广东高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题
1．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）
{}1,2,3,4,5A =()(){}
230B x x x =+-<
A ．
B ． {}3,4,5{}1,2,3
C ．
D ．
{}1,4,5{}1,2【答案】A
【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. {}23B x x =-<<U A B ⋂ð【详解】，或. ()(){}
{}23023B x x x x x =+-<=-<<{U 2B x x =≤-ð}3x ≥阴影部分表示. {}U 3,4,5A B = ð故选：A 2．复数的虚部为（ ） 2i
1i
+
A B ．1 C D ．
i 【答案】B
【分析】利用复数的除法运算法则对原式化简成的形式，即可的虚部 i a b +
【详解】因为
()()()()()2i 1i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 2
--===-=+++-所以虚部为1.故选：B
3．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．
C ．
D ．
20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A
【分析】根据点斜式方程求解即可.
【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A
4．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
184716
238
3116
【答案】C
【分析】分析数列特征，求前5项的和.
【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项1
2和为：. 11123112488
++++=故选：C
5．双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）
22
22:1(0,0)y x C a b a b -=>>0x =C
A B C ．2 D
【答案】C
【分析】根据渐近线得到
. a b =
【详解】因为的一条渐近线方程为，所以 C 0x -=a b =
所以的离心率.
C 2e ==故选：C
6．甲射击命中目标的概率是
，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时
14
131
2射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3
4
23
45
710
【答案】A
【分析】根据目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率求解即可. 【详解】因为目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率， 所以目标被击中的概率是，
1113
11114324
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：.
A
7．如图所示，在正方体中，分别是
的中点，有下列结论：①
1111ABCD A B C D -,E F 11
,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【答案】B
【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.
【详解】连接，则交于，又因为为中点，
1A B 1A B 1AB E F 1BC
得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；
111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，
1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；
因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，
11AC D A
所以，故③错误； 1160AC D ∠=
由分别是
的中点，得，
,E F 11
,AB BC 11//EF A C 平面，平面，
EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.
8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱
()0e Kt
S t S =和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参()S t t 0S K 数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间060S =至少还需要（取，，，）（ ） ln6 1.79=ln7 1.95=ln12 2.48=ln19 2.94=A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时
【答案】D
【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：，，，， 60e 70K =60e 95Kt ≥70
ln ln 7ln 660K ==-95ln ln19ln1260
Kt ≥=-则，则给氧时间至少还需要小时.
ln19ln12 2.94 2.48
2.875ln 7ln 6 1.95 1.79
t --≥
==-- 1.875故选：D
二、多选题
9．将函数的图象向左平移
个单位长度后得到函数的图象，则下列关于
()sin2f x x =4
π
()y g x =说法错误的是（ ）
()g x A ．最大值为，图象关于直线对称
12
x π
=
B ．在上单调递减，为奇函数
04π⎛⎫
⎪⎝⎭，C ．在上单调递增，为偶函数
388ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
D ．周期是，图象关于点对称 π308π⎛⎫
⎪⎝⎭
，【答案】BCD
【分析】由题意化简得，为偶函数，可以判断选项B ，结合余弦函数的性质判断
()cos 2g x x =()g x 选项A ，由于，，则不具有单调性，判断选项C ，
388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，()g x
，判断选项D. 308g π
⎛⎫=≠ ⎪
⎝⎭
【详解】将函数的图象向左平移
个单位长度后，
()sin2f x x =4
π
得到函数的图象，
()sin 2cos 22y g x x x π⎛
⎫==+= ⎪⎝
⎭关于，显然它是偶函数，周期为，故B 不正确； ()g x 22
π
π=由于当时，，为最小值，故的图象关于直线对称，
2
x π
=
()1g x =-()g x 2
x π
=
结合余弦函数的性质可得，的最大值为，故A 正确；
()g x 1由于当时，，不具有单调性，故C 错误；
388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，()g x
由于当时，，故的图象不关于点对称，故D 不正确． 38x π=()0g x =≠()g x 308π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
故选：BCD ．
10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）
(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---,a AB b AC ==
A ．若，且，则
3c = //C c B (2,1,2)c =-
B ．和的夹角的余弦值a b
C ．若与互相垂直，则的值为2；
ka b +
2ka b - k D ．若与轴垂直，则，应满足
()()
λμ++-
a b a b z λμ0λμ-=【答案】BD
【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，，
