七年级数学正负数讲义、概念讲解、难点分析、典型例题人教版

正数、负数与有理数
【基础知识精讲】
一、正数与负数
１．负数的产生
生产和生活以及数学本身的需要-------在实际生活中表示相反意义的量
已经学过自然数、分数、小数.但在实际生活中，这些数是不够用的。

例如：某地白天最高温度为６℃, 由于强冷空气经过，温度急剧下降了９℃，那么这时温度是多少呢？这一实际问题，可以用减法来解，即求出６－９的差，为了解决许多实际问题中出现的“不够减”的矛盾，在数学上引进了一种新数，即负数，如规定：６－９＝－３．
这里的“-3”是一个比零还小的数，数字3前面的“-”号读为“负”.回到实际问题中，-3℃就是我们熟悉的零下3℃，这样，引入了负数，就可以解决以往数学学习中的较小的数不能减较大的数的矛盾.
2、正负数的概念：
正数：大于0的数,叫做正数。

为了强调,正数前面有时也可加上“+”（读作正）号。

负数：小于0的数叫负数。

在数字前用“-”相当于减号做标记。

代表性质符号。

3、数0
0既不是正数,也不是负数,零的意义,过去表示“没有”，在引入负数后，就不能说“0”表示“没有”了，如温度是0℃，也表示一个特定的温度，不能说没有温度.
正负数以0分界，0是一个非负、非正的中性数.
4．相反意义的量与正负数
举几个例子.
（1）零上的温度与零下的温度.
某一天，最高气温是零上5℃，最低气温是零下8℃，“零上”与“零下”其意义是相
反的.
（2）高于海平面和低于海平面的海拔高度.
珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的.
现实世界中在数量关系上具有相反意义的客观事物是大量存在的，我们可以用正数和负数来表示具有相反以意义的事物的量.
例如，①甲地高出海平面168米，乙地低于海平面52米，可以分别记作：+168米和-52米；
②某冷库运出货物18吨，又运进货物25吨，可分别记作：-18吨和+25吨.
③某家庭月收入1500元，支出950元，可分别记作：+1500元和-950元.
如果正数表示某种意义的量，那么负数就表示其相反意义的量.如果正数表示向南走的距离，那么负数就表示向北走的距离.
二．有理数概念
小学数学中讲到的整数是指自然数与0，在自然数前面加上“-”号的数，叫做负整数，负整数也是整数.
小学数学中讲到的分数（包括小数），实际上是正分数，在正分数的前面加上“-”号的数，叫做负分数.正分数和负分数统称分数.
整数和分数统称为有理数.因此有理数可以作如下的分类：
有理数
有理数还可以根据正、负来分类，即：
有理数⎪⎩
⎪⎨⎧负有理数零正有理数
三、【重点难点解析】
1．本节重点是理解有理数的意义、分类和有理数的应用；难点是理解负数的意义.
2．正数和负数是根据实际需要而产生的。

表示一些具有相反意义的量，如收入300元和支出300元，零上6℃和零下4℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量.怎样表示它们呢？我们把一种意义规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了正数和负数.
3．正数与负数的概念的本质特征是符号与数的统一。

