学习立体几何的几点体会

A 忆BC。
点评：立体几何中证明线与面垂直、
面与面垂直，除了考察基本公理、基本定
理的知识外，更重要的是考察学生分析问
题、解决问题的能力。
四、构建系统完整的知识网络
了解每一个知识点的内在联系，拓宽
知识面的纵深联系，积沙成塔，让学生对
知识的掌握从量变到质变，实现质的飞
跃，学生在解决问题时游刃有余。如在求
间的“定性”研究转化为代数的“定量”分
析，从而使求解目标程序化、算法化，简单
化，有利于学生克服空间想象力弱的短
板，降低立体几何的难度，增强学生学好
立体几何的自信心。
有位数学家曾经说过，数学是用最小
的空间集中了最大的理想，是锻炼学生思
维非常好的一门学科，让学生养成良好的
数学学习习惯，多动脑、多动手、多动笔，
∵BC奂 平 面 A BC，∴ 平 面 A 忆EC 彝 平面
A 忆BC。
（2）由（1）可知，BC彝平面 A 忆EC，而
EP奂平面 A 忆EC，∴BC彝EP。又 ∵A E=A 忆
E，A E=EC，∴A 忆E=EC，而 P 是 A 忆C 的中
点，∴EP彝A 忆C，而 A 忆C疑BC=C，∴EP彝
平面 A 忆BC。又 ∵A A 忆∥EP，∴A A 忆彝平面
面 A 忆EC，根据直线与平面垂直的推论，所
以 BC 垂直平面 A忆EC，而 BC 又在平面 A忆BC
内，所以平面 A 忆EC 垂直于平面 A 忆BC。
（2） 第二问考查直线与平面垂直，因
为 E、P 分别为 A C，A 忆C 的中点，所以 A A 忆
平行于 EP，要证 A A 忆垂直于平面 A 忆BC，
A忆 P
A
E
C
F B
求证：（1）平面 A 忆EC⊥平面 A 忆BC；
（2）A A 忆⊥平面 A 忆BC。
分析：（1）第一问考查平面与平面垂
直，方法有两种：（一）定义法；（二）平面与
平面垂直的判定定理，第二种方法常用。
利用平面与平面垂直的判定定理证明时，
要在一个平面内找到另一个平面的垂线，
需分析两个平面内的特殊线的关系，在平
只需证 EP 垂直于平面 A 忆BC，由（1）可知
BC 垂直于平面 A 忆EC，所以 BC 垂直于
EP，而由已知条件可得 A E=A 忆E，A E=EC，
所以 A 忆E=EC，而 P 为 A 忆C 的中点，所以
EP 垂直于 A 忆C，直线 BC 与 A 忆C 相交于点
C，根据直线与平面垂直的判定定理，可得
A DF？
z CD
F C1 y
A BM
B1
x
A1
分析：本题是探究题，从已知条件出
发，会有一定的难度，不妨换个角度，考虑
到平面与平面垂直，建立空间直角坐标
系，利用向量知识来求解。
解 ：∵A B=A C 且 D 是 BC 的 中 点 ， ∴A D⊥BC，又 ∵A BC-A 1B1C1 是直三棱 柱，∴BB1⊥平面 A BC，∴BB1⊥A D，BB1⊥ BC，过 D 做 BB1 的平行线，以 D 为原点建 立空间直角坐标系，设 A D=a，BM=m，设
在不断的数学学习中体会满足感和成就
感，从而达到教学“愤悱”状态，充分调动
每个学生的内驱力，不拘一格地敲开学生
智慧的大门。
2021·4
EP 垂直于平面 A 忆BC，所以 A A 忆垂直于平
面 A 忆BC。解题过程如下：
证明：（1）∵E、F 分别为 A C、A B 的中
点，∴EF∥BC，∵BC彝A C，∴EF彝A C。由
题 意 可 知 ，EF彝A 忆 E， 而 A 忆 E 疑A C=E，
∴EF彝平面 A 忆EC，∴BC彝平面 A 忆EC。又
×3 ×3=3。 又 ∵QQ忆 =
2021·4
24 课堂教学 KETANGJIAOXUE
1 3
DC=
1 3
×3=1，∴V = Q-ABP
1 3
×S △ABP×
QQ忆=
1 3
×3×1=1。
点评：本题属于折叠问题，初中是对
平面图形进行折叠，求角及边的大小，主
要培养初中生的平面推理能力及计算能
力，而高中阶段，是对图形进行空间折叠，
，∴QQ忆=1。
在△A
BC
中，
PP忆 AC
=
BP BC
，即
PP忆 3
=
