人教版2019学年高中数学第四章圆与方程章末检测试题新人教A版必修2

第四章检测试题
( 时间 :120分钟满分 :150 分 )
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆的方程1,6,8,14,16
直线与圆订交问题5,7,11,17
直线与圆相切问题15,19
圆与圆的地址关系3
圆的方程综合应用问题4,10,12,20,21
空间直角坐标系2,9,13,18
一、选择题 ( 本大题共 12小题 , 每题5分, 共 60分)
1. 若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以 (2,-4)为圆心 ,4为半径的圆 ,则 F等于( B )
(A)2(B)4(C)6(D)8
剖析 : 由圆的一般方程知, 此方程表示的圆的圆心为(-
,- ), 半径为, 所
以 - =2,- =-4,=4, 得 D=-4,E=8,F=4, 应选 B.
2.空间直角坐标系 Oxyz 中的点 P(1,2,3) 在 xOy 平面内射影是 Q,则点 Q的坐标为 ( A )
(A)(1,2,0)(B)(0,0,3)
(C)(1,0,3)(D)(0,2,3)
剖析 : 因为空间直角坐标系 Oxyz 中 , 点 P(1,2,3) 在 xOy 平面内射影是 Q,所以点 Q 的坐标为
(1,2,0).
3. 圆 C:(x+1)
2222
的地址关系为 ( C ) +y =4与圆 M:(x-2) +(y-1)=9
(A) 内切 (B)外切 (C) 订交 (D) 相离
剖析 : 圆 C:(x+1)2+y2=4 的圆心 C(-1,0),半径 r=2;
圆 M:(x-2) 2+(y-1) 2=9 的圆心 M(2,1), 半径 R=3.
所以 |CM|==,R-r=3-2=1,R+r=3+2=5.
所以 R-r<<R+r. 所以两圆订交 . 应选 C.
22
上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ( C )
4. 圆 x +y-4x-4y-10=0
(A)36(B)18(C)6(D)5
剖析 : 圆 x2+y2-4x-4y-10=0的圆心为 (2,2), 半径为 3 , 圆心到直线 x+y-14=0的距离为=5>3, 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6. 应选 C.
5.y=kx(x-2)2+y 2=1的两个交点对于直线2x+y+b=0,k,b
( D )
(A)- ,4 (B),4
(C)- ,-4(D) ,-4
剖析 : 直线 y=kx 与圆 (x-2) 2+y2=1 的两个交点对于直线2x+y+b=0 对称 , 则直线 2x+y+b=0 一定过圆 (x-2) 2+y2=1 的圆心 (2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直 , 可得
-2 × k=-1, 解得 k= , 应选 D.
6. 若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆 , 则实数 m的取值范围是 ( A )
(A)m< (B)m>
(C)m<0 (D)m≤
剖析 : 由题意得1+1-4m>0, 得 m< .
7. 若圆 (x-3) 2+(y+5) 2=r 2上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1, 则半径 r 的取值范围为( A )
(A)(4,6)(B)[4,6)
(C)(4,6](D)[4,6]
剖析 : 结合图象可知 ,-1<-r<1, 所以 -1<5-r<1,所以 4<r<6. 故选 A.
8. 点 P(4,-2) 与圆 x2+y 2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1
(B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=1
(D)(x+2)2+(y-1)2=1
解析 : 设圆上任意一点坐标为 (x ,y), 其与点 P 所连线段的中点坐标为 (x,y),则
11
即代入 x2+y2=4, 得
22
(2x-4) +(2y+2)=4,
化简得 (x-2)2+(y+1)2=1. 应选 A.
9. 在空间直角坐标系Oxyz 中 ,z轴上的点 M到点 A(1,0,2)与点 B(1,-3,-1)的距离相等 ,则点 M的坐标是 ( A )
(A)(0,0,-1) (B)(0,0,3)
(C)(0,0,)(D)(0,0,-)
剖析 : 设 z 轴上的点 M(0,0,z), 得 12+02+(z-2)2=(1-0) 2 +(-3-0) 2+(-1-z) 2解得 z=-1,
所求的点为 (0,0,-1).