(1,1,0)a = (1,0,2)b =- (2,1,2)BC =--
对于A ，因为，所以，又，
//C c B
(2,,2)c BC λλλλ==-- 3c = 3=解得，所以或，A 不正确；
1λ=±(2,1,2)c =- (2,1,2)c =--
对于B ，
，B 正确；
cos ,a b a b a b
⋅<>===
对于C ，因与互相垂直，则
， ka b + 2ka b - ()()
2222222100ka b ka b k a ka b b k k +⋅-=-⋅-=+-= 解得或，C 不正确；
2k =5
2k =-对于D ，因为，轴的一个方向向量
()()
()()()0,1,22,1,22,,22a b a b λμλμμλμλμ++-=+-=+-
z ，
(0,0,1)n =
依题意，即，D 正确； ((0,0,12,,22)220)μλμλμλμ=+-⋅-=0λμ-=故选：BD
11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =11
1n n
a a +=-{}n a n n S A ． B ． 232
a =
31312
n n S S +-=-C ． D ．
121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD
【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n n
a a +=-所以，故A 错误； 22112
1133
a a =-
=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-
=-=-41
3
1111312
a a a =-=-==-
{}n a 3所以，故B 错误； 3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n n
a a a a +=-
=-21111111
11n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 1211
11
n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅
--=⋅=-，故D 正确；
()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛
⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝
⎭ 故选：CD
12．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则2:4C x y =,F O ()
00,M x y C 5MF =（ ）
A ．的坐标为
B ．
F ()1,004y =
C ．
D ．以为直径的圆与轴相切
OM =MF x 【答案】BCD
【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得的值，F 0y 可判断B 选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；0x 求出的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项. MF 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y 轴正半轴上，则点错误； 2:4C x y =2,
12
p
p ==()0,1,A F 由拋物线的定义可得，可得正确；
015MF y =+=04,B y =
由可知，，可得，C 正确；
04y =2016x =04,x OM =±==∵的中点坐标为，则点到y 轴的距离，
MF 52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭52,2⎛
⎫± ⎪⎝⎭5122d MF ==∴以为直径的圆与轴相切，D 正确. MF x 故选：BCD.
三、填空题
13．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】
2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132
333122
S a d a d ⨯=+
=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.
214．已知直线被圆截得的弦长为2，则____ :l y x =()()()2
2
2:310C x y r r -+-=>r =
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，
()()2
2
231x y r -+-=()3,1
圆心到直线的距离，弦长的一半为1，
d r =
=
15．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】
17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可. 【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.
18056
100=1617560+350+180109
⨯≈故答案为：17
16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角-P ABC O PA PB PC ==ABC A 形，若点分别是的中点，，则球的半径为___________. ,E F ,PA AB 90CEF ∠=︒O
【分析】先判断得三棱锥为正三棱锥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得平面
-P ABC AC ⊥，平面，结合勾股定理证得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，由此将三
PBG PB ⊥PAC -P ABC
棱锥补形为正方体，利用的半径.
-P ABC 2R O 【详解】由，是边长为2的正三角形，得三棱锥为正三棱锥， PA PB PC ==ABC A -P ABC 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， P O BO AC G 则，又，，平面， AC BG ⊥PO AC ⊥PO BG O = ,PO BG ⊂PBG 所以平面，又平面，则， AC ⊥PBG PB ⊂PBG PB AC ⊥因为分别是的中点，所以， ,E F ,PA AB //EF PB 又，即，所以，
90CEF ∠=︒EF CE ⊥PB CE ⊥又，平面，所以平面， AC CE C = ,AC CE ⊂PAC PB ⊥PAC 又平面，所以，
,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥易知在中，，所以，则， Rt PAB A 222PA PB AB +=222PA PC AC +=PA PC ⊥又，所以，
2AB =2222PA PB PC ===所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
-P ABC 将三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， -P ABC
其直径，则球的半径．
2R =O R =
.
四、解答题
17．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,,90,100
(1)求图中的值；
m (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 0.030m =(2)71
【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再m 相加即可.
【详解】（1）由， ()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=得.
0.030m =（2）样本平均数， 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.
