解斜三角形学习课件

则△ABC 的面积等于( )
3 A. 2
3 B. 4
C. 23或 3
D.
23或
3 4
[解析] 由正弦定理sibnB＝sincC解得 sinC＝ 23，故 C＝ 60°或 120°；当 C＝60°时，A＝90°，△ABC 为 Rt△，S△ABC ＝12bc＝ 23；当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰△，S△ ABC＝12bcsinA＝ 43，故选 D。
三角形的最小内角是( B )
A.60° B.45° C.30° D.以上答案都错
由正弦定理
a sin
A
=
b sin
B
=
c ssinB，c=2RsinC,
所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2∶ 6∶( 3 +1).
因为a为最小值，所以A为最小内角.
3
解析：a2 = b2 + c2 2bc cos A
=1 3 21 3 3 =1 2
a 1
2．(2010·广东一模)在△ABC 中，三边 a、b、 c 所对的角分别为 A、B、C，若 a2＋b2－c2 ＋ 2ab＝0，则角 C 的大小为___________．
解析： cos C a2 b2 c2 2ab 2
2ac a2＋2ba2b－c2＝－2ab＋c
∴a2＋c2－b2＝－ac ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－2aacc＝－12
∴B＝23π.
(2)由 b2＝a2＋c2－2accosB 可得
b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)
∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3
S△ABC＝12ac·sinB＝3
解：
(1)由正弦定理得
sinC＝csibnB＝2sin230°＝
2 2.
∵c＞b,0°＜C＜180°，∴C＝45°或 C＝135°.
当 C＝45°时，A＝105°，a＝ 3＋1；
当 C＝135°时，A＝15°，a＝ 3－1.
(2)∵sinC＝csibnB＝69sin45°＝3 4 2＞1.
∴此题无解．
注：
在下列条件下，应用正弦定理求解: (ⅰ)已知两角和一边，求其他边和角； (ⅱ)已知两边和其中一边的对角，求另
一边的对角及其他边和角.
3.三角形的面积公式
S= 1 absinC
2
= 1 acsinB
2
= 1 bcsinA
2
已知下面条件，口答用什么定理解三角形
(大写表示角，小写表示边)
1.A、a、b
b
2
2
因为b<a,所以B<A,所以A=60°或120°.
(1)当A=60°时，C=75°，
所以c= 2 sin 75 = 6 2 .
sin 45
2
(2)当A=120°时，C=15°，
所以c= 2 sin15 = 6 2 .
sin 45
2
1．(2010·广东，13)已知a，b，c分别是 △ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a ＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝
____________.
[解析] 在△ABC 中，A＋B＋C＝180°，
又∵A＋C＝2B，∴3B＝180°即 B＝60°.
由正弦定理sianA＝sibnB，所以 sinA＝asbinB＝1×323＝21.
故填21.
[答案]
1 2
2．(2011·惠州二模)△ABC 中，c＝ 3，b＝1，∠B＝30°，
(3)由正弦定理得 sinC＝csibnB＝8sin430°＝1. 又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°. ∴A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝ c2－b2＝4 3.
[点评与警示] 利用正弦定理解三角形，可利用“大边对 大角”对解出来的边或角进行取舍．
练1.在△ABC中，已知BC=12， A=60°，B=45°，则AC=( )D
2
2
∵ 0＜B＜π，
∴ 角B的值π为或 2π.
3
3
在△ABC 中，a、b、c 分别 是角 A、B、C 的对边，且ccoossBC＝－2ab＋c.
(1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13.a＋c＝4，求△ABC 的 面积．
[解] (1)用余弦定理代入 ccoossCB＝－2ab＋c得 a2＋c2－b2
A.3 3 B.3 6 C.4 3 D.4 6 由正弦定理得 BC = AC ,
sin A sin B
所以AC=
BC sin B = 12
2
2 =4
sin A
3
6.
2
练2 在△ABC中，已知a= 3,b= 2, B=45°,求角A、C及边c.
由正弦定理，得
sinA= a sin B = 3 sin 45 = 3 ,
又S△ABC= 3
1 absinC=
2
3
ab=4,
a2+b2-ab=4 由 ab=4，
解得 a=2
b=2
(2)由题意得，sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
所以sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA
=4sinAcosA，
所以sinBcosA=2sinAcosA.
练1在△ABC中，若a、b、c成等比数
列，且c=2a，则cosB=(
A. 2 B. 2 C. 1
4
3
4
)D
D. 3 4
因为a、b、c成等比数列，所以
b2=ac.又c=2a,所以b2=2a2,
所以cosB=
a2
c2
b2 = a2
4a2
2a
2
=
3.
