西北工业大学矩阵论课件第二章例题 范数理论

( p 1,q 1, 1 1 1) pq
则当 p 1 时，
x
y
p p
n
xi yi p
n
xi yi xi yi p1
i 1
i 1
n
n
xi xi yi p1 yi xi yi p1
i 1
i 1
n
(
xi
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
)
1 q
i 1
i 1
n
(
yi
证明 • b是 Cn上的向量范数。
证 (1) 若 x 0，则 0 b A0 a 0 a 0；
若x 0，则 Ax 0(否则，若 Ax 0，两边左乘A-1得
A1Ax A10，即 x 0，矛盾) 于是 x b Ax a 0
(2)
kx b
A(kx) a
k
Ax a k
x
；
b
(3) x y b A( x y) a Ax a Ay a
n
n
aij 2
[tr(
AH
1
A)]2
i1 j1
则
A
是
F
Cnn上的矩阵范数，称之为
Frobenius范数。
简称 F-范数。
证
n nn
2
AB F aikbkj
i1 j1 k 1
n nn
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
n
nn
[(
n
aik 2 )(
bkj 2 )]
i1 j1 k 1
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
)
1 q
i 1
i 1
( x p
n
y p )(
xi
yi
p
)
1 q
i 1
p
( x
p
y
p)
x
y
q
p
整理得
p p
x y p q x p y p
即
x y p x p y p
例5 设A是n阶可逆矩阵， • a是Cn上的向量范数
(不一定是 p-范数)。 规定 x b Ax a x Cn
n
x 1 xi
i 1
则它是一种向量范数，称为向量1-范数。
证 (1) 0 1 0；当 x 0 时， x 1 0；
n
n
(2) kx 1
kxi k
xi
k
x
；
1
i 1
i 1
n
n
(3) x y 1 xi yi ( xi yi )
i 1
i 1
n
n
xi yi x 1 y 1
i 1
i 1
例3 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
x
max
i
xi
则它是一种向量范数，称为向量-范数。
证 (1) 0 0； 当 x 0 时，必有分量不为0，
于是 x 0；
(2)
kx
max
i
kxi
k
max
i
xi
k
x
(3)
x
y
max
i
xi
yi
max
i
(
xi
yi )
max xi
xb
y
。
b
来自百度文库
例如，取 • a为 Cn上的向量1-范数，又取n阶可逆
矩阵 A diag(1, 2, , n)，则
n
n
x b Ax 1 ixi i xi
i 1
i 1
x1 2 x2 n xn
这是一种新的向量范数。
例6 设A是n阶Hermite正定矩阵，规定
x A xH Ax (x Cn ) 则 x A 是Cn上的向量范数，称之为椭球范数。
i
max yi
i
x
y
例4 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
n
x p (
xi
p
)
1 p
(1 p )
i 1
则它是一种向量范数，称为向量 p-范数。
注 证明第三条公理时要用到Hölder不等式
1
1
n xi yi n xi p p n yi p p
i 1
i1 i1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
或
xi yi
xi 2 yi 2 x 2 y 2
i 1
i 1
i 1
则有
n
n
x
y
2 2
xi yi 2 ( xi yi )2
i 1
i 1
n
n
n
xi 2 2 xi yi yi 2
i 1
i 1
i 1
x
2 2
2
x
2
y2
y
2 2
(
x
2
y 2)2
例2 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
第二章 范数理论
§1 向量的范数
例1 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
n
x 2
xi 2 xH x
i 1
则它是一种向量范数，称为向量2-范数。
注 直接证明第三条公理时要用到Cauchy
-Schwarz不等式
n
n
n
( xi yi )2
xi 2
yi 2
x
2 2
y
2 2
证 由于A是Hermite正定矩阵，所以存在酉矩阵
U使得
U H AU diag(1,2, ,n ) (i 0，i 1,2, , n)
于是
A U diag(1,2, ,n )U H
U diag( 1, 2 , , n ) diag( 1, 2 , , n )U H PHP
其中 P diag( 1, 2 , , n )U H是可逆矩阵。
k 1
nn
aik 2
nn
2
b jk
i1 k 1
j1k 1
AF BF
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
A m
n max aij
i, j
则 A m是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m-范数。
从而
x A xH Ax xHPHPx (Px)H (Px) Px 2 由例5知， x A 是Cn上的向量范数。
例 证明向量的1-、2-、-范数等价。
证 因为
n
x
max
i
xi
xi
i 1
x
1
n
max
i
xi
n x
所以向量的1-范数与2-范数等价；又有
n
x
max
i
xi
xi 2 x 2
i 1
而向量序列 x(k) (1 1 , sin k)T 是发散的，因为 k
lim sin k 不存在。
k
§2 方阵范数
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
nn
A m1
aij
i1 j1
则 A m1是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m1-范数。
证 前三条公理必成立，只证公理(4)。 设
B (bij )nn，则
n max xi
i
n x
于是向量的2-范数与-范数等价。结合诸不等式得
x 1 n x n x 2 n n x n n x1
即有
1 n
x1
x2
n x1
于是向量的2-范数与1-范数等价。
例 向量序列 x(k) (2 1 , (1 1)k , 2)T， kk
当 k 时，收敛于向量 x (2, e, 2)T；
n nn
n nn
AB m1 i1
aik bkj
j1 k 1
i1
( aik bkj )
j1 k 1
n nn
n
( aik bkj )
i1 j1 k 1 k 1
nn
nn
(
aik )(
bjk )
i1 k 1
j1k 1
A m1
B m1
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
A F