8λ≥. 【解析】
试题分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x ），再对字母a 分类讨论，在函数的定义域内解不等式fˊ（x ）>0和fˊ（x ）<0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性，知f （x ）在[1，2]上为减函数．若x 1=x 2，则原不等式恒成立；若x 1≠x 2，不妨设1≤x 1<x 2≤2，则f （x 1）>f （x 2），
12
11
x x >，所以原不等式进行化简整理得()()121
2f x f x x x λ
λ
-
≤-
对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，令()()g x f x x λ
=-,转化成研究g （x ）在[1，2]的单调性，再利用导数即可求出正实数λ的取值范围． 试题解析：
（1）=，
令f'（x）=0，则x1=2a+1，x2=1．
①当a=0时，，所以f（x）增区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，2a+1＞1，
所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）；
③当时，0＜2a+1＜1，
所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）；
④当时，2a+1≤0，
所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）．
（2）因为，所以（2a+1）∈[4，6]，
由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．
若x1=x2，则原不等式恒成立，∴λ∈（0，+∞）．
若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，
所以原不等式即为：，
即对任意的，x1，x2∈[1，2]恒成立．
令，
所以对任意的，x1，x2∈[1，2]有g（x1）＜g（x2）恒成立，
所以在闭区间[1，2]上为增函数．
所以g'（x）≥0对任意的，x∈[1，2]恒成立．
而，g'（x）=x﹣（2a+2），化简即x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，
即（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，其中．
∵x∈[1，2]，∴2x﹣2x2≤0，∴只需．
即x3﹣7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1，2]恒成立．
令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，x∈[1，2]，h'（x）=3x2﹣14x+6＜0恒成立．
∴h（x）=x3﹣7x2+6x+λ在闭区间[1，2]上为减函数，则h min（x）=h（2）=λ﹣8，∴h min（x）=h（2）=λ﹣8≥0，解得λ≥8．
故正实数λ的取值范围[8，+∞）。