2019届四川省高三12月月考文科数学试卷【含答案及解析】

2019届四川省高三12月月考文科数学试卷【含答案
及解析】
姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ___________
、选择题
1. 若集合A =:
:,芯一m : n 卡,贝V 防=(
)
(A )匕.訂 ________________________________ (B ) I - __________________________
(C ) ' ___________________________ (D )( 1, 4)
ab$> 1 "是“ log 2 a log 2 b > 0 "的(
)
(B )充分不必要条件 (D )既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，最小正周期为 n 的奇函数是(
)
(A ) y = sin ( 2x + —) ? (B ) y = cos (2x + —) ? (C ) y = sin2x + cos2x (D ) y = sinx + cosx
4. 向量汀_二li 」_.贝【J 「一
(A ) ______________________ (B ) 0—
(D ) 2
5. 已知命题p :对于，…，恒有 严成立，命题q :奇函数；'的图 象必过原点.则下列结论正确的是(
A. "q 为真 __________________
B. (一为真 ________________________
C. 为
6.
过双曲线•— 一 的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于
A 、
2. 设a , b 为正实数，则
(A )充要条件 (C )必要不充分条件
(C ) 1
真 D. —p为真
B 两点，贝V |AB| =( )
(A) ____________________________________________ ( B) 2
3
___________________________________ (C) 6 ( D) 4 .<
7. 若函数；■<：-//■ -c- - r.在「心订上存在零点，则正实数-的取值范围是
()
(A 魚T]|______________________________ ( B ) r：.i"|
______________________________ ( C )二/1 _______________________________ ( D ) ran
8. 若直线i : :■--=曲与曲线岂与M :二^"有且只有两个公共点，则的取值范围是( )
(A) ：；_. ：------ ；「( B ) | ------------------- |(C ) I I.「！
----------------------- (D) ’
9. 函数」的定义域为丨，-I 「一，对任意的•，匚，都有
I --成立，则不等式| ■.'的解集为( )
A. I _ ■__________________________ B - < .
___________________________ C. I - - ___________________________
D. i 二S；
10. 已知函数I ■—' —■ ■ ■■-：' --处取得极大值，在^处取得极小值，
1
满足. .I丨的取值范围是( )
■ 2
A. |_
B. : 1. ■- i
C. 卜；|
D.
二、填空题
11.
已知点P (6, y )在抛物线
上，F 为抛物线的焦点，若|PF|=8 ,
则点F 到抛物线准线的距离等于
'
'.
12. ____________________________________ 已知函数,其中.为实数，訂二肿讥 的导函 数，若 /'(I)
= 3，贝V 盘的值为 ___________________________ .
已知的三边长成公比为」的等比数列，则其最大角的余弦值为
已知等差数列也：满足•
• 一 I • 一
求数列；，；的通项公式并求其前.. 设等比数列弦r .I 满足= /■' ■ •问
与数列：•的第几项相等?
13.
14.
设函数•工.:二
4r 1
」gD ，则万程/w=4
的解集为
15. 已知幂函数f (x )
2 , y 2 )( x 1
(x 1
) > x 2 f
-;
斗
r ?
是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论:
);② x 1 f ( x 1
) v x 2 f ( x 2
④
.其中正确结论的序号是 ____________
三、解答题
16.
已知向
量
(1)
.
'：
-：
, I 、： ■-. ，函数•心 1 一
的单调增区间； 在区间吃罕］|的最小值.
17.
(1) (2) 18.
(1)
的图象经过点 ,P ( x 1
, y 1
已知点A ( -3 , 0 ) ,B ( 3 , 0 ),动点P满足|PA|=2|PB|. 若动点P的轨迹为曲线C,求此曲线C的方程；
(2)若曲线C的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.
19. 在△ ABC中，角A，B ，C所对的边分别是a ，b ，c,且A, B ，C 成等差数列.
(1 )若a=1 , b= ，求sinC ;
(2 )若a , b , c成等差数列，试判断△ ABC的形状.
20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，-—，且椭圆过点
?
-■
(I )求椭圆的方程；
(H)椭圆左，右焦点分别为；，过，的直线与椭圆交于不同的两点
(I)求./打；面积的最大值；
(2) △耳AE的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数f (x) =l nx - —a (x - 1)( a€R ).
