高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选修2-1(2021年整理)

（浙江专版）2018-2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1 椭圆及其标准方程学案新人教A版选修2-1
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2。

2.1 椭圆及其标准方程
学习目标1。

理解椭圆的定义.2。

掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．
知识点一椭圆的定义
思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理（1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M|｜MF
1
｜＋｜MF2|＝2a，2a>|F1F2｜｝．
(3）2a与|F1F2｜的大小关系所确定的点的轨迹如下表:
条件结论
2a>｜F1F2｜动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2｜动点的轨迹是线段F1F2
2a〈｜F1F2|动点不存在，因此轨迹不存
在
知识点二椭圆的标准方程
思考在椭圆的标准方程中a〉b>c一定成立吗？
答案不一定，只需a〉b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理（1）椭圆标准方程的两种形式
焦点位置标准方程焦点焦距
焦点在x轴上错误!＋错误!＝
1(a>b〉0）
F
1
（－c,0），
F
2
(c,0）
2c
焦点在y轴上错误!＋错误!＝1(a〉
b>0）
F
1
(0，－c)，
F
2
(0，c）
2c
（2）椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的
位置
标准方程错误!＋错误!＝1（a>b〉0)错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）
焦点坐标F1(－c，0），F2(c,0)F1(0，－c），F2(0,c）
a，b，c的关系b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大
在谁上”．如方程为y2
5
＋
x2
4
＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1（0,－1)，F2（0，
1),焦距｜F1F2｜＝2.
(1)已知F1(－4，0），F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．（×) (2）已知F1(－4,0),F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．（×)（3)平面内到点F1(－4,0)，F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)
(4）平面内到点F1（－4，0），F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)
类型一椭圆定义的应用
例1 点P(－3,0)是圆C:x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹．
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
解方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为（x－3）2＋y2＝64，圆心为(3，0),半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以｜MC｜＋｜MP｜＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到
两定点C,P的距离之和为定值8〉6＝|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆．
引申探究
若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3,0）为其外一定点，动圆M与已知圆C 相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程．
解设M（x，y），由题意可知,圆C:(x－3)2＋y2＝9，
圆心C（3,0），半径r＝3.
由|MC|＝|MP|＋r,故｜MC｜－｜MP｜＝r＝3,
即x－32＋y－02－错误!＝3，
整理得错误!－错误!＝1（x〈0）．
反思与感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 （1）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上）
①已知定点F1(－1，0）,F2(1，0），则满足|PF1｜＋|PF2|＝错误!的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0），F2(2,0）,则满足｜PF1｜＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3，0），F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
答案②
解析①错误!<2,故点P的轨迹不存在;②因为2a＝｜F1F2｜＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；
③到定点F1（－3，0）,F2（3,0）的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴）．（2）已知一动圆M与圆C1:(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程．
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
解由题意可知C1(－3，0），r1＝1,C2（3,0),r2＝9，
设M（x，y），半径为R，
则|MC1|＝1＋R，｜MC2｜＝9－R，
故｜MC1|＋|MC2|＝10，
由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆,且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16。

故所求动圆圆心M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

类型二椭圆的标准方程
例2 求中心在原点,焦点在坐标轴上，且经过两点P错误!，Q错误!的椭圆的标准方程．
考点椭圆定义及标准方程的应用
题点椭圆标准方程的应用
解方法一①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0）．依题意，有错误!
解得错误!
由a〉b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
错误!＋错误!＝1（a〉b>0)．
依题意，有错误!解得错误!
所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。

方法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m〉0，n〉0，m≠n)．
则错误!解得错误!
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1,
故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
引申探究
求与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且过点（3，错误!)的椭圆方程．
解由题意可设其方程为错误!＋错误!＝1(λ>－9)，
又椭圆过点（3，15)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11（λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
反思与感悟(1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m≠n，m>0,n〉0)．
（2)与椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b>0,b2〉－λ），与椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0）有公共焦点的椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉b>0,b2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1）椭圆的两个焦点坐标分别为F1（－4，0),F2（4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2)椭圆过点（3,2)，（5，1);
（3）椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点（0,1）．
考点椭圆标准方程的求法
题点定义法求椭圆的标准方程
解(1)设其标准方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0)．
由题意可知2a＝10,c＝4,故b2＝a2－c2＝9,
故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。

(2）设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A〉0,B〉0，A≠B），
则错误!解得错误!
故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
（3）设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0)．
由错误!解得错误!
故所求椭圆的标准方程为错误!＋y2＝1.
类型三求与椭圆有关的轨迹方程
例3 已知B，C是两个定点，｜BC|＝8，且△ABC的周长等于18。

