2021年浙江省温州市中考数学试卷及答案解析

2021年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．（4分）（2021•温州）计算2(2)-的结果是( )
A ．4
B ．4-
C ．1
D ．1-
2．（4分）（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为( )
A ．621810⨯
B ．721.810⨯
C ．82.1810⨯
D ．90.21810⨯
4．（4分）（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有( )
A ．45人
B ．75人
C ．120人
D ．300人
5．（4分）（2021•温州）解方程2(21)x x -+=，以下去括号正确的是( )
A ．41x x -+=-
B ．42x x -+=-
C ．41x x --=
D ．42x x --=
6．（4分）（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若6AB =，则A B ''的长为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．15
7．（4分）（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米( 1.2)a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( )
A ．20a 元
B ．(2024)a +元
C ．(17 3.6)a +元
D ．(20 3.6)a +元
8．（4分）（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会()ICME 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则2OC 的值为( )
A ．211sin α+
B ．2sin 1α+
C ．211cos α+
D ．2cos 1α+
9．（4分）（2021•温州）如图，点A ，B 在反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23
OC OD =，AC AE =，则k 的值为( )
A ．2
B ．322
C ．94
D ．22
10．（4分）（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH 的值为( )
A ．32
B 2
C 310
D 35 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2021•温州）分解因式：2218m -= ．
12．（5分）（2021•温州）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．
13．（5分）（2021•温州）若扇形的圆心角为30︒，半径为17，则扇形的弧长为 ．
14．（5分）（2021•温州）不等式组343215
x x -<⎧⎪+⎨⎪⎩的解集为 ． 15．（5分）（2021•温州）如图，O 与OAB ∆的边AB 相切，切点为B ．将OAB ∆绕点B 按顺时针方向旋转得到△O A B ''，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A ∠'=︒，则OCB ∠= 度．
16．（5分）（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2)，则图1中所标注的d 的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（2021•温州）（1）计算：04(3)|8|9(7)⨯-+--+．
（2）化简：21(5)(28)2
a a a -++． 18．（8分）（2021•温州）如图，BE 是ABC ∆的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．
（1）求证：//DE BC ；
（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．
19．（8分）（2021•温州）某校将学生体质健康测试成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
20．（8分）（2021•温州）如图中44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的5倍，画在图3中．
21．（10分）（2021•温州）已知抛物线228(0)y ax ax a =--≠经过点(2,0)-．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l 交抛物线于点(4,)A m -，(,7)B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．
22．（10分）（2021•温州）如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）当5AB =，3tan 4
ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．
23．（12分）（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份每千克含铁42毫克
配料表原料每千克含铁
甲食材50毫克
乙食材10毫克
规格每包食材含量每包单价
A包装1千克45元
B包装0.25千克12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
24．（14分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，M经过原点O，分别交x轴、y 轴于点(2,0)
A，(0,8)
B，连结AB．直线CM分别交M于点D，E（点D在左侧），交x 轴于点(17,0)
C，连结AE．
（1）求M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当AEP
∠与OBD
∆的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
2021年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．（4分）（2021•温州）计算2(2)-的结果是( )
A ．4
B ．4-
C ．1
D ．1-
【分析】2(2)-表示2个(2)-相乘，根据幂的意义计算即可．
【解答】解：2(2)(2)(2)4-=-⨯-=，
故选：A ．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握幂的意义是解题的关键．
2．（4分）（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项C 中的图形符合题意，
故选：C ．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．（4分）（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为( )
A ．621810⨯
B ．721.810⨯
C ．82.1810⨯
D ．90.21810⨯
【分析】科学记数法的表示形式为10n
a<，n为整数．确定n的值
a⨯的形式，其中1||10
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1
<时，n是负数．
【解答】解：将218000000用科学记数法表示为8
⨯．
2.1810
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n