只说“带有正号的数叫正数，带有负号的数叫“负数”是不正确的。

因为带有什么符号只是正负的本质特征之一，而不是全部特征，例如，-a 不一定是负数。

0有着丰富的意义，0可看作是正数和负数的界限，也可以看成是唯一的中性数.
4．有理数分类可按不同的标准。

（同上）
5．负数是源于实践，负数的出现为数学中研究相反意义的量提供了前提条件.
四、典型例题
例1： 指出下列各语句的实际意义：
（1）向东走-40米；
（2）温度下降-9℃.
分析：引入负数的实际意义，就是为了表示具有相反意义的量.题（1）“向东”后面的“-”号就是表示与“向东”相反的意义，即“向西”；题（2）“下降”后面的“-”号就是表示与“下降”相反的意义，即“上升”.
解：（1）向东走-40米的实际意义是向西走40米.
（2）温度下降-9℃的实际意义是上升9℃.
例2： 把下列各数填在相应的集合符号内：
5，-2，-0.3,41,0,-31,5.7,-16
1,102,-17. 正数集合{ },负数集合{ },
整数集合{ },分数集合{ }.
分析: 正数包括正整数和正分数,负数包括负整数和负分数,分数包括正分数、负分数，所以5，41，5.7，102这几个数应填入正数集合内,-2,-0.3,-31,-16
1,-17这几个数应填入负数集合内.整数包括正整数、0、负整数，所以5，-2，0，102，-17这几个数应填入整数集合内，-0.3,41,-31,5.7,-16
1这几个数应填入分数集合内. 解: 正数集合{5,4
1,5.7,102,…}， 负数集合{-2，-0.3，-31,-16
1,-17，…}， 整数集合{5，-2，0，102，-17，…}
分数集合{-0.3,41,-31,5.7,-16
1,…}. 注：（1）每个括号内均应填写“…”省略号，意思即除了已填入的数外，还有其他别的数.（2）填空时，一定要分清有理数的分数标准.
例3、 选择题：下面说法中，正确的是（ ）.
A ．在有理数中，零的意义表示没有.
B ．一个数不是正数就是负数.
C ．正有理数和负有理数组成全体有理数.
D ．零是整数.
分析：零是一个很重要的数，它不是正数，也不是负数，它是整数、偶数，是有理数.
解：D
注：“零”的一个基本作用是表示“没有”.“零”不仅可以表示“没有”，而且“具有非常确定的内容”.如在计时中，零时表示每天的起点时刻，“零”是正负数的分界限.“零”也是一个不可缺少的数码，在数的表示中起着十分重要的作用.在分析和解决数的有关问题时，千万不要漏掉“零”.
【典型热点考题】
例1 把下列各数分别填在相应的集合里：-11，9.5，+50,-3.6,0,31,-4
3,0.6, π. 正数集合{ …}，负数集合：{ …}
整数集合{ …}，分数集合：{ …}
解：正数集合：{9.5,+50,
31,0.6,…}； 负数集合：{-11，-3.6,-4
3,…}； 整数集合：{-11，+50，0，…}；
分数集合：{9.5,-3.6,31,-4
3,0.6，…}； 注意：（1）有限小数和无限循环小数都可以化成分数；（2）因为正数集合包含了所有的正数，具体填只是一部分，所以通常最后要加省略；（3）π不是有理数.
例2 填空题
（1）设向东走为正，向东走30米记作米，向西走20米记作 米，原地不动记作 米，记作-25米表示向 走25米，记作+16米表示走16米.
（2）比海平面高200米的地方，它的高度记作海拔 米，比海平面低100米的地方，它的高度记作海拔 米.
（3） 某地区最低气温是-28℃，最高气温是+31℃，该地区的温差是℃.
解：（1）+30，-20，0，西，东；（2）200，-100；（3）59
注意：“+”号可以省略不写.
【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）
1．把下列各数填在相应的大括号里：
-5，+31，0.62，4，0，-1.1,67,-6.4,-7,-73
1.(3′×6=18′) 正整数集合{ …}，负整数集合{ …}，
分数集合{ …}， 整数集合{ …}，
负数集合{ …}， 正数集合{ …}，
2．判断题（2′×7=18′）
（1）正整数集合和负整数集合并在一起，构成整数集合. （ ）
（2）正数集合和负数集合并在一起，构成有理数集合. （ ）
（3）某仓库运出30吨货记作-30吨，则运进20吨货记作+20吨. （ ）
（4）如果下降3米记作-3米，那么不升不降记作0米 （ ）
（5）31．25不是分数，所以不是有理数. （ ）
（6）在小学学过的数的前面添上“-”号，就是负数. （ ）
（7）一个物体可以左右移动，设向左移动为正，那么向右移动3m 应记作3m. （ ）
3.填空题（3′×16=48′）
（1）如果规定中午以后时间为正，那么午后3小时记作 小时，午前4小时记作 小时，中午记作 小时.
（2）如果-31元表示支出31元，那么+300元表示 ；
（3）某零件的长度比标准长度短,记作,那么比较标准长度多2毫米记作 毫米.
（4）甲地海拔60米,乙地海拔10米,丙地海拔-30米,最高的是 地,丙地比甲地低 米,乙地比丙地高 米.
（5）如果把增产10%记作+10%,那么减产50%记作 -12% 表示的是.
（6）有理数中,最小的正整数是 ,最大的负整数是 .
（7）有理数中,是整数而不是正数的是 ,是负数而不是分数的是 .
（8）正整数集合与正分数集合并在一起是 数集合,既不是正整数也不是负整数的是 .
4.选择题(5′×4=20′)
(1)下列四种说法,正确的是 ( ).
A.所有的正数都是整数;
B.不是正数的数一定是负数;
C.正有理数包括整数和分数;
D.0不是最小的有理数. (2)下列说法正确的是 ( ).
A.有最大的负数,没有最小的正数;
B.没有最大的有理数,也没有最小的有理数;
C.有最大的非负数,没有最小的非负数;
D.有最小的负数,没有最大的正数.
(3)零不属于 ( ).
A.正数集合;
B.有理数集合;
C.整数集合;
D.非正有理数集合.
(4)已知下列各数:-8,2.01,
9
2,3,0,-0.25,-50,1,其中非负数的个数是 ( ) A.2 B.3 【素质优化训练】
1.整数和小数统称有理数对吗?为什么?
2.字母可以表示数,a 是表示正数,还是表示负数呢?a 究意表示什么数?
3.石英钟的产品说明书上,写着“一昼夜的误差小于 ”,你怎样理解?
【生活实际运用】
小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路
程记为负数,爬过的各段路程依次为(单位:厘米):
+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10
(1)小虫最后是否回到出发点O?
(2)小虫离开出发点O最远时是多少厘米?
(3)在爬行过程中,如果每爬1厘米奖励一粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻?
参考答案：
【同步达纲练习】
2. ××√√×××
3.(1)+3,-4,0; (2)收入300元; (3)+2; (4)甲,90,40; (5)-50%,减产12% (6)1,-1 (7)负整数和0,负整数; (8)正有理数,0
4.(1)D, (2)B, (3)A, (4)D.
【素质优化训练】
1.不对,因为小数包括无限不循环小数,而无限不循小数不能化成分数;
2.a 可以是正数,也可以是负数,还可以是0,a表示有理数;
3.表明石英钟走24小时,快或慢都小于0.5秒,“+”通常表示快，“-”通常表示慢.
【生活实际运用】
（1）小虫最后回到出发点O；（2）12cm;（3）54粒
数轴和相反数
一、数轴：
1. 数轴的定义
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