求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
考点椭圆标准方程的求法
题点定义法求椭圆的标准方程
解以过B，C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8可知点B（－4，0)，
C（4,0)．
由|AB|＋｜AC|＋|BC|＝18,
得｜AB|＋|AC|＝10>8＝｜BC｜,
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为错误!＋错误!＝1（y≠0)．
反思与感悟求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
跟踪训练3 如图，设定点A(6,2),P是椭圆错误!＋错误!＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
考点椭圆标准方程的求法
题点定义法求椭圆的标准方程
解设M（x，y),P(x1,y1)．
∵M为线段AP的中点，
∴｛x1＝2x－6，
y
＝2y－2，
1
又∵错误!＋错误!＝1，
∴点M的轨迹方程为错误!＋错误!＝错误!.
1．椭圆错误!＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( ）A．5B．6C．7D．8
考点椭圆的标准方程
题点由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案D
解析设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1｜＝2，
结合椭圆定义｜PF2｜＋｜PF1｜＝10，可得｜PF2|＝8。

2．已知椭圆的焦点为（－1,0)和（1，0），点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为（）A.错误!＋错误!＝1 B.错误!＋y2＝1
C.错误!＋错误!＝1
D.错误!＋x2＝1
考点椭圆标准方程的求法
题点待定系数法求椭圆的标准方程
答案A
解析c＝1，a＝错误!×(错误!＋错误!)＝2,∴b2＝a2－c2＝3,
∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且｜PF1|∶|PF2｜＝2∶1，则△F1PF2的面积＝________。

考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案4
解析由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝错误!.
∵｜PF1|＋|PF2|＝2a＝6且｜PF1｜∶|PF2｜＝2∶1,
∴｜PF1|＝4，｜PF2｜＝2，
∴｜PF1|2＋|PF2｜2＝|F1F2｜2,
∴△PF1F2是直角三角形,
故△F1PF2的面积为1
2
｜PF1|·|PF2|＝错误!×2×4＝4.
4．在椭圆x2
3
＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦
点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案4错误!
解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4 3.
5．若△ABC的三边长a，b,c成等差数列,且b＝6，求顶点B的轨迹方程．
考点椭圆标准方程的求法
题点定义法求椭圆的标准方程
解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A（－3,0)，C(3,0)，B（x，y)，
则|BC｜＋|AB｜＝a＋c＝2b＝2｜AC｜＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3,b′2＝27.
故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝1（y≠0)．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数,即|MF1｜＋|MF2|＝2a，
当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆;
当2a ＝｜F 1F 2|时,轨迹是一条线段F 1F 2；
当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在错误!＋错误!
＝1与y 2
a
2＋错误!＝1这两个标准方程中，都有a 〉b >0的要求，如方程错误!＋错误!＝1(m >0，n 〉0,m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程,可与直线截距式错误!＋错误!＝1类比，如错误!＋错误!＝1中,由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上（即看x 2，y 2
分母的大小）．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:一是通过待定系数法求解,二是通过椭圆的定义进行求解．
一、选择题
1．平面内,F 1,F 2是两个定点，“动点M 满足|错误!｜＋|错误!｜为常数"是“M 的轨迹是椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 B
解析 当｜错误!｜＋|错误!|＞|错误!｜时，M 的轨迹才是椭圆．
2．已知方程错误!＋错误!＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( ）
A ．k >－3且k ≠－错误!
B ．－3<k 〈2且k ≠－错误!
C ．k >2
D ．k 〈－3
答案 B
解析 由题意，知需满足错误!
解得－3〈k 〈2且k ≠－错误!.
3．已知椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M,N,则△F1MN的周长为( ）
A．16 B．20
C．32 D．40
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
答案D
解析结合椭圆的定义，知a＝10，且△F1MN的周长为4a＝40.
4．已知△ABC的周长为20,且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是（）A。

错误!＋错误!＝1(x≠0）
B.错误!＋错误!＝1(x≠0）
C。

错误!＋错误!＝1(x≠0）
D.x2
20
＋错误!＝1(x≠0)
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案B
解析由|AB｜＋｜AC｜＝12＞|BC｜＝8，得点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(x≠0)．5．P是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·｜PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为（）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案B
解析因为|PF1|＋｜PF2｜＝8,
cos∠F1PF2＝错误!
＝错误!＝错误!.
又因为∠F1PF2∈[0,π)，
所以∠F1PF2＝错误!.
6．已知椭圆错误!＋错误!＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )
A．3个B．4个
C．6个D．8个
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆标准方程的应用
答案C
解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
7．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0），M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（)
A．圆B．椭圆
C．线段D．直线
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
答案B
解析由题意，知｜PO｜＝错误!|MF2|，｜PF1｜＝错误!|MF1|，
又｜MF1|＋｜MF2｜＝2a，所以｜PO｜＋｜PF1｜＝a〉｜F1O|＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
二、填空题
8．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_______________．
考点椭圆的标准方程
题点由定义求标准方程
答案错误!＋x2＝1
解析由已知2a＝8,2c＝215,
所以a＝4，c＝错误!，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1。

