施肥效果的具体分析

施肥效果分析
一问题的分析
对于研究土豆和生菜的施肥量和产量两个变量之间的关系。

我们运用Excel分别将土豆的产量与N，P，K的施肥的关系图作了出来，如图一所示：
图一（a）
分别将生菜的产量与N，P，K的施肥的关系图作了出来，如图一（b）所示：
图
1（b）
从图1（a）与（b）中第一个图形中很明现的看出是一元二次线性方程，在P，K的施肥量一定的情况下，随着N的施肥量的增加，作物的产量也跟着增加，但N的施肥量到达一定的程度的时候，作物的产量就不在在增加，相反的会以一定的速度减少，
作物的产量与N的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a1*N+a11*NN 从（a）与（b）的第二，第三个图形中我们不能一下看出它们是什么样的方程，在一定的范围内，随着P，K肥料的增加，作物的产量是相对增加的，K肥料的施用量与生菜的产量的波动性较大，这种情况在实际的作物中也是不可避免的，我们可以看做是误差现象。

具有这种特色的图形，我们可以根据数学知识运用二次多项式就能够很好的表现出来，我们可以姑且假设为二次的方程。

作物的产量与P的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a2*P+a22*PP
作物的产量与K的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a3*P+a33*PP 这样我们仍然能够看出P，K的施肥量与作物产量的关系。

这种对作物产量的影响通常是这三种肥料的共同的作用，而不是单一的某一种肥料对作物的影响
所以我们可以知道作物的产量与N，P，K的施肥量都有关，我们初步建立模型如下所示：
y=a0+a1*N+a2*P+a3*K+a11*NN+a22*PP+a33*KK
我们运用Excel来进行土豆与生菜的线性回归处理。

我们以生菜为例：
在处理之前，我们需要特别说明的是由于N，P，K的施肥数量变化幅度比较大，所以我们进行了特别处理：将施肥数量以及产量放在（0,1）的范围内，每一个施肥量或产量除以给出施肥量或产量数据中的最大值，这样我们可以更加方便快捷的运行下去。

如图二所示：
图二
可以知道其相关系数R1=0.926834,尽管相关系数R1的值已经很接近于1，
S回=435.9009拟合度还比较好，表明两变量之间线性相关关系已经很好了。

得到模型：
y=-7.49815+36.5536N+31.25152P+16.76673K-33.6572NN-16.0547PP-12.7835KK 我们在还不知道施肥量与它们的产量有其它的变化时，我们仍然需要做进一步假设考虑，NP，NK，PK的交叉关系是否同样影响着作物的产量
建立的模型如下所示：
y=a0+a1*N+a2*P+a3*K+a11*NN+a22*PP+a33*KK+a12*NP+a13*NK+a23*PK
通过Excel，我们可以得到以下情，
如图三所示：
1.
图三
可以对图二，图三比较看出其相关系数R2=0.926834=R1，线性的拟合度与之前的没有交叉部分的拟合度情况相同。

各回归系数：ao=-7.49815 a1=36.5536 a2=31.25152 a3=16.76673 a11=-33.6572 a22=-16.0547 a33=-12.7835 a12=0 a13=0 a23=0 可以看出有交叉部分的回归系数与之前模型没有交叉部分的回归系数是一模一样的，从而知道N，P，K交叉部分对产量没有任何帮助。

从图二，图三中的相关系数来看，我们可以剔除无关紧要的项，变量NP，
NK ，KP 对应的回归系数为0，我们完全可以剔除这几项。

得到的模型仍为：
y=-7.49815+36.5536N+31.25152P+16.76673K-33.6572NN-16.0547PP-12.7835KK
进一步分析：
找出对作物产量影响的其它方面的因素，我们可以再加一下进行Excel 分析，可以知道做出来的结果跟之前的一模一样，所以变量NPK 对应的回归分析仍然为0.我们同样可以完全剔除这一项。

经过多方面的假设，这样我们可以了解到图二得到的模型很符合我们所需要的要求了。

在给定的ɑ=0.05，查F 分布表得分位点F ɑ（6,30-9-1）=F ɑ（6,20）=2.71，本身F 的值23.3577远远大与F ɑ，则拒绝Ho （假设系数都为0），证明得回归效果是很好。

总体方差2
σ的无偏估计^
2
σ=Qe/（n-2)=3.11033算比较小的（Qe=71.53759）。

得到的各个变量的置信区间 分别为：（-13.1064，-1.88988）；（26.2199，46.89082）；（20.91757，41.58548）；（6.422544，27.11092）；（-44.2245，-23.09）；（-26.6161，-5.49326）；（-23.3565，-2.21047），可以看出0都不包含在里面。

