最新2019高考训练优秀试卷16【学生试卷】

2019高考训练优秀试卷16
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ＝{x ||x |<1}，B ＝{x |x (x －3)<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,3) D ．(1,3)
2．若复数z ＝1＋i
1＋ai 为纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－12
D ．－1
3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图所示程序框图是为了求出满足2n －n 2>28的最小正偶数n ，那么 空白框中及最后输出的n 值分别是( )
A ．n ＝n ＋1和6
B ．n ＝n ＋2和6
C ．n ＝n ＋1和8
D ．n ＝n ＋2和8
5．函数f (x )＝1＋x 2＋
tanx
x
的部分图象大致为( )
6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )
A ．4 3
B ．
103
3 C ．2 3 D ．
83
3
7．6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有____种．( ) A ．24 B ．36 C ．48
D ．60
8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，b
＝2，则△ABC
面积的最
大值是( ) A ．1 B ． 3 C ．2 D ．4
9．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角B －AD －C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π
10．将函数f (x )＝sin 2x ＋π
3的图象向右平移a (a >0)个
单位得到函数g (x )＝cos 2x ＋π
4的图象，则a 的值可以
为( ) A ．
5π12
B ．7π12
C ．19π
24
D ．41π24
11．已知双曲线C ：x 2m 2－y 2
m 2－1＝1的左、右焦点分
别为F 1，F 2，若C 上存在一点P 满足PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为3，则该双曲线的离心率为( ) A ．52
B ．7
2
C ．2
D ．3
12．若直线kx －y －k ＋1＝0(k ∈R )和曲线E ：y ＝ax 3＋bx 2＋5
3(ab ≠0)的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，
y 3)(x 1<x 2<x 3)三点时，曲线E 在点A 、点C 处的切线总是平行的，则过点(b ，a )可作曲线E 的____条切线．( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，4x －y ≥0，x ＋y ≤5，
则z ＝x
＋2y ＋5的最大值为____．
14．已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任取一点与点A 连接，则所得弦长介于R 与3R 之间的概率为____．
15．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(1,0)任作一条直线和抛物线C 交于A ，B 两点，设点G (2,0)，连接AG ，BG 并延长分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A ′B ′过定点____．
16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →
|＝2，则(PA →·PB →＋4)(PC →·PM →)的最小值为____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ＋1，在正项等比数列{b n }中，b 2＝a 2，b 4＝a 5．
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
18．(本小题满分12分)大连市某企业为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w －＝18∑8
i ＝1w i
．
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0．2y －x ．根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝
∑n
i ＝
1 (u i －u －)(v i －v －
)∑n
i ＝
1
(u i －u －)2
，α^＝v －－β^u －．
19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1． (1)求证：EF ∥平面PDC ；
(2)求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M 1，3
2在椭
圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5－a
e x
(a ∈R )．
(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，求a 的取值范围；
(2)设g (x )＝e x f (x )，当m ≥1时，若g (x 1)＋g (x 2)＝2g (m )，
且x 1≠x 2，求证：x 1＋x 2<2m ．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ＝4cosθ0≤θ<π
2，
C 2：ρcosθ＝3．
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设点Q 在C 1上，OQ →＝23QP →
，求动点P 的极坐标方
程．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x |＋|2x ＋3|＋m ，m ∈R ． (1)当m ＝－2时，求不等式f (x )≤3的解集； (2)若
x ∈(－∞，0)，都有f (x )≥x ＋2
x
恒成立，求m
的取值范围．
高难拉分攻坚特训(一)
1．已知椭圆M ：x 2
a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2
＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取值范围为( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
答案 D
解析 由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：
x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以
⎩⎨⎧
a 2>6－a 2，6－a 2
>1，
解得3<a 2
<5.设椭圆M ：x 2
a 2＋
y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x
a 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0
a 2y 0
，
k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D.
2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，
且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．
答案 －1
解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，∴
2
a n ＋1－2
＝24a n －4a n －2
＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫2a n －2是以
1为首项，1为公差的等
差数列，∴
2a n －2
＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2
n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋
1
－2)＝2n ·2
n ＋1
＝
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， ∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋
b 2
＋
…
＋
b n
＝
4×⎝
⎛
⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .
易知f (n )＝4n n ＋1在[3，＋∞)上是增函数，
∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2
－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF
＝∠NAF .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围．
解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)，
故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，
所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，32，
所以直线AM 的方程是y －3
2＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y －32＝k (x ＋1)
，x 24＋y 2
3＝1，
消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0，
所以x 1＝－4k 2－12k ＋3
3＋4k 2
，
将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋3
3＋4k 2
，
所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]
x 1－x 2
＝k ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－8k 2
＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2
＝－12，
所以直线MN 的方程是y ＝－1
2x ＋d ， 代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，得x 2－dx ＋d 2
－3＝0，
所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，
又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋3
2>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.
4．已知函数f (x )＝(x －1)e x
－ax 2
(e 是自然对数的底数)．
(1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；
(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )． 当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；
当0<a <1
2时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点； 当a ＝1
2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；
当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点．
综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠1
2
时，f (x )有2个极值点；当a
＝1
2时，f (x )没有极值点．
(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.
当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．
设g (x )＝e x －x 2－1
x ，
则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)
x 2
.
设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1. ∵x >0，∴h ′(x )>0，
∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，
∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。