a⨯的形式，其中a<，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
1||10
4．（4分）（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有()
A．45人B．75人C．120人D．300人
【分析】利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解．
【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有6020%300
÷=（人)，
初中生有30040%120
⨯=（人)，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图．关键是利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，解题时要细心．
5．（4分）（2021•温州）解方程2(21)
-+=，以下去括号正确的是()
x x
A．41
--=D．42
--=
x x
x x
x x
-+=-C．41
-+=-B．42
x x
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解答】解：根据乘法分配律得：(42)
-+=，
x x
去括号得：42
x x
--=，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．
6．（4分）（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若6AB =，则A B ''的长为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．15
【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2:3，6AB =， ∴23AB A B =''，即623
A B =''， 解得，9A B ''=，
故选：B ．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．
7．（4分）（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米( 1.2)a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( )
A ．20a 元
B ．(2024)a +元
C ．(17 3.6)a +元
D ．(20 3.6)a +元
【分析】应缴水费17=立方米的水费(2017)+-立方米的水费．
【解答】解：根据题意知：17(2017)( 1.2)(20 3.6)a a a +-+=+（元)．
故选：D ．
【点评】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．
8．（4分）（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会()ICME 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则2OC 的值为( )
A ．211sin α+
B ．2sin 1α+
C ．211cos α+
D ．2cos 1α+
【分析】在Rt OAB ∆中，sin AB OB
α=,可得OB 的长度，在Rt OBC ∆中，根据勾股定理222OB BC OC +=,代入即可得出答案．
【解答】解：1AB BC ==,
在Rt OAB ∆中，sin AB OB α=
, 1sin OB α
∴=, 在Rt OBC ∆中，
222OB BC OC +=,
222211()11sin OC sin αα
∴=+=+． 故选：A ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
9．（4分）（2021•温州）如图，点A ，B 在反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23
OC OD =，AC AE =，则k 的值为( )
A ．2
B 32
C ．94
D ．22
【分析】根据题意求得(,1)B k ，进而求得2(3A k ，3)2，然后根据勾股定理得到222321()()()232
k ∴=+，解方程即可求得k 的值． 【解答】解：BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，
∴四边形BDOE 是矩形，
1BD OE ∴==，
把1y =代入k y x
=
，求得x k =， (,1)B k ∴，
OD k ∴=，
23
OC OD =， 23OC k ∴=， AC x ⊥轴于点C ，
把23
x k =代入k y x =得，32y =， 32
AE AC ∴==， 23OC EF k ==，31122
AF =-=， 在Rt AEF ∆中，222AE EF AF =+，
222321()()()232
k ∴=+，解得322k =±， 在第一象限，
322
k ∴=， 故选：B ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用
等，表示出线段的长度是解题的关键．
10．（4分）（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH 的值为( )
A ．32
B ．2
C ．3107
D ．355
【分析】如图，过点G 作GT CF ⊥交CF 的延长线于T ,设BH 交CF 于M ,AE 交DF 于
N ．
设BE AN CH DF a ====,则2AE BM CF DN a ====,想办法求出BH ,CG ,可得结论． 【解答】解：如图，过点G 作GT CF ⊥交CF 的延长线于T ,设BH 交CF 于M ,AE 交DF 于N ．设BE AN CH DF a ====,则2AE BM CF DN a ====,
EN EM MF FN a ∴====,
四边形ENFM 是正方形，
45EFH TFG ∴∠=∠=︒,45NFE DFG ∠=∠=︒,
GT TF ⊥,DF DG ⊥,
45TGF TFG DFG DGF ∴∠=∠=∠=∠=︒,
TG FT DF DG a ∴====,
3CT a ∴=,22(3)10CG a a a +,
//MH TG ,
CMH CTG ∴∆∆∽,
::3CM CT MH TG ∴==,
13
MH a ∴=, 17233
BH a a a ∴=+=,
∴3
CG BH a == 故选：C ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2021•温州）分解因式：2218m -= 2(3)(3)m m +- ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式22(9)m =-
2(3)(3)m m =+-．
故答案为：2(3)(3)m m +-．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
12．（5分）（2021•温州）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为
521 ． 【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个，
∴从中任意摸出1个球是红球的概率为521
， 故答案为：521
． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（5分）（2021•温州）若扇形的圆心角为30︒，半径为17，则扇形的弧长为
176
π ． 【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
3017171801806n r l πππ⋅⋅===． 故答案为：
176π． 【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键．