18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、
{}n a n n S 2S 4S 55S +2a 7a 成等比数列．
22a (1)求的通项公式； {}n a (2)若，数列的前项和为，证明：． 11n n n b a a +=
{}n b n n T 1
6
n T <【答案】(1) 21n a n =+(2)证明见解析
【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知，
设的公差为，由题意得，
{}n a d 4252
722225
0S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩
即，解得，
11121112(46)(2)(510)5
(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪
+=++⎨⎪≠⎩132a d =⎧⎨=⎩所以， 1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+所以的通项公式为. {}n a 21n a n =+（2）证明：由（1）得，
21n a n =+所以， 111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++++⎝⎭所以．
11111111111
23557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭19．在中，设角所对的边长分别为，且． ABC A ,,A B C ,,a b c 22cos c b a C =
-(1)求角；
A (2)若的面积
的值． ABC A S =c =sin sin B C 【答案】(1)
3
A π
=(2) 1sin sin 2
B C =
【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；
（2）根据题意与面积公式求得 ，结合余弦定理得，由正弦定理得c =b =3a =，即可解决. 2sin a R A
=()22sin sin bc R C B =【详解】（1）解法一：
因为，
22cos c b a C =-由正弦定理得：
sin 2sin 2sin cos C B A C =-所以
()sin 2sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C A C A C A C =+-=+-=因为，
sin 0C ≠所以，即 2cos 1A =1cos 2
A =
因为， 0πA <<所以． π3A =解法二：
因为，
22cos c b a C =-由余弦定理得： 222
222a b c c b a ab
+-=-⋅整理得，即
222bc b c a =+-222a b c bc =+-又由余弦定理得，
2222cos a b c bc A =+-所以，即 2cos 1A =1cos 2A =
因为， 0πA <<所以． π3
A =（2）由（1）得， π3A =
因为的面积， ABC A S =
所以 11πsin sin 223bc A bc ==所以， 6bc =
由于 c =
所以，
b =又由余弦定理：，
2222cos 12369a b c bc A =+-=+-=所以．
3a =
所以 2sin a R A
==所以由正弦定理得，
()22sin sin 12sin sin 6bc R C B C B ===所以． 1sin sin 2
B C =
20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>)
F (1)求椭圆的标准方程； C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程． BM BN ⊥l 【答案】(1) 2
214
x y +=(2) 35
y x =-
【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；
,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.
0BM BN ⋅= m
【详解】（1）由题意得，，， c =2a b
=222a b c =+，，
2a ∴=1b =椭圆的标准方程为． ∴C 2214
x y +=（2）依题意，知，设，．
()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244
y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=
，即， ()
2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，． 1285m x x -+=212445m x x -=，．
BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅= ，
()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-= ， ()2244821(1)055
m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，
25230m m --=解得或（舍去）． 35
m =-1m =
直线的方程为． ∴l 35
y x =-21．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23
πG A DF
(1)求此几何体的体积；
(2)设是上的一点，且，求的大小； P A CE
AP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．
3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83
π(2)
30CBP ∠= (3)．
60
【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；
(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；
(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.
【详解】（1）此几何体的体积； 2182233
V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，，
AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以，
BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此
120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，
B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，
(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -
故，，，
(2,0,3)AE =- AG = (2,0,3)CG =
设是平面的一个法向量．
111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00
m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z
=113,x y ==得平面的一个法向量．
AEG (3,m =
设是平面的一个法向量．
222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =
-113,x y ==得平面的一个法向量．
ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2
m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．
E AG C --60 22．已知函数．
()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；
R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．
()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1)
()()04,∪,-∞+∞(2)
)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣
【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R
，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；
2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.
()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>
【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像，
2y x bx b =-+故，解得或，
()2
40b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是； ()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得， ()2
22251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()
2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：
()F x []0,1①当即≤m 时，
时，在上单调递增， 0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭则
， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣
⎭02m m ⎧≤⎪⎪
⎨⎪≤≤⎪
⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：
m <m >()0F x =
，则. 12x x ==0>12x x <当时，可知在
上单调递增. x ∈R ()F
x )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥
⎣⎣⎦
i 若
，则， m >02m >>[]11
20,1,02m m
x m ⎧≥⎪
⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩
解得；
2m ≥
ii 若，
m <0m <-<则，解得. [][
)200,1,x m ∞⊆+⇒⎪<⎪⎩
1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.
)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣。