部编人教版八年级数学下册重点强化专题四：矩形的折叠问题(含答案)

部编人教版八年级数学下册重点强化专题四（含答案）
矩形的折叠问题
【方法技巧】
抓住折叠的本质是轴对称（全等形、对称性）寻找等线段、等角，结合勾股定理构建方程解题。

重点强化一将矩形的顶点折叠到对边上
1.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F外，AB＝6，BC＝10，求EC的长。

重点强化二将矩形的顶点折叠到对角线上
2.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC上，将矩形沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，求AE的长。

重点强化三 将矩形沿对角线折叠
3. 如图，将矩形ABCD 沿BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE 。

（1）求证：BF ＝DF
（2）求证：AE ∥BD
（3）若AB ＝4，BC ＝8，求BFD S ∆
重点强化四 折叠后矩形对角顶点重合
4. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合。

（1）求证：AE ＝AF
（2）AEF S ∆求
（3）求EF 的长
重点强化五折叠矩形一边构成等腰三角形
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，MN，AB的延长线交于点Q，DM＝1，求NQ的长。

参考答案
1.
EF DE AF AD BC ＝，＝，由折叠的全等性，＝，＝解：如图
101010∴∴ 28t ＝，同时由差可求＝中，由勾股定理，可求在FC BF ABF R ∴∆ x 6,x t －＝则＝中，设在EF EC EFC R ∆
.3
8x .)x 6(2x 222=-=+∴解之得： 2.
，＝，由勾股定理可得：＝，＝解：如上图，1086AC BC AB .4＝，＝，＝：由折叠的全等性，可得FC AB AE BE EF ∴ x ),8(,x t －＝则＝中，设在FC EF EFC R ∆
222)x 8(4x -=+由勾股定理可得，
.3.3x ＝解之得：EF ∴=
222t AF EF AE AFE R +∆＝中，由勾股定理得：又在
536322＝＝+∴AE 3.
，＝顶角相等，
都为等腰三角形，且对和＝，＝＝可得：，
，又根据折叠的全等性＝）有：）由（（＝，＝，
＝中，在矩形又＝全等性，可知：）如上图，根据折叠的解：（AEF EAD FBD FAE EF
AF AD BC BE DF BF DF
BF ADB EAD CBD ADB ABCD CBD EAD ∠∠∴∆∆∴∴∴∠∠∴∠∠∠∠121
∴AE ∥BD
10452
12155x )x 8(4x EF EFD Rt x
8EF x 232
222
22＝＝＝，
＝，解之得：－＝中，由勾股定理得：在－＝，则＝，设＝）得，）由（（⨯⨯∙∴∴=-=∴+∆∆DE BF S BF FD ED DF AF EF BFD
4.
AF
AE AFE AEF CEF AFE ABGD CEF AEF ＝＝，＝，有矩形又，＝可知：）根据折叠的全等性，解：（∴∠∠∴∠∠∠∠ 1 104521215,5x )x 8(4x x 8,x 890422
22＝＝＝，
＝解之得：根据勾股定理得：＝则＝，设－＝－＝＝＝，＝，＝＝＝知：
）由折叠的全等性，可（⨯⨯∙∴∴=-+=-∴∠∠∆BA AF S AF GF AF GF GF AD AF CDF AGF DF GF AB CD AG AEF
52102
110
2525
484132222＝，＝＝）有：，又由（＝＝＝，＝又，＝）得，又由（＝易得，。

此时为矩形的对称中心，点＝可知：，由折叠的全等性，于点交）如图，连接（EF AO EF S AO AC BC AB AC EF AO AF AE OF OE O CO AO O EF AC AEF ∴∙∴∴+∴+∴⊥∴∴∆
5.
4,4x )1x (3x ,1x ,x 90312
22＝解之得：由勾股定理得：
＝则有＝设＝，＝，＝得：又由折叠的全等性，可＝＝＝可得又由矩形＝，可得：解：根据折叠的全等性NQ AQ NQ ANQ AN MN QA
QM MAQ AMQ MAQ
DMA ABCD DMA AMQ ∴=+=++∠∴∠∠∴∠∠∠∠。