10. 设实数 x,y 知足 (x-2) 2+y2=3, 那么的最大值是( D )
(A)(B)(C)(D)
剖析 : 以以下图 , 设过原点的直线方程为y=kx, 则与圆有交点的直线中,k max= , 所以的最大值为,
应选 D.
11. 过点P(1,1) 的直线 , 将圆形地区 {(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之
差最大 , 则该直线的方程为( A )
(A)x+y-2=0(B)y-1=0
(C)x-y=0(D)x+3y-4=0
剖析 : 欲使两部分的面积之差最大 , 需直线与 OP 垂直 , 因为 k OP=1, 所以所求的直线方程为 y-
1=-(x-1), 即 x+y-2=0.
12. 当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时, 实数k 的取值范围是( C )
(A)(0,)(B)( ,]
(C)(, ](D)(,+ ∞)
剖析 : 曲线 y=1+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆(如图),直线y=k(x-2)+4是过定
点 (2,4) 的直线 .
设切线 PC的斜率为 k0, 则切线 PC的方程为 y=k0(x-2)+4, 圆心 (0,1) 到直线 PC的距离等于半径 2,即=2,k 0=.
直线 PA的斜率为k1= . 所以<k≤. 应选 C.
二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分)
13. 空间两点A(2,5,4),B(-2,3,5)之间的距离等于.
剖析 :|AB|==.
答案 :
14. 若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是.
剖析 : 设圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,因为圆C经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2,又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得
b=- ,r= , 所以圆的方程为(x-2)2+(y+) 2=.
22
答案 :(x-2) +(y+ ) =
15. 由直线 y=x+1 上的点向圆 (x-3) 2+(y+2) 2=1 引切线 , 则切线长的最小值为.
剖析 : 若使切线长最小, 则直线上的点到圆心的距离 d 最小 , 又 d min==3,此时切线长为=.
答案 :
16. 过两圆 x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是.
剖析 : 设圆的方程为x2+y2 -4x+2y+ λ (x 2+y2-2y-4)=0,则(1+λ)x2-
4x+(1+ λ )y 2+(2-2 λ )y-4 λ =0, 把圆心 (,) 代入 l:2x+4y-1=0的方程,可得λ = ,
所以所求圆的方程为22
x -y -3x+y-1=0.
答案 :x 2-y 2-3x+y-1=0
70 分)
三、解答题 ( 本大题共 5 小题 , 共
17.( 本小题满分14 分)
A,B两点 , 且 |AB|=2, 求直已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交
于
线 l 的方程 .
解 :(1) 当直线 l 斜率存在时 , 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0.
作表示图如图 ,MC⊥ AB于 C.
在 Rt △ MBC中,|BC|= |AB|= ,|MB|=2,
故 |MC|==1,
由点到直线的距离公式得=1,
解得 k= .
故直线 l 的方程为3x-4y+6=0.
(2)当直线 l 的斜率不存在时 , 其方程为 x=2,
且 |AB|=2 , 所以符合题意 .
综上所述 , 直线 l 的方程为3x-4y+6=0 或 x=2.
18.( 本小题满分14 分)
以以下图 , 已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 4 的正方形 ,PD⊥平面 ABCD,PD=4 ,M 为PB的中点 ,N 在线段 AB上 , 求当 |MN| 最短时 ,N 点所处的地址 .
解 : 成立以以下图的空间直角坐标系,
则 A(4,0,0),B(4,4,0),
P(0,0,4).
因为 M点为 PB 的中点 ,
所以 M(2,2,2).
又 N在线段 AB上,
所以 N(4,b,0)(0≤ b≤4).
所以 |MN|=.
所以当 b=2 时|MN| min==4.