(I)若a=- 2,求曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程；
(□)若不等式f (x)v 0对任意x €( 1 , +s)恒成立.
(i)求实数a的取值范围；
(ii)试比较e a - 2与a e - 2的大小，并给出证明(e为自然对数的底数, e=2.71828 ).
参考答案及解析
第1题【答案】
【解析】
第2题【答案】
i
【解析】
试题分析！由对数團数的性质知£ S fi log^>log^>0 , ^a>b>\” 5若,贝W
-M iH-
log^>log,A>0 w ,故^a>b>l'‘是ff k>B2^>]0g,&>0 w的充要築件，SjftA.
第3题【答案】
【解析】
试题分析；由于国数『=.2卄扌卜曲加，为偶區勉故排除釦由干国数
L=e«|2x+^j = -m2x为奇国数』且周期为学；故晞足条件』由于跚
V 2 J 2
y = ain2x+cw2x«V^sin 2x+y ,为非奇非偶圈SL故対瞬心由于函数丁二幻血丫
\ 4/
卡®“近诃”十弓为非奇非偶函數，故排除D,故选EL
第4题【答案】
C
【解析】
试题分折；Qi = (l-l)t U«2),则(2^+^ = (1?0)^1-1)=1 ；故选c・
第5题【答案】试题分析：命题P :对于也外，恒有2?+2^>2成也显然是算命駆命题g =奇国数的囹象必过原点，例如厂丄,国数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，F是肯命题，y
【解析】
为貞是正确的，故选C.
第6题【答案】
【解析】
试题分析：双曲线?-^ = 1的右焦点QF)，漸近线方稈为丁二土屈，过取曲坯-巴二1的3 3右焦点且与'■轴垂直的直线，K =2,可15 Jj =2^3. y f = -2-7J j |J4S|= 4JT ,故选D,
第7题【答案】
A
【解析】
试题分析：f(x)=2x-a2-a ,在卜冷1］上存在零点等价于2—小—c有解，
Q.r <1. 0 <2" <2 , ; D<^+^j<2 ,即［右>0或盘v—1 ,二Oc 口莖】■故选A.
第8题【答案】
【解析】
试题分析：画出團象'当直线/经过点討、B 3^榊=1」此吋直轴与曲线尸皐孑有两个公馬，当直线/与曲线相切E寸』籾=近，因此当IS 时』直线/ ；）=一工+啊与戦v = ^?_有两个公共鼠故选C
第9题【答案】
A
【解析】
怦题分析：令^C V）-/（V）-A J-2016,灭）・八工）亠,因対对彳壬青的refl、部有
成立』所以对任畜的心,了⑴门…"&）・&丘-2016在A上是趣Bb且g（T）=y（7）+i -2016 = 2015 + 1-2016 = 0 ,故不等武/（x）＜^+2016 价于E GX蛊（T）,解集対（-L+Q ,故选乩
第10题【答案】
【解析】
试题分析：Qf(x)=^-x^^ay ：-^bx^e ,二广(丁)“：+皿",因为函数/(工)在区间(-1-0)
* Z
内取得扱大值F 在区间(0.1)内取得联卜值，.J(rr)=p4av" = 0》在(T4)和(0.】)內各有 —0
—个根」八0X0 ,/(
(-1)>0,/,(1)^0 ,和lp + b>o ,在疽少坐标糸中画出其表示的区域 [1 +□ 4-(? > 0 ,得到：十芽 1 J 把 "2 0 + 2
&(L0)代入
,得到1±2士1二丄；把C(-LO)代入”十彎° J
得到
T ；°：S ,
a^2
H2 3 a + 2 -H2
/T + 7 A + il
_ "
二 \ 的职值范凰是(L3),故选氐
i7 +■ 2
第“题【答案】
4
【解析】
趨分析？设点尸(6.T )在抛物线尸="3。

)上的射就财,则M 「号,依题意, \P^\=\PF\ = ^ ,即6-(-^ | =
8…厂斗即点F 到抛物线准线的距禽等干4 ,答案加• \ 2)
,如虱 CU （DT ）/{LO ）-U （・LO ）匚 把^（0,-1）代
入
第12题【答案】
【解折】
试题分析：Q/(V}=4TT1U.V』.”/'(瓦)=口111夏-处士=口应工 +口，/f(l)=ci = 3 f故答案为3.第13题【答案】
_T
【解析】
试题分析；根据题意设三角形的三边长分别设为为M心,Ct2a>^>a :.2a所对的角为最鳩，设为"，则丰觀黑玄定理得2= / +g j _(2”二@ ,故答^-―・
2屈二 4 4
第14题【答案】
试题分折：当注0时，4r=7得T =T,符合题意「当心0咋|咤制=1
4 4
可得“71或掘=£「所以答案为
【解
第15题【答案】
析】
【解析】
• <?=- ' 于是/（x ）=s X 2 ,由于函数在定义域炖）内里调递磬所以当比―]时，业有fgvyg ，从而 有旺/（円）疋疋J （勺）』故②正确$又因为『 '、『-分别表示直线OP 、0Q 的斜率，根据斜
f （ Y 1 f （X ）
率的几何竜义可以得出直线0P 的斜率大于直SOQ 的斜率』故亠亠亠2 ,所以③正确』故 答案为②③.