其中，原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。

注：包括三层涵义：数轴是一条直线；数轴有三要素；原点、方向单位长度根据需要“规定”。

2. 数轴的画法
画一条水平直线，在这条直线上任取一点作为原点，再用箭头确定正方向和单位长度。

数轴的三要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。

标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方。

3. 数轴与数学思想
数轴形象地反映了数和点之间的关系，而借助于数与形的相互转化来研究和解决数学
问题叫做数形结合思想，数轴是利用数形结合思想解题的重要工具之一。

4、数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．(反之则不成立．因为数轴上的点不仅可以表示有理数，还有一些点表示的数不在有理数的X 围内)
5、利用数轴比较两个有理数的大小
(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．
图2—1
(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
图2—2
由于数轴上正数在0的右边，0在负数的右边，所以正数＞0，0＞负数，正数＞负数． 如：＋7＞－10(正数大于负数)
0＞－3(0大于负数)，
0＜＋2(0小于正数)
二、相反数的有关知识
1、定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．相反数是成对的，不能单独存在。

如：－3和3，71和－71
，－3．2和＋3．2……
2、在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．
图2—3
如：－3和＋3是一对互为相反数，它们在原点的左右两侧，且它们到原点的距离都是3个单位长度．
3、相反数是它本身的数是0．
说明：数轴是数学中数与图形结合的典X ．理解数轴及和数轴有关的知识都可以从几何和代数两方面入手．
【学习方法指导】
［例1］画一个数轴，并在数轴上表示出下列各数，并用“＜”号连接起来．
121，－3，－131
，0，2
点拨：①画数轴应必须具备数轴三要素：原点、单位长度、正方向．②用“＜”号连接这些数，需要将这些数从小到大排列．而在数轴上右边的数总是大于左边的数，所以只要将数轴上的数从左到右用“＜”号连接即可．
解答：
图2—4 －3＜－131＜0＜121
＜2
［例2］m ，n 在数轴上位置如图2—5，则下面结论正确的是…( )
图2—5
A ．m ＞0，n ＜0
B ．m ＞0，n ＞0
C ．m ＜0，n ＜0
D ．m ＜0，n ＞0
点拨：在数轴上的数，右边的总比左边的大．对于m 和0，m 在0的右边，即m ＞0，而n 在0的左边，所以0＞n 即n ＜0．
解答：m ＞0，n ＜0．选A ．
［例3］数轴上距离原点3个单位长度的数是_____．
点拨：先画出数轴，找到原点．从原点开始向左、向右各数3个单位长度，这两个点到原点的距离相等，且符合题意．
记住：类似的题目答案一般会有两个数．
解答：＋3和－3
［例4］填空：(1)－25
的相反数是_____
(2)b 的相反数是_____
(3)－m 的相反数是_____
点拨：不管是数字或是字母，互为相反数的两个数只有符号不同．
解答：(1)25
(2)－b (3)m
［例5］数轴上表示互为相反数的两个点A 和B ，它们两点间的距离是5，则这两个数分别是_____和_____．
点拨：画出数轴，表示出A 和B ．由于它们互为相反数，所以这两个点到原点的距离相等，则每个点距原点2．5个单位长度．在原点左边的点为－2．5，在原点右边则为＋2．5．
图2—6
解答：＋2．5和－2．5．
［例6］比较大小:
(1)0_____－3 (2)－21
_____－2 (3)7_____－10
点拨：若正数、负数、0互相比较，则用“正数＞0＞负数”进行比较．若两负数进行比较，将它们标注在数轴上，右边的数大于左边的数．
解答：(1)＞(0大于负数)
(2)＞(数轴上，－21
所对应的点在－2所对应点的右侧)
图2—7
(3)＞(正数大于负数)
【拓展训练】
求下列各数的相反数．
(1)－(＋7) (2)＋(－m)
点拨：由于互为相反数的两个数只有一个符号不同：一个为正，一个为负．因为在此题中将括号里的数看做一个整体，括号外的才是它的符号．找相反数时，只要改变括号外的符号即可．
解答：(1)－(＋7)的相反数是＋(＋7)
(2)＋(－m)的相反数是－(－m)。