又椭圆的焦点在y轴上,
y2 16＋x2＝1.
所以椭圆的标准方程为
9．已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是____________．
答案错误!＋错误!＝1
解析由题意，得错误!解得错误!
所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
10．设F1，F2分别为椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点,点A，B在椭圆上，若错误!＝5错误!,则点A的坐标是________．
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆标准方程的应用
答案（0,±1)
解析根据题意,设A点坐标为（m，n),B点坐标为(c,d）．
F
1
，F2分别为椭圆的左、右焦点，
其坐标分别为(－错误!，0)，(错误!，0),
可得错误!＝(m＋错误!,n），错误!＝(c－错误!，d）．
∵错误!＝5错误!,∴c＝错误!，d＝错误!。

∵点A，B都在椭圆上,
∴m2
3
＋n2＝1，错误!＋错误!2＝1.
解得m＝0,n＝±1，故点A坐标为（0，±1)．
11．若点O和点F分别为椭圆错误!＋y2＝1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则｜OP｜2＋|PF｜2的最小值为________．
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆标准方程的应用
答案2
解析由题意可知，O(0，0)，F（1,0)，
设P(错误!cosα，sinα)，
则｜OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(2cosα－1）2＋sin2α＝2cos2α－22cosα＋3＝2错误!2＋2，
所以当cosα＝错误!时，|OP|2＋｜PF｜2取得最小值2.
三、解答题
12．已知F1（－c，0)，F2（c,0）为椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点,P在椭圆上，且△PF1F2的面积为错误!b2，求cos∠F1PF2的值．
考点椭圆定义及其标准方程的应用
题点椭圆定义及其标准方程的综合应用
解依题意可得
错误!
整理得|PF1|·｜PF2|＝错误!。

∵△PF1F2的面积为错误!b2,
∴错误!×错误!×sin∠F1PF2＝错误!b2，
∴1＋cos∠F1PF2＝错误!sin∠F1PF2，
又∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1,
∴cos∠F1PF2＝1
3
(cos∠F1PF2＝－1舍去)．
13．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点M的纵坐标为2.
（1)求M的横坐标；
(2）求过M且与错误!＋错误!＝1共焦点的椭圆的方程．
考点椭圆标准方程的求法
题点待定系数法求椭圆的标准方程
解(1)把M的纵坐标代入错误!＋错误!＝1，
得错误!＋错误!＝1，即x2＝9,解得x＝±3,即M的横坐标为3或－3。

（2）椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上且c2＝9－4＝5.
设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝1(a2＞5）,
把M点坐标代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝1，
解得a2＝15（a2＝3舍去）．故所求椭圆的方程为x2
15
＋错误!＝1.
四、探究与拓展
14．已知椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点,且|MF1|－|MF2|＝1,则△
MF
1F
2
是( ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
考点椭圆的定义
题点椭圆定义的应用
答案B
解析由椭圆定义，知｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝4，
且已知｜MF1|－｜MF2｜＝1，
所以｜MF1|＝错误!，｜MF2|＝错误!。

又|F1F2｜＝2c＝2，
所以有｜MF1|2＝｜MF2｜2＋｜F1F2|2，
因此∠MF2F1＝90°，
即△MF1F2为直角三角形．
15．如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
考点椭圆标准方程的求法
题点定义法求椭圆的标准方程
解以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0），C（－6,0),CE，BD为AB，AC边上的中线，
则｜BD｜＋|CE|＝30。

由重心性质可知,｜GB|＋|GC｜＝错误!(|BD|＋|CE｜)＝20＞12.
∵B，C是两个定点,G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12＝|BC｜，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点,
∴2c＝｜BC｜＝12,c＝6，2a＝20,
a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(x≠±10）．
设G(x′，y′)，A（x,y）,则有x′2
100
＋错误!＝1。

由重心坐标公式知错误!
故A点轨迹方程为错误!＋错误!＝1，
即错误!＋错误!＝1(x≠±30）。