2 3
，∴PP忆
=2。
∵S
= △ABP
1 2
×A B ×PP忆
=
1 2
×3
×2=3，∴V
= Q-ABP
1 3
×S △ABP×QQ忆
=
1 3
×3×1=1。
方法
2：∵BP=
2 3
BC，∴S = △ABP
2 3
S = △ABC
2 3
×
1 2
证明：（1）∵A BCM 是平行四边形，且 ∠A CM=90毅，∴∠BA C=90毅，即 A B⊥A C。 又 ∵A B⊥DA ，且 A C∩DA =A ，∴A B⊥平 面 A CD。 又 ∵A B 奂A BC 中 ，∴ 平 面 A CD⊥平面 A BC。
解：（2）方法 1： 过 P 作 PP忆∥A C 交 A B 于点 P忆，过 Q 作 QQ忆∥DC 交 A C 于点 Q忆，
考察学生的空间想象力和逻辑推理能力
及计算能力，在教学中，组织学生动手折
叠图形，引导学生独立思考折叠前后图形
中的不变量有哪些，实现从平面几何到立
体几何思维的蜕变。
三、严格把关训练的规范性
解题的规范性体现在平时的严格训
练中，解题规范可以帮助学生理清思路，
不仅巩固已学的知识，而且及时发现学习
中的“漏洞”，及时修补，做到“会而对，对
明朗。最后通过探究让学生把平面图形折 成立体图形并观察两直线的位置关系，不 仅培养了学生的空间想象能力，而且对异 面直线有了本质的认识，再引导学生正确 归纳和总结所学知识，提高学生的思维递 进性，从而提升了整体的学习效果。
二、教学时，注意初高中知识的衔接 与融合
高中数学将对初中数学知识加以推 广和延伸，进一步完善初中数学知识，高 中增加了对数学概念、原理的定性研究等 许多内容，对学生在短时间内理解消化知 识的能力要求更高，因而教师必须充分认 识到初高中数学的教学差异，遵循学生的 认知规律，站在学生的立场设计好两个教 学阶段内容的衔接与融合，实现定量到定 性，形象到抽象学习目标的平稳过渡。例 如从初中的平面折叠问题到高中的空间 折叠问题。
KETANGJIAOXUE 课堂教学 23
学习立体几何的几点体会
山东临沂第二中学 庄乾玲
随着新课程改革的不断深入，对不同 年龄段的学生的综合能力要求的差异越 来越明显，初中属于义务制教育阶段，教 学难度较低，偏重于常量的研究与定量计 算，主要培养学生的形象思维及初步的抽 象思维，而在高中阶段，知识量大，问题的 理论性、抽象性强，对应用能力的考查有 较高的要求，面对陡然上了一个台阶的高 中，学生学习时，容易走初中的模仿学习 路线，由于思维的深刻性训练不到位，时 常出现“一听就懂，一看就会，一做就错” 的现象。尤其是学习立体几何时，从初中 学习二维平面几何到高中的三维空间立 体几何，学生一下子很难适应这种转变， 在单位时间内难以消化所学知识，常处于 比较迷茫的状态。知识的沉淀有利于学生 思考问题时进行深层次思维，在解决问题 时能做到融会贯通、举一反三。
z 忆 =2
得n2 =（0，-1，2）。要使平面 CA M彝平面
A
DF，需要n1
彝n2
，即n1·n2
=0，∴-
4 m
+4=0，得 m=1，
即 BM=1 时，平面 CA M彝平面 A DF。
点评：向量在数学中扮演了一个重要
的角色，是沟通数与形内在联系的有力工
具，通过建立空间直角坐标系，利用向量
知识，把几何问题转化为代数问题，从空
而全”的标准化程度，如在证明线与线、线
与面、面与面的垂直关系中，除了考查基
础知识外，还考查学生的分析问题、解决
问题的能力以及书面表达能力。
例 2 如图，E、F 分别为直角三角形
A BC 的直角边 A C 和斜边 A B 的中点，沿
EF 将△A EF 折起到△A 忆EF 的位置，连接
A 忆B，A 忆C，P 为 A 忆C 的中点。
=（
2 a
，m4
，2）。
同 理 设 平 面 A DF 的 法 向 量 为 n2=
（x忆，y忆，z忆），
∵D（0，0，0），F（0，2，1），∴A D =（-a，
0，0），DF =（0，2，1）。 ∵ n2 彝 A D ，n2 彝
嗓 嗓 DF ，∴