通过以上的分析，该回归线性拟合的是很好的。

通过以上的分析，我们确定的最后的模型为：
y=-7.49815+36.5536N+31.25152P+16.76673K-33.6572NN-16.0547PP-12.7835KK 运用Excel 我们将生菜中的N ，P ，K 的拟合效果与实际施肥量进行了对比，如下图四所示：
生菜N-C
05
10
15
20
25
100
200
300
400
500
N
产量
y
y的预测
（a ）
生菜P-C
0510
152025300
100
200
300
400500
600
700
800
P
产量
y
y的预测
（b ）
生菜K-C
05
10
1520
25
100
200
300
400
500
600
700
K
产量
y
y的预测
（C ） 图四
通过图形可知，在误差允许的条件下，我们拟合的情况是很理想的，尽管图四中的（b ）与（c ）有一些区别，特别是（c ）中变化幅度很大，我们可以将其看做人灾，天灾，以及看做自身病态来进行处理，或者将其删除，拟合的情况能够很好的反应肥料的施肥量与作物的产量之间的关系。

从模型中可以看出对于变量NN ，PP ，KK 回归系数都是负值，所以N,P,K 的结合不是越多就能够得到越多的作物产量，在达到一定程度的时候就会抑制生长，这样不利于获利。

然而我们要达到作物的最大产量与施肥量的关系时，运用lingo 软件很好的解决了这个问题。

如图五所示：
图五
通过处理将之前的范围转化的（0,1）给转换回来得到：
当N=212.8772（吨/公顷）P=666.6986（吨/公顷）K=426.9231（吨/公顷）时，可以得到最大的作物产量y=23.13367（公斤/公顷）。

这样就可以在有限的施肥量的情况下得到作物的最大产量。

关于土豆的分析我们同样可以依据上面的方法得到较为合理的拟合模型。

在这不在就一一算出来。

进一步引伸
1.考虑到价格
.考虑到价格的目的是尽量使利润最大化，而不是求生菜的最大产量，设生菜的价格为c元/公斤，设百分含量为w1的N肥的价格为c1元/每吨，设百分含量为w2的P肥的价格为c2元/每吨，设百分含量为w3的K肥的价格为c3元/每吨，设利润为g(n,p,k),则利润为：
g(n,p,k)=(-7.49815+36.55536*n+31.25152*p+16.76673*k-33.6572*n*n-16.05 47*p*p-12.7835*k*k)*c*1000
-(n*392/w1*c1+p*685/w2*c2+k*651/w3*c3);
约束条件为：0<=n<=1;
0<=n<=1;
0<=n<=1;
目标为：求利润的最大值，用matlab即可求利润最大值的情况，但需要分类讨论参数c,c1,c2,c3,w1,w2,w3对结果的影响，这里不具体讨论，而只讨论现在的情况。

我们在中国价格信息网上找到现有的生菜价格，和各含量的化肥的价格，应用于该模型：生菜的价格为3.3元//公斤，百分含量为含量>=25%的氯化铵的价格为1130元/吨，含量为>=57%的磷酸二铵的价格为3800元/吨，含量为>=50%的硫酸钾的价格为3600元/吨（三种化肥均为农用化肥），则利润为：
F(n,p,k)=(-7.49815+36.55536*n+31.25152*p+16.76673*k-33.6572*n*n-16.0547*p*p-12.7835*k*k)*3.3*1000-(n*392/0.25*1.13+p*685/0.57*3.8+k*651/0.5*3.6);
约束条件为：0<=n<=1; 0<=n<=1; 0<=n<=1;
用lingo 软件计算得：最大利润max F = 68096.09元，
n=0.5350778 ,氮肥的购买量为209.7505公斤
P = 0.9301850 ，磷肥的购买量为637.1767公斤 K = 0.6002412 ,钾肥的购买量为390.757公斤 2.敏感度分析
这里我们考虑到生菜价格上下浮动0.1元/公斤；肥料价格上下浮动100元/吨 ，0.1元/公斤。

对利润的影响作为其敏感性分析的指标，设为
生菜的指标z=df dc =2
f f +-
∆+∆
氮肥的指标z1=
1001df
d c =2f f +-∆+∆
磷肥的指标z2=1002df
d c =2
f f +-∆+∆
模型的评价
我们主要是对生菜进行分析的，在分析的过程中，运用Excel 在很多方面都
直接运行了出来，这给我们带来了不少的方便，该模型给其它农作物的施肥与产量提供了很好的帮助，在农业中有很好的运用前景。

该模型的不足之处是某些数据明显的不符合，我们没有将其删除，仍然放在模型当中进行运算的，这样会给系统带来一些误差。