(全国通用版)高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列求和及综合应用学案 文-人教版高三全册数学

第2讲 数列求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①
故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2
2n －1
， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
. (2)记⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1
2n ＋1
，
则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
b n a n 的前n 项
和T n .
解 (1)设{a n }的公比为q ，
由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2
，
又a n >0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n
.
(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，
又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12
n ，
因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋1
2n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，
所以T n ＝5－2n ＋5
2
n .
考 点 整 合
1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.
(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 2.数列求和
(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.
温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.
热点一 a n 与S n 的关系问题
【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1
T n T n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *
， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－1
4
a n ，
又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－1
4，
所以数列{a n }是公比、首项均为－1
4
的等比数列.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14n
. (2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2
，
c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－
1（n ＋1）2
， 所以A n ＝1－1
（n ＋1）2.
因此{A n }是单调递增数列，
∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝3
4
；A n 没有最大值.
探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，
再求a n .
2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列. 【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，
得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，则a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以
a n ＋1a n ＝λλ－1
. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λλ－1n －1
.
(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫λλ－1n
.
由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15
＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15
＝132
. 解得λ＝－1. 热点二 数列的求和 考法1 分组转化求和
【例2－1】 (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n
·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4
＝4a 1
＋4×32d ＝24，S 7
＝7a 1
＋7×62
d ＝63，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1
＝3，d ＝2.
因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.
(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝2
2n ＋1
＋(－1)n
·(2n ＋1)
＝2×4n
＋(－1)n
·(2n ＋1)，
∴T n ＝2×(41
＋42
＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n
(2n ＋1)]＝8（4n
－1）
3
＋G n .
当n 为偶数时，G n ＝2×n
2＝n ，
∴T n ＝8（4n
－1）3＋n ；
当n 为奇数时，G n ＝2×
n －1
2
－(2n ＋1)＝－n －2，
∴T n ＝8（4n －1）3
－n －2，
∴T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧8（4n
－1）
3
＋n （n 为偶数），8（4n
－1）
3
－n －2 （n 为奇数）. 探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.
2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 考法2 裂项相消法求和
【例2－2】 (2018·郑州调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2
＋5n . (1)求证：数列{3a n }为等比数列；
(2)设b n ＝2S n －3n ，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n a n b n 的前n 项和T n . (1)证明 ∵S n ＝2n 2
＋5n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n ＋3. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝7也满足a n ＝4n ＋3. 故a n ＝4n ＋3(n ∈N *
).
由a n ＋1－a n ＝4，得3a n ＋13a n ＝3a n ＋1－a n ＝34
＝81.
∴数列{3a n }是公比为81的等比数列. (2)解 ∵b n ＝4n 2＋7n ，
∴
n a n b n ＝1（4n ＋3）（4n ＋7）＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n ＋3－14n ＋7，
∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋111－1
15＋…＋14n ＋3－14n ＋7 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－14n ＋7＝n
7（4n ＋7）
. 探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练2】 (2018·日照质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1(n ∈N *
). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n ＋n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，
又a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1， 所以a n ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n 2
(n ≥2). 因为a 1＝1也满足a n ＝n 2
，所以a n ＝n 2
. (2)因为b n ＝
1n 2
＋n ＝1n －1n ＋1
， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1，所以S n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 考法3 错位相减求和
【例2－3】 (2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 3n 的前n 项和T n .
解 (1)设{a n }的公差为d ，由题设
得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，a 23＝a 1·a 9，∴⎩
⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2
＝a 1（a 1＋8d ）. 解之得a 1＝1，且d ＝1. 因此a n ＝n .
(2)令c n ＝n
3n ，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n
3n ，① 13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n
3n ＋1，② ①－②得：23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1
32＋…＋13n －n 3n ＋1
＝13⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n 3n ＋1，
∴T n ＝34－2n ＋34×3
n .
探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.
2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.
【训练3】 (2018·邯郸调研)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 4＝S 3＋3a 3，a 2＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 4＝S 3＋2a 3，可得
a 4＝S 4－S 3＝3a 3，即q ＝a 4
a 3
＝3，
又a 1q ＝9，可得a 1＝3， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1
＝3n
.
(2)由(1)知b n ＝(2n －1)·3n
， 则数列{b n }的前n 项和
T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，
3T n ＝1×32
＋3×33
＋…＋(2n －1)·3n ＋1
，
两式相减得
－2T n ＝3＋2×[32＋33＋…＋3n ]－(2n －1)3n ＋1
＝3＋2×32
－3n
×31－3－(2n －1)·3n ＋1
＝3
n ＋1
－6＋(1－2n )·3
n ＋1
＝(2－2n )·3
n ＋1
－6，
故T n ＝(n －1)·3n ＋1
＋3.
热点三 与数列相关的综合问题
【例3】 设f (x )＝12x 2
＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，
且首项a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2
＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.
∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2则a n ＋1－a n ＝2，
因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝
n （1＋2n －1）
2
＝n 2
，
等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3. ∴b n ＝3
n －1
.
∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n
1－3＝3n
－13－1＝3n
－1
2.
T n ≤S n 可化为3n
－12≤n 2
.
又n ∈N *
，∴n ＝1，或n ＝2
故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.
探究提高 1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.
2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.
【训练4】 (2018·北京燕博园检测)已知数列{a n }满足na n －(n ＋1)a n －1＝2n 2
＋2n (n ＝2，3，4，…)，a 1＝6. (1)求证⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n n ＋1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，求证：S n <5
12.
证明 (1)因为na n －(n ＋1)a n －1＝2n 2
＋2n ， 所以
a n n ＋1－a n －1
n
＝2，
所以数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫a n n ＋1是以a 1
2＝3为首项，2为公差的等差数列， 所以
a n
n ＋1
＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，即a n ＝(n ＋1)(2n ＋1).
(2)因为1a n ＝1（n ＋1）（2n ＋1）<1
2n （n ＋1）
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
≤16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
3＋…＋1n －1n ＋1
≤16＋14－12（n ＋1）<16＋14＝5
12
.
1.错位相减法的关注点
(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }求和.
(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式. 2.裂项求和的常见技巧 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋k .
(3)
1n 2
－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1－1n ＋1.
(4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.
3.数列与不等式综合问题
(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；
(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.
一、选择题
1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1
a n ，则数列{
b n }的前
2n 项和T 2n 为( ) A.－n
B.－2n
C.n
D.2n
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1
(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n .
答案 B
2.数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( ) A.9
B.10
C.11
D.12
解析 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1
，S n ＝2n
－1，则满
足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C
3.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
2n
＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )
A.1 026
B.1 025
C.1 024
D.1 023
解析 因为2n
＋12n ＝1＋1
2n ，
所以T n ＝n ＋1－1
2n ，
则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－12
10， 又m >T 10＋1 013，
所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C
4.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A.9
B.15
C.18
D.30
解析 ∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列. ∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.
数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2
－6n . 令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72
. ∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .
则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝
S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.
答案 C
5.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A.2
B.2n
C.2n ＋1－2
D.2n －1－2 解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2
n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋1
1－2＝2n ＋1－2. 答案 C
二、填空题
6.(2018·昆明诊断)数列{a n }满足a n ＝
n （n ＋1）2，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018等于________. 解析 a n ＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1 ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018－12 019 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－
12 019＝4 0362 019. 答案 4 0362 019
7.记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2S n ，则S 2 018＝________.
解析 由题意得4S n ＝(a n ＋1)2
，①
当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1，
当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2
，②
①－②得a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，
所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0，
又a n >0，所以a n －a n －1＝2，
则{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以a n ＝2n －1，S 2 018＝2 018（1＋2×2 018－1）2
＝2 0182. 答案 2 0182
8.(2018·贵阳质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N ＋，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________. 解析 当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0.
当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1.
当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2.
当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.
故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.
答案 4 947
三、解答题
9.(2018·济南模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2
＋(n －1)]＝4n －1.
又a 1＝3满足上式.
所以a n ＝4n －1(n ∈N *).
(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（4n －1）（4n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1－14n ＋3. 所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－14n ＋3＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14n ＋3＝n 12n ＋9
. 10.(2018·青岛二中检测)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＝12，a 1·a 4＝27.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(n ＋1)a n ，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵数列{a n }是等比数列，且a 2·a 3＝a 1·a 4＝27， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝12，a 2·a 3＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝9或⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 3＝3(舍去). ∴q ＝a 3a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 23
n －2＝3n －1. (2)由(1)知b n ＝(n ＋1)3n －1，
∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝2×30＋3×31＋4×32＋…＋(n ＋1)×3
n －1① ∴3S n ＝2×31＋3×32＋4×33＋…＋(n ＋1)×3n ②
∴由①－②得，－2S n ＝2＋31＋32＋33＋…＋3
n －1－(n ＋1)×3n ＝2＋3（1－3n －1）1－3－(n ＋1)×3n ＝12－12
(2n ＋1)·3n ， 故S n ＝（2n ＋1）·3n 4－14
. 11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上.
(1)求数列{a n }的通项公式.
(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *
都成立的实数λ的取值范围.
解 (1)因为点(n ，S n )均在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，所以S n ＝3n 2
－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 又a 1＝1也满足a n ＝6n －5，
所以a n ＝6n －5(n ∈N *).
(2)因为b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫16n －5－16n ＋1， 所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1， 所以2T n ＝6n 6n ＋1＝1－16n ＋1
<1. 又2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *都成立， 所以1≤λ－2 018，即λ≥2 019. 故实数λ的取值范围是[2 019，＋∞).。