n2·A D =0，即 n2·DF =0，
-ax忆=0， 令 2y忆+z忆=0，
面 A 忆BC 内 BC 特殊，因为 BC 与 A C 垂
直，而 BC 又与 EF 平行，所以 EF 与 A C垂
直 ，而 与 EF 有 关 的 △A EF 又 折 为
△A 忆EF，E，于是 EF 与平面 A 忆EC 内的两条相交
直线 A 忆E、A C 都垂直，所以 EF 垂直于平
BP=DQ=
2 3
DA ，求三棱锥
Q－A BP 的体积。
分析：（1） 因为 A BCM 是平行四边
形，且∠A CM=90毅，根据平面几何知识可
得∠BA C=90毅，即 A B 垂直于 A C。又因为
A B 垂直于 DA ，且 A C 交 DA 于点 A ，所以
A B 垂直于平面 A CD，而 A B 在平面 A BC
平 面 CA M 的法 向 量为 n1 =（x，y，z），∵C
(0，0，1)，A (a，0，0)，M (0，m，-1)，∴CA =
（a，0，-1），CM =（0，m，-2）。∵n1 彝CA ，
嗓 嗓 n1 彝CM ，∴
n1·CA =0，即 n1·CM =0，
amxy--z2=z0=，0，令
z=2
得n1
下面结合学生的学习情况，谈一下我 的几点感触。
一、注重扎实学习基础，投入一定的 精力，寓“乐”于学
在预习时，遵循“读”“划”“写”“查”的 原则，主动学习不仅有利于巩固所学知 识，而且对新问题会疑，再而思，进而探， 在思维的不断纵深发展中，学生不仅学会 了新知识，而且获得了学习成功的乐趣， 从而欣赏数学，热爱数学。在教学中，多角 度，多层次地呈现知识的“冲突点”，做到 教学相长，如在学习空间中直线与直线的 位置关系时，初中时学习过在同一平面内 的两条直线有平行和相交两种位置关系， 那在空间中呢？这时学生思维会出现“空 白”现象，不知如何思考？这时若以生活中 的实例为载体，如灯管所在直线与黑板左 右两侧所在直线，通过观察，它们既不平 行，也不相交，学生理解起来非常容易，再 次让学生以两支钢笔演示空间中的两直 线位置关系，学生会一边演示，一边思考， 对空间的两直线的位置关系的理解会有 更深刻的体会，对新旧知识的冲突会更加
例 1 如图，平行四边形 A BCM 中， A B=A C=3，∠A CM=90毅，以 A C 为折痕将 △A CM 折起，使点 M 到达点 D 的位置， 且 A B⊥DA 。
D
M
C QP
A
B
求证：（1）平面 A CD⊥平面 A BC；
（2）Q 为线 段 A D 上一 点 ，P 为 线 段
BC
上一点，且
空间角的大小及探求面与面的有关问题
时，利用向量求解，可把一个几何问题转
化为一个代数问题，往往收到事半功倍的
效果。
例 3 如图，直三棱柱 A BC-A 1B1C1 中 ，D 是 棱 BC 的 中 点 ，M、F 分 别 在 棱
BB1，CC1 上，已知 A B=A C，A A 1=3，BC=CF =2，当 BM 为何值时，平面 CA M⊥平面
D
M
C QP
Q忆
A P忆 B
由 （1） 知，A B⊥平面 A CD，∴A B⊥
DC， 又 ∵DC ⊥A C， 且 A B ∩A C=A ，
∴DC⊥平面 A BC，∵QQ忆//DC，∴QQ忆⊥平
面 A BC，即 QQ忆⊥平面 A BP。在△A CD
中，QQ忆 = A Q DC A D
，即
QQ忆 3
=
1 3
中，所以平面 A CD 垂直于平面 A BC。
（2）求三棱锥 Q－A BP 的体积，关键
在于选择适宜的底，以便明确从顶点到底 面的高，由第一问可知，A B 垂直于平面 A CD，所以 A B 垂直于 DC。又因为 DC 垂 直于 A C，且 A B 交 A C 于点 A ，所以 DC 垂直于平面 A BC，再过 Q 作 QQ忆平行于 DC，从而得出 QQ忆垂直于平面 A BC，即 QQ忆垂直于平面 A BP，于是确定出底面 A BP 的高，通过解三角形，求出三角形 A BP 的面积和高 QQ忆的大小，从而求出三 棱锥 Q－A BP 的体积。