14．（5分）（2021•温州）不等式组343215
x x -<⎧⎪+⎨⎪⎩的解集为 17x < ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式34x -<，得：7x <，
解不等式3215
x +，得：1x ， 则不等式组的解集为17x <，
故答案为：17x <．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（5分）（2021•温州）如图，O 与OAB ∆的边AB 相切，切点为B ．将OAB ∆绕点B 按顺时针方向旋转得到△O A B ''，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A ∠'=︒，则OCB ∠= 85 度．
【分析】根据切线的性质得到90OBA ∠=︒，连接OO '，如图，再根据旋转的性质得25A A ∠=∠'=︒，ABA OBO ∠'=∠'，BO BO ='，则判断△OO B '为等边三角形得到60OBO ∠'=︒，所以60ABA ∠'=︒，然后利用三角形外角性质计算OCB ∠．
【解答】解：
O 与OAB ∆的边AB 相切，
OB AB ∴⊥，
90OBA ∴∠=︒， 连接OO '，如图，
OAB ∆绕点B 按顺时针方向旋转得到△O A B ''，
25A A ∴∠=∠'=︒，ABA OBO ∠'=∠'，BO BO ='，
OB OO ='，
∴△OO B '为等边三角形，
60OBO ∴∠'=︒，
60ABA ∴∠'=︒，
256085OCB A ABC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故答案为85．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．
16．（5分）（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2)，则图1中所标注的d 的值为 623- ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．
【分析】如图，连接FW ,由题意可知点A ',O ,C '在线段FW 上,连接OB ',B C '',过点O 作
OH B C ⊥''于H ．证明30EGF ∠=︒,解直角三角形求出JK ,OH ,B H ',再求出2OB ',可得结论．
【解答】解：如图，连接FH ,由题意可知点A ',O ,C '在线段FW 上,连接OB ',B C '',过点O 作OH B C ⊥''于H ．
大正方形的面积12=，
FG GW ∴==,
2EF WK ==,
∴在Rt EFG ∆中，tan
EF EGF FG ∠===, 30EGF ∴∠=︒,
//JK FG ,
30KJG EGF ∴∠=∠=︒,
2)6d JK ∴===-
1
2
OF OW FW ==C W '
OC ∴'=
//B C QW '',2B C ''=,
45OC H FWQ ∴∠'=∠=︒,
1OH HC ∴='=,
21)3HB ∴'=-=-
222221)(316OB OH B H ∴'=+'=+-=-
OA OC OB '='<',
∴当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16π-．
故答案为：6-(16π-．
【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，圆等知识，解题的关键是读懂图象信息，推出30EGF ∠=︒,学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（2021•温州）（1）计算：04(3)|8|⨯-+-．
（2）化简：21(5)(28)2
a a a -++． 【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
【解答】解：(1)原式12831=-+-+
6=-；
(2)原式2210254a a a a =-+++
22625a a =-+．
【点评】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，在计算的过程中需要注意完全平方公式的运用，是一道基础题．
18．（8分）（2021•温州）如图，BE 是ABC ∆的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．
（1）求证：//DE BC ；
（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得DBE EBC ∠=∠，从而求出DEB EBC ∠=∠，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中//DE BC 可得到45C AED ∠=∠=︒,再根据三角形的内角和等于180︒求出ABC ∠，最后用角平分线求出DBE EBC ∠=∠，即可得解．
【解答】解：（1）BE 是ABC ∆的角平分线，
DBE EBC ∴∠=∠，
DB DE =,
DEB DBE ∠=∠，
DEB EBC ∴∠=∠，
//DE BC ∴；
（2）//DE BC ，
45C AED ∴∠=∠=︒，
在ABC ∆中，180A ABC C ∠+∠+∠=︒，
180180654570ABC A C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． BE 是ABC ∆的角平分线，
1352
DBE EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
19．（8分）（2021•温州）某校将学生体质健康测试成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可． 【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，但没有考虑年级学段的差异，小明的方案考虑到了年级特点，但没有考虑到性别的差异，他们抽样调查不具有广泛性和代表性；
（2）平均数为430345230115 2.7530453015
⨯+⨯+⨯+⨯=+++（分)， 抽查的120人中，成绩是3分出现的次数最多，共出现45次，因此众数是3分，
将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是3分， 答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分，众数是3分．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20．（8分）（2021•温州）如图中44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1
是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的5倍，画在图3中．
【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形；
（2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的5倍，即可得出所求图形．
【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；
（2）如图3所示，即为所求．
【点评】此题主要考查了平移变换以及图形的相似，正确将三角形各边扩大是解题关键．
21．（10分）（2021•温州）已知抛物线228(0)y ax ax a =--≠经过点(2,0)-．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l 交抛物线于点(4,)A m -，(,7)B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点(2,0)-代入求解．