【解析】
试题分析：⑴ 先根据平面向量的数量积公式求出/（站）的表达式，再利用正弦.余^的二倍角公式 以
S.两角和的正弦公式，将/（工）化为gqi"扌」把上“扌看成整体，利用正弦過数的增区间 求得；⑵由
工百0书，求得k 疔 范围，进而得a/（v ）的最小值.
£
由仆上“恵£亦昇』得/⑴的单调曙区间为2fcr-^,2*jr+y （teZ ）；⑵
2 3 2 L 6 6」
Qre Q 宁 …]“耳s 「0皿卜+扌卜1「升）在卫哥上的最小值机・
第17题【答案】
1丫 S;
试题分析：依题甌设加",则有匸
试题解折：CD /(r) = smv-2
第16题【答案】
⑴
(心)
<1）% 二2斤十2* £二”十知；<2） 63 ・
【解析】
试题分析：CD由码-匹=2 ,可求公差N ,然后由円+円=10可求丐,结合等差数列的通项公式可求；⑵ 由&：=^=S.t2=^ =16 ,可求等比数列的百项及公比，代入等比数列的通项公式可求乞’再结合（1）可求.
试题解析；（"设等差数列佃｝的公差为/風^ + ^=10^2^4^ = 10卫厂％= 2 =沖=2
--坷=4*扌=2「一殆=2w+2,Sjt =n3 + 3n j
⑵设善比数列色t｝公比淘g ,则由对二码=>6二民妇=碍=>匕=16』.-^ = 2.^=4 ,
■如=12B，由毎=切与ft = 62 ,因此%与數列｛①｝中第63项相等.
第18题【答案】
(1) (x-5)P
= 16 ; (2) y - 土扌工或y + y ・ 5 ±4-^2 - 3
【解析】 试题分析；⑴ 设P 点的坐标^（•2几用坐标（》）表示用I . I 朋I 、代入等式阴卜平国 f 整理即得点尸的轨迹方程'⑵由〔门可求出圜心坐标‘圆的半化 结合题意讨论截距为零和不 为零两种情况，利用圜心到直线的距离等于半径可束切线方程.
试题解析；⑴ 设点Pg"为曲牝 上任意一為 则由R 店2明| ,
+ ^.v- -2^（.1*3y + .v :
化简得曲线c 的方程为（兀^5），二； 4 4
"土中，所以博訪程为"士卡 兰切^在两坐标轴上截距相等且不为0呵，设切线斗+ y s0工0） 由相切有常L 牡二"5±4血,切线方稈対工+尸3±4血， 综上：切线方程为F 二二扌艾ofiy + .v = 5±4V2・
第19题【答案】
<1) 1;⑵等边三角形.
【解析】 试题井析：⑴由三角形內角和定理结合』、B > C 成等差数列求得£ ,再由正弦定理求出川 ,则<7可求茸正弓玄可求」Q)由白\ b 、亡成尊羞数列，可得白、b 、亡的关系式，再结合(1 八 再利用余弦定理可得日之,则可判断MRC 的形状- 试题解析：（门由A^B^C = ^2S=A^C , ^5-y ・
⑵ 当
切线
44
又0 亡川丈目，二卫二二;贝」C?二；r-二一—二* , /. ticiC-1
6 3 6 2
证明：由2b=a+c f得4酣=與丄十十户，又，二白'丄P-g *得4z?- + 4r- -Aac -a~ + 2ac^ c2,得3(o 一=0..\<7 、
、靈TT
/■ A= C.又用+ C&〒「/二C = R = […：罡等边三角形.