2ac
4a2
4
2在△ABC中,sinA:sinB:sinC=2: :6( 3+1),则
解 斜 三 角 形（一）
-----正弦定理
1.正弦定理及变式
a = b = c =2R; sin A sin B sin C
变式
（1）a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2)sinA= a ,sinB= b ,sinC= c ;
2R
2R
2R
(3)sinA∶sinB∶sinC∶=a∶b∶c.
2
所以A=90°，这与△ABC为钝角三角形矛盾.
当b2+bc+c2-a2=0时，b2+c2-a2=-bc,
所以cosA= b2 c2 a2 = - 1 ,
2bc
2
所以A=120°，
又sinC= 2 且C为锐角，所以C=45°，
2
所以B=180°-A-C=15°，
综上可知,A=120°,B=15°,C=45°.
AD= AB2 BD2 2AB BDcos60
= 12 22 21 2cos60 = 3
SACD
1 2
SABC
11 22
AB
BC sin B
3 2
例3 钝角△ABC的三内角A、B、 C所对的边分别为a、b、c，sinC= 2 ,
2
(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角A、B、 C.
2ab
2ab
2
且0 C C 3
4
3．(2008·福建)在△ABC中，
角 A、B、C的对边分别为a、b、c， 若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，求角B?
[解析] ∵ (a2＋c2－b2 )tanB＝ 3ac，
∴ a2＋c2－b2 tanB＝ 3，即cosB tanB＝sinB＝ 3 .
2ac
变式练习 (2007·江苏卷)在△ABC
中c，，已内知角c=A2、,CB=、C. 对边长分别为a、b、
3
(1)若△ABC的面积等于 3,求a、b; (2) 若 sinC+sin(B-A)=2sin2A ， 求 △ABC的面积.
(1)由余弦定理及已知条件得，
c2=a2+b2-2abcosC,
所以a2+b2-ab=4,
由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C, 得(c-b)a2+b3=c3, 所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0, 即 (c-b)(b2+bc+c2-a2)=0, 所以b=c或b2+bc+c2-a2=0,
当b=c时，有B=C，所以C为锐角， 又sinC= 2 ,所以B=C=45°,
当cosA=0时，A= ，B= ，a= 4 3 ,b= 2 3 ;
2
6
3
3
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a.
a2+b2-ab=4 由 b=2a，
得
a=
23 3
b= 4 3
，
3
所以S△ABC=
1absinC= 2 3.
2
3
2ab
2、在下列条件下，应运用余弦定 理求解:
(ⅰ)已知三边，求三个角；
(ⅱ)已知两边和它们的夹角，求第 三边和其他两个角；
3、几个常用结论
在△ABC中，C为最大角，则 ①C为锐角⇔ a2＋b2＞c2 ；
②C为直角⇔ a2＋b2＝c2 ； ③C为钝角⇔ a2＋b2＜c2 .
简单练习
1．在ABC中，b 1,c 3?, A ,则a
4
3 .
[点评与警示] 利用整体思想，
不必分别求出a，c.
在△ABC中，已知a－b＝4，a ＋c＝2b，且最大角为120°， 求三角三边长．
[解] ∵a－b＝4 ∴a＝b＋4
∴a＋c＝2a－8 即
a＝c＋8 ∴a＞b＞c 故 A＝120°
由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ∴－12＝a－24a2－＋4a－a－882－ a2 即 a2－18a＋56＝0 ∴a＝4 或 a＝14 当 a＝4 时 b＝0 不满足题意． ∴a＝14，b＝10，c＝6.
[答案] D
解斜三角形
----余弦定理
1.余弦定理及变式
(1)a2= b2+c2-2bccosA ; b2= a2+c2-2accosB ;
c2= a2+b2-2abcosC . (2)cosA= b2 c2 a2 ;
2bc
cosB= a2 c2 b;2
2ac
cosC=a2 b2 c2 .
因为cosA= ( 6)2 ( 3 1)2 22 = 2 ,
2 6 ( 3 1)
2
且A∈(0°,60°)，所以A=45°，故选B..
3已知△ABC的三个内角A、B、C成
等 差 数 列 ， 且 AB=1,BC=4 ， 则 边
BC上的中线AD的长为
，
S△ACD=
.
由已知，B=60°，AB=1，BD=2. 由余弦定理知
正弦定理
2.A 、b 、c
余弦定理
3.A 、B 、b
正弦定理
4.A 、 B、c
正弦定理
5. a、b 、c
余弦定理
根据下列条件，解△ABC：
(1)已知b＝6，c＝9，B＝45°，求C、a、A ；
(2)已知B＝30°，b＝ 2，c＝2，求A、C、a；
(3) 已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C、A、a.