（2）分别求出点A ，B 坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）把(2,0)-代入228y ax ax =--得0448a a =+-，
解得1a =，
∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，
2228(1)9y x x x =--=--，
∴抛物线顶点坐标为(1,9)-．
（2）把4x =-代入228y x x =--得2(4)2(4)816y =--⨯--=，
16m ∴=，
把7y =代入函数解析式得2728x x =--，
解得5n =或3n =-， n 为正数，
5n ∴=，
∴点A 坐标为(4,16)-，点B 坐标为(5,7)．
抛物线开口向上，顶点坐标为(1,9)-，
∴抛物线顶点在AB 下方，
45P x ∴-<<，916P y -<．
【点评】本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式．
22．（10分）（2021•温州）如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）当5AB =，3tan 4
ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．
【分析】（1）证//AE CF ，再证()ABE CDF AAS ∆≅∆，得AE CF =，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出3AE =，4BE =，再证ECF CBE ∠=∠，则tan tan CBE ECF ∠=∠，得CF EF BF CF
=
，求出2EF =，进而得出答案． 【解答】（1）证明：90AEB CFD ∠=∠=︒，
AE BD ∴⊥，CF BD ⊥，
//AE CF ∴，
四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD ∴=，//AB CD ，
ABE CDF ∴∠=∠，
在ABE ∆和CDF ∆中，
AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，
AE CF ∴=，
∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）解：在Rt ABE ∆中，3tan 4AE ABE BE
∠=
=， 设3AE a =，则4BE a =，
由勾股定理得：222(3)(4)5a a +=，
解得：1a =或1a =-（舍去），
3AE ∴=，4BE =， 由（1）得：四边形AECF 是平行四边形，
EAF ECF ∴∠=∠，3CF AE ==，
CBE EAF ∠=∠，
ECF CBE ∴∠=∠，
tan tan CBE ECF ∴∠=∠， ∴CF EF BF CF
=， 2CF EF BF ∴=⨯，
设EF x =，则4BF x =+，
23(4)x x ∴=+，
解得：2x =或2x =-,（舍去），
即2EF =，
由（1）得：ABE CDF ∆≅∆，
4BE DF ∴==，
4246BD BE EF DF ∴=++=+=
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（12分）（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B 的数量，则A 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；
（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
②设A为m包，则B为500
0.25
m
-
包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；
设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得8020
1 2a a
-=，
解得20
a=，
经检验，20
a=是所列方程的根，且符合题意，
240
a
∴=（元)，
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得
402018000
501042()
x y
x y x y
+=
⎧
⎨
+=+
⎩
，解得
400
100
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为500
(20004)
0.25
m
m
-
=-包，
A的数量不低于B的数量，
20004
m m
∴-，
400
m
∴，
设总利润为W元，根据题意得：
4512(20004)18000200034000
W m m m
=+---=-+，
30
k=-<，
W
∴随m的增大而减小，
∴当400
m=时，W的最大值为2800，
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
24．（14分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，M经过原点O，分别交x轴、y 轴于点(2,0)
A，(0,8)
B，连结AB．直线CM分别交M于点D，E（点D在左侧），交x
轴于点(17,0)C ，连结AE ．
（1）求M 的半径和直线CM 的函数表达式；
（2）求点D ，E 的坐标；
（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当AEP ∠与OBD ∆的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．
【分析】（1）点M 是AB 的中点，则点(1,4)M ，则圆的半径22(21)417AM =-+，再用待定系数法即可求解；
（2）由17AM =得：222117(1)(4)(17)44
x x -+-+-=，即可求解； （3）①当45AEP DBO ∠=∠=︒时，则AEP ∆为等腰直角三角形，即可求解；②AEP BDO ∠=∠时，则EAP DBO ∆∆∽，进而求解；③AEP BOD ∠=∠时，同理可解．
【解答】解：（1）点M 是AB 的中点，则点(1,4)M ， 则圆的半径为22(21)417AM -+=，
设直线CM 的表达式为y kx b =+，则1704k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得14174
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故直线CM 的表达式为11744
y x =-+；
（2）设点D 的坐标为117(,)44
x x -+， 由17AM =得：222117(1)(4)(17)44
x x -+-+-=， 解得5x =或3-，
故点D 、E 的坐标分别为(3,5)-、(5,3)；
（3）过点D 作DH OB ⊥于点H ，则3DH =，853BH DH =-==，
故45DBO ∠=︒，
由点A 、E 的坐标，同理可得45EAP ∠=︒；
由点A 、E 、B 、D 的坐标得，22(52)(03)32AE -+-= 同理可得：32BD =8OB =，
①当45AEP DBO ∠=∠=︒时，
则AEP ∆为等腰直角三角形，EP AC ⊥，
故点P 的坐标为(5,0)，
故5OP =；
②AEP BDO ∠=∠时，
EAP DBO ∠=∠，
EAP DBO ∴∆∆∽， ∴AE AP BD BO =32832AP AP BO
==，解得8AP =， 故10PO =；
③AEP BOD ∠=∠时，
EAP DBO ∠=∠，
EAP OBD ∴∆∆∽， ∴
AE AP OB BD =3232
=94AP =， 则917244PO =+=， 综上，OP 为5或10或174
． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质、一次函数的性质、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。