第20题【答案】
(I )匚+22 = 1 ； <II) (1) 3 ; (2) —n , x = l . 4 3 16
【解析】
,解出a.b.c 的值，进而求得椭13的方程；（II ）设耐（込不妨设片>0•兀<0
,设巧.MV 的内切圆的半径为R ,则= ^（\MN\ + \MF] -h \NF } |> = 4^ ,当九山最大时
,R 也最大，込MN 的内切圆的面积也最大，由此能求出年的内切圆的面积最大值是令
、此时in = 0 ,直线/的方程是x 二1・ <11）⑴设4（巧切）/（勺必儿不妨•兀"，
由题砌 直线/的斜率不为黑 可设直线/的方程为"叭+】,
■
工二"（V +1
厂—— 由兰*二1得（曲+4" + 6巾-9 = 0 ,则s 二奔|（心2）=
印= 冷3 - 2 如" ----- 2 ---- ， 3n/+4
可化为?7^石丄」 ，设/=v^+T （宀1），利用因数单调性可知心】时三角形面积有 -7W 2+I 最大值，即, ：^F }AB 面积最大值为3 •
⑵ 设书肋 的內切圆的半径R ,则帖曲 的周长=4a = 8 >
= |（|.^|+ \1\A\\F }B\）R = 4R ，因此 s 站.“最大'R 就最大，S 旳厂必,Q < 3
3
3 9 •• R<- , R =-时，所求內切圆面积的最大值为石兀.故直线1 : x = \.SF }AB 內切圆面积的
4
4 16 最大值为鸟兀-试题分析：（I ）根据离心率为:以及椭圆过[1.
列出关于"be 的等式，再结合
试题解析；恥“2
解得
宀怡
第21 题【答案】
(I ) ,v = 2x-2 ； ( II) (i) [2.4H)； (ii)当cw[2.@)时，v/p ,当am 8寸，产2=旷’,当)时，^-2 > y-2・
【解析】
试题分析；(【〉一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率，再由点斜式求得切线方程,<
II)只需求出函数y(x)在区间[1.Y)上的最大值即可，利用导数妍究单调性，进一步求其最值；比较严？与/“的大小等价于比较—2与2-21“)的刘、，比较大小可将两个值看成S|数值，然后利用函数的单调性求解.
试题解析：(I >因为"一2时，/(r) = lnA- + .y-l , f (工)=2 + 1 ,所以切点为(L0),
X
^ = /(!) = 2，一 = -2 时，曲线y = /(.v) ^(1./(1))处的切线方程为y-lx-2 ‘ (
] [少一
II) ( i)由/(x)= lnx—a(工一1)…(x) =—-=-—— >①当a <0 时，xG (L+x)，
2x 2 2x
r(x)>o,
9 /(工)在(1・亦)上单调递增'/(v)>/(l)=0 , —€0不合题意,②当4^2即0<二G时
a
在(1・十8)上恒成立，二/(X)在(1・十8)上单调递减，有
：.ci>2满足題意'③若0<a<2即纟>1时'由f (x)〉0 ,可得l<x<-,由f，(x)<0 ,可得a a 2
上单调递减,•••/ 一>/(1)=0，二05V2不合题
x > —,
1/(0在(1 •才上单调递増,在&
青，综上所述，实数《的取值范围是[22), < ii)沦2时，“比较与的大小"等价于“比较“2与
(e-2hy)的大小”‘ > 设g(x)= x-2-(<?-2)lnx,(x^2);则^,(.v)= 1-> 0
'•g(x)在[2 48)上单调递増，因为g(@) = 0 ,当*[2“)时，g(r)<0 ,即乂一2v@-2)lnx
十・2 ,当"仏心)时g(*)>0 ,即工-2>(“2)lnx..・，r »严 > 综上所述，当ae[2,e)时，u&r ,当Q=e时，丁,当n e (e. -KC)时，子乍：> .。