吉林省长春市2013-2014学年高二上学期期末调研测试数学理试题 Word版含答案.pdf

长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试
高二数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分. 考试时间为100分钟.
注意事项：
答题前，考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚.
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1. 在中，，则最短边的长 A. B. C. D.
2. 已知，则是的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，在直三棱柱的底面中，，，，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
4. 设数列为等差数列，若，则
A. B. C. D.
5. 中心在原点，焦点在轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是
B.
C. D.
6. 等比数列的前n项和为，若，则
B. C. D.
7. 经过双曲线的右焦点，倾斜角为直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为
B. C. D.
8. 已知，则的最小值是
B. C. D.
9. 中，角的对边分别为，若，则的形状一定为
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
10. 已知正方体棱长为1，截面与平面相交于直线，则点到直线的距离为
B. C. D.
11. 抛物线与直线交于两点，则线段中点的坐标为
B.
C. D.
12. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴相交于两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程为
B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共72分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 若实数满足，则的最大值为________________14. 给出命题，则为_____________15. 已知是抛物线的焦点
，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则________________16. 已知数列中，，则=________.
三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（本小题满分10分）
已知等比数列的各项均为正数，
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和18.（本小题满分10分）
如图，如果你在海边沿着海岸线直线前行，请设计一种测量海中两个小岛A,B之间距离的方法.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，
，侧棱底面，
点为侧棱的中点，且.
求证：；
求面与面所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
如图，已知直线与抛物线交于两点，
为坐标原点，且求直线和抛物线的方程；
抛物线上一点从点运动到点时，求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，点是轴上的两个定点，，为坐标平面上的动点，，是的中点，点在线段上，且求点的轨迹方程；
若直线与点的轨迹有两个不同的交点，且，求实数的取值范围. 2013～20141. A 2. B 3. D
4. B
5. C
6. A
7. C 8. C 9. B 10. D 11. B 12. D
简答与提示：
1. A 因为角B最小，由正弦定理
2. B 根据条件可求得，易知是的必要不充分条件
3. D 以点为坐标原点，以所在直线分别作为轴建立空间直角坐标系，则可确定，于是，设所求角为，则
4. B 由等差数列的性质，，所以由条件可得
5.
C 由已知可有，. 故6. A 根据等比数列的性质，设为其前n项和，时，仍成等比数列即可求解7. C 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，故有进而，可解得于是离心率8. C 根据基本不等式，可有9. B 由代入条件可得，，再根据正弦定理代换可有，于是10.
D 因为∥，所以点到直线的距离是与之间距离，因为是等腰三角形，设点是的中点，则，所以为所求，（本题也可用空间向量求解）
11. B 将所给直线方程与抛物线方程联立有，由此可整理得：
，设，则，故线段中点的横坐标为，将其再代入直线方程即可得所求中点的坐标为12. D 由，可得，所以，代入可求得点的轨迹方程二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13． 14． 15． 16．
简答与提示：
13. 2 根据线性规划的知识易求解14. .
15. ，设，由得，求得，，故由抛物线的定义可得16. ，由得，以及，所以， ①
②，由①②联立求得通项公式.
17．（）由已知，解得，所以5分（）根据条件易得， 7分于是…
…，以上二式相减，可得，
+…，所以10分18．如图，设,是两个观测点，到的距离为m，在处测出，在处测出，
，据正弦定理，在中，可求得， 4分同理，在中，可求得8分在中，由余弦定理可得：10分19．建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件可有：
于是2分（）因为，所以故6分（）由已知，是平面的一个法向量，可设平面的法向量为
，由，可得，根据这个方程组，可取 8分设所求二面角的平面角为，则，故所求二面角的余弦值为12分19．（）由得，设，则有
，因为
，所以，解得所以直线的方程为，抛物线的方程为6分（）由，得，于是，8分设，，于是当点到直线的距离最大时，所求三角形面积最大，这里 10分由，可得当时，，此时，故面积的最大值为. 12分．（1）因为，所以，又为中点，故，于是
，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
，，故点的轨迹方程为 6分（2）由整理得，设，则有①，且，8分若，则，即，整理得，再将①代入可有：
，整理得， 10分又因为，故，所以或12分。