此时 N 为 AB的中点 ,
所以当 N 为 AB 的中点时 |MN| 最短 .
19.( 本小题满分14 分)
已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2, 点 P(2,-1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点 .
(1)求 PA,PB 所在直线的方程 ;
(2)求切线长 |PA|;
(3)求直线 AB的方程 .
解 :(1) 设切线的方程为 y+1=k(x-2),
即 kx-y-2k-1=0,又C(1,2),半径r=,
由点到直线的距离公式得:
=, 解得 ,k=7或 k=-1.
故所求切线 PA,PB 的方程分别是x+y-1=0和 7x-y-15=0.
(2) 在 Rt △ APC
中 ,|AC|=r=,
|PC|==,
所以 |PA|===2 .
1122),1212
(3) 设 A(x,y ),B(x,y则 (x-1) +(y -2)=2,
(x 2-1) 2+(y2-2)2=2.
因为 k CA· k AP=-1, 即·=-1,
所以 (y1-2)(y 1+1)=-(x 1-1)(x 1 -2),
变形得(y 1-2)(y 1-2+3)=-(x1-1)(x 1-1-1),
(y 1
-2)
211
-1)
2
+(x
1
-1), +3(y -2)=-(x
(x
2
+(y
2
-2)-(x
-1)=0.
1-1)
1-2) +3(y
1
1
因为 (x 1-1) 2+(y 1-2) 2=2,
所以上式可化简为
x 1-3y 1 +3=0. 同理可得 :x 2-3y 2+3=0.
因为 A,B 两点的坐标都知足方程 x-3y+3=0,
所以直线 AB 的方程是 x-3y+3=0.
20.( 本小题满分 14 分)
已知圆 C:x 2+y 2+4x-4ay+4a 2+1=0, 直线 l:ax+y+2a=0.
(1) 当 a= 时 , 直线 l 与圆 C 订交于 A,B 两点 , 求弦 AB 的长 ;
(2) 若 a>0 且直线 l 与圆 C 相切 , 求圆 C 对于直线 l 的对称圆 C ′的
方程 .
解 :(1) 因为圆 C:(x+2) 2 +(y-2a) 2=( ) 2, 又 a= ,
所以圆心 C 为(-2,3), 直线 l:3x+2y+6=0, 圆心 C 到直线 l 的距离
d= =
,
所以 |AB|=2
=
.
(2) 将 y=-ax-2a 代入圆 C 的方程化简得 (1+a 2)x 2+4(1+2a 2)x+16a 2
2
2
2
2
因为 a>0, 所以 a=
,
2+1= 0(*),
所以方程 (*) 的解为 x=-
,
所以切点坐标为 (- , ),
依照圆对于切线对称的性质可知切点为 CC ′的中点 , 故圆心 C ′的坐标为 (-5,
), 所以
圆 C ′的方程为
2
2
(x+5) +(y-) =3.
21.( 本小题满分 14 分)
已知圆 C:x 2+y 2-2x+4y-4=0, 可否存在斜率为 1 的直线 l, 使以 l 被圆截得的弦 AB 为直径的
圆过原点 ?若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 说明原因 . 解 : 假定存在斜率为 1 的直线 l, 知足题意 , 且 OA ⊥ OB.
设直线 l 的方程是 y=x+b, 其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则·=-1, 即 x
1x+y y =0. ①212
由消去 y 得 :2x 2+2(b+1)x+b 2+4b-4=0,
1212
=2
②
所以 x+x =-(b+1),x x(b +4b-4),
1212
b)=12
+b
122222
y y =(x+b )(x +x x( x +x )+ b =( b + 4b- 4 )- b -b+ b = (b 2+2b-4).③
把②③式代入①式, 得 b2+3b-4=0,
解得 b=1 或 b=-4, 且 b=1 或 b=-4故存在直线l 知足题意 , 其方程为都使得
y=x+1
=4(b+1)
或 y=x-4.
2-8(b2+4b-4)>0成立 ,。